高考數(shù)學二輪復習課件28函數(shù)模型及其應用(編輯修改稿)
2025-02-05 15:13 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 x（年 )的 函數(shù)關(guān)系式； (2)計算 10年以后該城市人口總數(shù) (精確到 )。 (3)計算大約多少年以后，該城市人口將達到 120萬 人（精確到 1年） . (4)如果 20年后該城市人口總數(shù)不超過 120萬人，年 自然增長率應該控制在多少？ （參考數(shù)據(jù) :≈ ， ≈ ， lg ≈,lg 2≈ 0,lg ≈, lg ≈ 9 ） 增長率問題是指數(shù)函數(shù)問題，利用指數(shù) 函數(shù)模型，構(gòu)造函數(shù) . 思維啟迪 解 （ 1） 1年后該城市人口總數(shù)為 y=100+100 %=100 (1+%) 2年后該城市人口總數(shù)為 y=100 (1+%)+100 (1+%) % =100 (1+%)2. 3年后該城市人口總數(shù)為 y=100 (1+%)2+100 (1+%)2 % =100 (1+%)3. x年后該城市人口總數(shù)為 y=100 (1+%)x. (2)10年后，人口總數(shù)為 100 (1+%)10≈ （萬人 ). (3)設 x年后該城市人口將達到 120萬人， 即 100 (1+%)x=120, (4)由 100 (1+x%)20≤120, 得 (1+x%)20≤, 兩邊取對數(shù)得 20lg(1+x%)≤lg =, 所以 所以 1+x%≤, 得 x≤, 即年自然增長率應該控制在 %. ).( og100120l og 年???x,%)1l g ( ??? x探究提高 此類增長率問題，在實際問題中常可以 用指數(shù)函數(shù)模型 y=N(1+p)x(其中 N是基礎(chǔ)數(shù)， p為增長 率， x為時間 )和冪函數(shù)模型 y=a(1+x)n(其中 a為基礎(chǔ) 數(shù)， x為增長率， n為時間 )的形式 .解題時，往往用到 對數(shù)運算，要注意與已知表格中給定的值對應求解 . 知能遷移 3 1999年 10月 12日“世界 60億人口日”， 提出了“人類對生育的選擇將決定世界未來”的主 題 ,控制人口急劇增長的緊迫任務擺在我們的面前 . （ 1）世界人口在過去 40年內(nèi)翻了一番，問每年人口 平均增長率是多少？ （ 2）我國人口在 1998年底達到 ，若將人口平 均增長率控制在 1%以內(nèi)，我國人口在 2022年底至多 有多少億？ 以下數(shù)據(jù)供計算時使用： 數(shù) N 對數(shù)lg N 3 5 3 3 0 數(shù) N 對數(shù)lg N 1 0 2 6 2 解 （ 1）設每年人口平均增長率為 x， n年前的人口 數(shù)為 y， 則 y(1+ x)n=60，則當 n=40時， y=30， 即 30(1+x)40=60， ∴ (1+x)40=2， 兩邊取對數(shù)，則 40lg（ 1+x） =lg 2， 則 lg（ 1+x） = = 525， ∴ 1+x≈ ，得 x=%. （ 2）依題意， y≤(1+1%) 10， 得 lg y≤lg +10 lg = 2, ∴ y≤ ，故人口至多有 . 答 每年人口平均增長率為 %， 2022年人口至多有 . 402lg題型四 函數(shù)的綜合應用 【 例 4】 (12分 )有一個受到污染的湖泊，其湖水的體 積為 V立方米 ,每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的 水量，都為 r立方米 .現(xiàn)假設下雨和蒸發(fā)正好平衡， 且污染物質(zhì)與湖水能很好的混合 .用 g（ t）表示任一 時刻 t每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù)，我們稱其 為在時刻 t時的湖水污染質(zhì)量分數(shù) .已知目前污染源 以每天 p克的污染物質(zhì)污染湖水 ,湖水污染質(zhì)量分數(shù) 滿足關(guān)系式 (p≥0) ，其中 g(0)是湖水污染的初始質(zhì)量分數(shù) . tvrrpgrptg ???? e])0([)(（ 1）當湖水污染質(zhì)量分數(shù)為常數(shù)時，求湖水污染的 初始質(zhì)量分數(shù)； （ 2）求證：當 g(0) 時 ,湖泊的污染程度將越來越 嚴重； （ 3）如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染 停止，那么需要經(jīng)過多少天才能使湖水的污染水平 下降到開始時 (即污染源停止時 )污染水平的 5%？ rp （ 1）水污染質(zhì)量分數(shù)為常數(shù)，即 g(t) 為常數(shù)函數(shù)； (2)污染程度越來越嚴重，即證明 g(t)為增函數(shù)； (3)轉(zhuǎn)化為方程即可解決 . (1)解 設 0≤ t1t2 , ∵ g(t)為常數(shù)， ∴ g（ t1） =g(t2), 2分 4分 思維啟迪 .)0(,0)e(e])0([21rpgrpgtvrtvr????????即(2)證明 設 0≤ t1t2, ∵ g(0) 0,t1t2, ∴ g(t1)g(t2)0,∴ g(t1)g(t2). 故湖泊污染質(zhì)量分數(shù)隨時間變化而增加，污染越來 越嚴重 . 8分 ,eee])0([)e(e])0([)()()(21211221ttvrtvrtvrtvrtvrrpgrpgtgtg????????????rp(3)解 污染源停止，即 p=0，此時 設要經(jīng)過 t天能使湖水的污染水平下降到開始時污染 水平的 5%. 即 g(t)=5% g(0)，即有 5% g（ 0） = 10分 由實際意義知 g(0)≠0 ， 即需要 天時間 . 12分 .e)0()( tvrgtg ???.e)0( tvrg ??),(20ln 天rvt ?? 20lnrv.e201 tvr???探究提高 (1)對此類問題的解決關(guān)鍵是認真審題， 理順數(shù)量關(guān)系 . (2)應用數(shù)學模型，抽象出方程、不等式或函數(shù)解析 式 . (3)用函數(shù)、方程、不等式解答 . 知能遷移 4 經(jīng)市場調(diào)查，某城市的一種小商品在過 去的近 20天內(nèi)的銷售量 (件 )與價格（元）均為時間 t(天 )的函數(shù) ,且銷售量近似滿足 g(t)=802t(件 ),價 格近似滿足 (1)試寫出該
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