【文章內(nèi)容簡介】 6)2＋ y2＝ 4 ， 所以圓心為 Q ( 6 , 0 ) ． 過 P ( 0 , 2 ) 且斜率為 k 的直線方程為 y ＝ kx ＋ 2. 代入圓方程得 x2＋ ( kx ＋ 2)2－ 12 x ＋ 32 ＝ 0 ， 整理得 (1 ＋ k2) x2＋ 4( k － 3) x ＋ 36 ＝ 0. ① 直線與圓交于兩個不同的點 A 、 B 等價于 Δ ＝ [ 4 ( k － 3 ) ]2－ 4 3 6 ( 1 ＋ k2) ＝ 42( － 8 k2－ 6 k ) 0 ， 解得－34 k 0 ，即 k 的取值范圍為????????－34， 0 . （ 2 ）設(shè) A （ x1， y1）， B （ x2， y2），則 ＝ ( x1＋ x2， y1＋ y2) ，由方程 ① ， x1＋ x2＝－4 ( k － 3 )1 ＋ k2， ② 又 y1＋ y2＝ k ( x1＋ x2) ＋ 4 ， ③ 而 P ( 0 , 2 ) , Q ( 6 , 0 ) , 所以 與 共線等價于 － 2( x1＋ x2) ＝ 6( y1＋ y2) ， 將 ②③ 代入上式，解得 k ＝－34， 由 ( 1 ) 知 k ∈????????－34， 0 ，故沒有符合題意的常數(shù) k . ),2,6( ??PQOBOA ? PQOBOA? 返回 第 2 講 橢圓、雙曲線、拋物線 感 悟高 考 明確考向 ( 2 0 1 0 浙江 ) 設(shè) F F2分別為雙曲線x2a2 －y2b2 ＝ 1( a 0 ， b 0 )的左、右焦點．若在雙曲線右支上存在點 P ，滿足 | PF2|＝ | F1F2|，且 F2到直線 PF1的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線方程為 ( ) A ． 3 x 177。4 y ＝ 0 B ． 3 x 177。5 y ＝ 0 C ． 4 x 177。3 y ＝ 0 D ． 5 x 177。4 y ＝ 0 解析 如圖，由題意得 | PF2|＝ | F1F2|＝ 2 c ， | F2M |＝ 2 a . 在 △ PF2M 中， | PF2|2＝ | F2M |2＋ | PM |2， 而 | PM |＝12| PF1|， 又 ∵ | PF1|－ | PF2|＝ 2 a ， ∴ | PF1|＝ 2 a ＋ 2 c ，即 | PM |＝ a ＋ c . ∴ | PF2|2＝ (2 c )2＝ (2 a )2＋ ( a ＋ c )2. 又 c2＝ a2＋ b2， ∴ba＝43， ∴ 漸近線方程為 y ＝ 177。43x ， 即 4 x 177。3 y ＝ 0. 答案 C 考題分析 本小題主要考查雙曲線的定義、標準方程、幾何性質(zhì)．考查考生運用知識解決問題的能力．根據(jù)定義、幾何性質(zhì)建方程，將ba作整體解方程，是解決此題的關(guān)鍵． 易錯提醒 ( 1 ) 不能根據(jù)三角形 F 1 F 2 P 的特征，求解| PF 1 |的長． ( 2 ) 不能把ba作為一個整體處理，致使等式 a2＋ b2＝ 2 b－ a 無法求解． ( 3 ) 部分考生弄不清漸近線方程是 y ＝ 177。bax 還是 y ＝ 177。abx 主干知識梳理 圓錐曲線的定義、標準方程與幾何性質(zhì) 名稱 橢圓 雙曲線 拋物線 定義 || PF1|＋ | PF2|| ＝2 a (2 a | F1F2|) || PF1|－ | PF2|| ＝ 2 a (2 a | F1F2|) | PF |＝ | PM |點 F不在直線 l 上，PM ⊥ l 于 M 標準 方程 x2a2 ＋y2b2 ＝ 1 ( a b 0 ) x2a2 －y2b2 ＝ 1 ( a 0 ， b 0 ) y2＝ 2 px ( p 0 ) 圖形 范圍 | x |≤ a ， | y |≤ b | x |≥ a x ≥ 0 頂點 (177。 a, 0) ， (0 ， 177。 b ) (177。 a, 0) ( 0 , 0 ) 對稱性 關(guān)于 x 軸， y 軸和原點對稱 關(guān)于 x 軸對稱 焦點 (177。 c, 0) (p2， 0) 幾 何 性 質(zhì) 軸 長軸長 2 a ，短軸長 2 b 實軸長 2 a ，虛軸長 2 b 離心率 e ＝ca＝ 1 －b2a2 ( 0 e 1 ) e ＝ca＝ 1 ＋b2a2 ( e 1 ) e ＝ 1 準線 x ＝ 177。a2c( 不作要求 ) x ＝－p2 通徑 | AB |＝2 b2a( 不作要求 ) | AB |＝ 2 p 漸近線 y ＝ 177。bax 熱點分類突破 題型一 圓錐曲線的定義 例 1 已知 P 為橢圓x24＋ y2＝ 1 和雙曲線 x2－y22＝ 1 的一 個交點， F 1 ， F 2 為橢圓的兩個焦點，那么 ∠ F 1 PF 2 的 余弦值為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 思維啟迪 雙 曲線的焦點與橢圓焦點相同 → 用橢圓、雙曲線的定義 → 標出 | PF 1 |、 | PF 2 |→ 用余弦定理． 解析 由橢圓和雙曲線的方程可知， F 1 ， F 2 為它們的公共焦點，不妨設(shè) | PF 1 | | PF 2 |，則????? | PF 1 |＋ | PF 2 |＝ 4| PF 1 |－ | PF 2 |＝ 2， 所以????? | PF 1 |＝ 3| PF 2 |＝ 1， 又 | F 1 F 2 |＝ 2 3 ，由余弦定理可知 c os ∠ F 1 PF 2 ＝－13. － 13 探究提高 圓錐曲線的定義反映了它們的基本特征，理解定義是掌握其性質(zhì)的基礎(chǔ)．因此，對于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細節(jié)部分：比如橢圓的定義中要求 | PF 1 |＋ | PF 2 | | F 1 F 2 |，雙曲線的定義中要求 || PF 1 |－ | PF 2 | | | F 1 F 2 |. 變式訓(xùn)練 1 ( 2022 全國 Ⅱ ) 已知直線 y ＝ k ( x ＋ 2) ( k 0) 與拋物線 C ： y2＝ 8 x 相交于 A 、 B 兩點， F 為 C 的焦 點，若 | FA | ＝ 2| FB | ，則 k 的值為 ( ) A.13 B .23 C.23 D .2 23 解析 將 y ＝ k ( x ＋ 2) 代入 y2＝ 8 x 得 k2x2＋ (4 k2－ 8) x ＋ 4 k2＝ 0. 設(shè)交點的橫坐標分別為 xA， xB，則 xA＋ xB＝8k2 － 4 ， ① xA xB＝ 4. 又 | FA |＝ xA＋ 2 ， | FB |＝ xB＋ 2 ， | FA |＝ 2| FB |， ∴ 2 xB＋ 4 ＝ xA＋ 2. ∴ xA＝ 2 xB＋ 2. ② 將 ② 代入 ① 得 xB＝83 k2 － 2 ， x A ＝163 k2 － 4 ＋ 2 ＝163 k2 － 2. 故 xA xB＝??????83 k2 － 2??????163 k2 － 2 ＝ 4. 解之得 k2＝89，而 k 0 ， ∴ k ＝2 23， 則 滿 足 Δ 0. 故 選 D. D 題型二 圓錐曲線的性質(zhì) 例 2 如圖所示，橢圓x2a2 ＋y2b2 ＝ 1 上的點 M 與橢圓右焦點 F1的連線 MF1與 x 軸垂直， 且 OM ( O 是坐標原點 ) 與橢圓長軸和短軸 端點的連線 AB 平行． ( 1 ) 求橢圓的離心率； ( 2 ) F2是橢圓的左焦點， C 是橢圓上的任一點， 證明： ∠ F1CF2≤π2； ( 3 ) 過 F1且與 AB 垂直的直線交橢圓于 P 、 Q ，若 △ PF2Q的面積是 20 3 ，求此時橢圓的方程． 思維啟迪 ( 1 ) 從 OM ∥ AB 入手，尋找 a ， b ， c的關(guān)系式，進而求出離心率． ( 2 ) 在焦點三角形 F1CF2中，用余弦定理求出c o s ∠ F1CF2，再結(jié)合基本不等式． ( 3 ) 設(shè) P ( x1， y1) 、 Q ( x2， y2) ，則 ＝12| F1F2| | y1－ y2|，用設(shè)而不求的思路求解． PQFS 2?( 1 ) 解 設(shè)橢圓方程為x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) ，則 M ????????c ，b2a，kOM＝b2ac， kAB＝ba， ∴b2ac＝ba? b ＝ c ? a ＝ 2 c ， ∴ e ＝ca＝22. ( 2 ) 證明 由橢圓定義得： | F1C |＋ | F2C |＝ 2 a ， c o s ∠ F1CF2＝| F1C |2＋ | F2C |2－ | F1F2|22| F1C || F2C | ＝4 a2－ 4 c2－ 2| F1C || F2C |2| F1C || F2C |＝2 b2| F1C || F2C |－ 1. | F1C || F2C |≤????????| F1C |＋ | F2C |22＝ a2， ∴ c o s ∠ F1CF2≥2 b2a2 － 1 ＝2 c22 c2 － 1 ＝ 0 ， ∴∠ F1CF2≤π2. ( 3 ) 解 設(shè)直線 PQ 的方程為 y ＝－ab( x － c ) ， 即 y ＝－ 2 ( x － c ) ． 代入橢圓方程消去 x 得 ：1a2????????c －12y2＋y2b2 ＝ 1 ， 整理得 ： 5 y2－ 2 2 cy － 2 c2＝ 0 ， ∴ y1＋ y2＝2 2 c5， y1y2＝－2 c25. ∴ ( y1－ y2)2＝????????2 2 c52＋8 c25＝48 c225. ＝122 c | y1－ y2|＝4 3 c25＝ 20 3 ， c2＝ 25 ， 因此 a2＝ 50 ， b2＝ 25 ， 所以橢圓方程為x250＋y225＝ 1. QPFS 2?探究提高 ( 1 ) 求離心率，結(jié)合已知條件找到 a ， b ， c的關(guān)系式； ( 2 ) C 為橢圓上的任意一點， F 1 、 F 2 為左、右焦點，當 C點是橢圓短軸