【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 密度曲線、莖葉圖． (2) 用樣本的數(shù)字特征來估計(jì)總體：均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差；眾數(shù)、中位數(shù)． (3) 回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn) 第 18講 │ 主干知識(shí)整合 二、概率 1 ．互斥、對(duì)立事件的概率 ( 1 ) 如果事件 A 、 B 互斥，那么事件 A ＋ B 發(fā)生 ( 即 A 、 B 中有一個(gè)發(fā)生 ) 的概率等于事件 A 、 B 分別發(fā)生的概率的和，即 P ( A ＋ B ) ＝ P ( A )＋ P ( B ) , 并能推廣到 n ( n ≥ 3) 個(gè)． ( 2 ) 對(duì)立事件的概率的和為 1 ，即 P ( A ) ＋ P ( A ) ＝ 1. 它的變式為 P ( A )＝ 1 － P ( A ) ． 2 ．古典概型 古典概型的兩個(gè)基本特征：基本事件有限性，基本事件等可能性． 對(duì)于古典概型，任何事件的概率為 P ( A ) ＝A 包含的基本事件的個(gè)數(shù)基本事件的總數(shù). 第 18講 │ 主干知識(shí)整合 3 ．幾何概型 在幾何概型中，事件 A 的概率的計(jì)算公式為 P ( A ) ＝構(gòu)成事件 A 的區(qū)域長(zhǎng)度 ? 面積或體積 ?試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度 ? 面積或體積 ?. 4 ．事件的獨(dú)立性與條件概率 事件 A 、 B 是相互獨(dú)立事件，它們同時(shí)發(fā)生記作 A B ；兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即 P ( A B ) ＝ P ( A ) P ( B ) ，并能推廣到 n ( n ≥ 3) 個(gè)． 條件概率：一般的，設(shè) A 、 B 為兩個(gè)事件，且 P ( A ) 0 ，稱P ( B??? A ) ＝P ? A ∩ B ?P ? A ?為在事件 A 發(fā)生的條件下，事件 B 發(fā)生的條件概率，一般把 P ( B??? A ) 記作 A 發(fā)生的條件下 B 的概率． 第 18講 │ 主干知識(shí)整合 5 ．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) ( 1) 如果在 1 次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率為 p ，那么在n 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生 k 次的概率為 Pn( k )＝ Cknpk(1 － p )n － k. ( 2) 要注意恰有 k 次發(fā)生和指定的某 k 次發(fā)生的差異．對(duì)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)來說，前者的概率為 Cknpk(1 － p )n － k，后者的概率為 pk ( 1 － p )n － k. 三、隨機(jī)變量的分布 1 ．離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差 ( 1) 主干知識(shí)：隨機(jī)變量的可能取值，分布列、期望、方差． 第 18講 │ 主干知識(shí)整合 ( 2) 基本公式： ① Eξ ＝ x1p1＋ x2p2 ＋ ? ＋ xnpn； ② Dξ ＝ ( x1－ Eξ )2p1＋ ( x2－ Eξ )2p2 ＋ ? ＋ ( xn－ Eξ )2pn； ③ E ( aξ ＋ b ) ＝ aE ξ ＋ b ， D ( aξ ＋ b ) ＝ a2Dξ . ( 3) 常見的離散型隨機(jī)變量的分布 ① 兩點(diǎn)分布； ② 超幾何分布； ③ 二項(xiàng)分布： ξ ～ B ( n , p ) ，則 P ( ξ ＝ k ) ＝ Cknpk(1 － p )n － k， Eξ ＝ np ， Dξ＝ np ( 1 － p ) ． 第 18講 │ 主干知識(shí)整合 2 ．正態(tài)分布 正態(tài)分布密度函數(shù)為： φμ ， σ( x ) ＝12π σe －? x － μ ?22 σ2 . 其中： x 是隨機(jī)變量的取值； μ 為正態(tài)分布的均值； σ 是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差； 曲線的對(duì)稱位置由 μ 確定，曲線的形狀由 σ 確定， σ 越大，曲線越 “ 矮胖 ” ，反之，曲線越 “ 瘦高 ” ． 如果對(duì)于任何實(shí)數(shù) a b ，隨機(jī)變量 X 滿足 P ( a X ≤ b ) ＝????abφμ ， σ( x ) d x 則稱 X 的分布為正態(tài)分布，正態(tài)分布一般記為 N ( μ ， σ2) ． 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 18講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)一 頻率分布直方圖與莖葉圖的應(yīng)用 例 1 [ 2022 海南寧夏卷 ] 某工廠有工人 1000 名，其中 250 名工人參加過短期培訓(xùn) ( 稱為 A 類工人 ) ，另外 750 名工人參加過長(zhǎng)期培訓(xùn) ( 稱為 B 類工人 ) ，現(xiàn)用分層抽樣方法 ( 按 A 類、 B 類分兩層 ) 從該工廠的工人中共抽查 10 0 名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力( 此處生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù) ) ． ( 1) 求甲、乙兩工人都被抽到的概率，其中甲為 A 類工人，乙為 B 類工人； ( 2) 從 A 類工人中的抽查結(jié)果和從 B 類工人中的抽查結(jié)果分別如下表 1 和表 2. 第 18講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 表 1： 3 5 x 8 4 人數(shù) [140,150) [130,140) [120,130) [110,120) [100,110) 生產(chǎn)能 力分組 表 2： 18 36 y 6 人數(shù) [140,150) [130,140) [120,130) [110,120) 生產(chǎn)能 力分組 ( 1 ) 先確定 x ， y ，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖．就生產(chǎn)能力而言， A 類工人中個(gè)體間的差異程度與 B 類工人中個(gè)體間的差異程度哪個(gè)更??？ ( 不用計(jì)算，可通過觀察直方圖直接回答結(jié)論 ) ( 2 ) 分別估計(jì) A 類工人和 B 類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，并估計(jì)該工廠工人的生產(chǎn)能力的平均數(shù)，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表 ) 第 18講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 圖 6－ 18－ 1 第 18講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 ( 1) 甲、乙被抽到的概率均為110，且事件 “ 甲工人被抽到 ” 與事件 “ 乙工人被抽到 ” 相互獨(dú)立，故甲、乙兩工人都被抽到的概率為 p ＝110110＝1100. ( 2) ( i) 由題意知 A 類工人中應(yīng)抽查 25 名， B 類工人中應(yīng)抽查 75 名． 故 4 ＋ 8 ＋ x ＋ 5 ＋ 3 ＝ 25 ，得 x ＝ 5 ， 6 ＋ y ＋ 36 ＋ 18 ＝ 75 ，得 y ＝ 15 頻率分布直方圖如下 第 18講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 18講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 從直方圖可以判斷： B 類工人中個(gè)體間的差異程度更?。? ( ii ) xA＝425 105 ＋825 1 15 ＋525 125 ＋525 135 ＋325 145 ＝ 123 ， xB＝675 1 15 ＋1575 125 ＋3675 135 ＋1875 145 ＝ ， x ＝25100 123 ＋75100 ＝ A 類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)， B 類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)以及全工廠工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)的估計(jì)值分別為 123,和 . 第 18講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【高考命題者說】 【考查目的】本題考查隨機(jī)抽樣方法、頻率分布直方圖、樣本數(shù)據(jù)的基本數(shù)字特征，考查考生繪制統(tǒng)計(jì)圖表的動(dòng)手能力及準(zhǔn)確解讀統(tǒng)計(jì)圖表的統(tǒng)計(jì)意義的能力，考查考生運(yùn)用隨機(jī)抽樣基本方法和樣本估計(jì)總體的思想解決實(shí)際問題的能力，考查概率知識(shí)． 【命制過程】試題通過實(shí)際情境的設(shè)計(jì)，希望考生能夠深刻領(lǐng)會(huì)隨機(jī)抽樣的基本方法和樣本估計(jì)總體的思想，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)，從實(shí)際問題的需求出發(fā)科學(xué)、合理地獲取樣本，并通過對(duì)樣本數(shù)據(jù)的整理、分析，從中提煉出有價(jià)值的信息， 第 18講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 進(jìn)而為科學(xué)決策提供依據(jù)．本題中通過對(duì)兩類工人的平均生產(chǎn)能力及生產(chǎn)能力的穩(wěn)定性的比較可以看出培訓(xùn)的重要性，從而為科學(xué)合理安排職工的培訓(xùn)提供依據(jù)． 【解題思路】應(yīng)用統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)進(jìn)行求解． 【試題評(píng)價(jià)】合理安排抽樣方法以獲取有效的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，整理、分析這些數(shù)據(jù)，并對(duì)統(tǒng)計(jì)問題作出盡可能準(zhǔn)確、可靠的統(tǒng)計(jì)結(jié)論是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本內(nèi)容．本題通過人們熟悉的情境設(shè)計(jì)，展示了數(shù)據(jù)的獲取、整理、分析等統(tǒng)計(jì)的主要內(nèi)容．本題考查的內(nèi)容符合 《課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率的要求，考查目的體現(xiàn)了《課程標(biāo)準(zhǔn)》的核心精神． 第 18講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 甲、 乙兩名運(yùn)動(dòng)員的 5 次測(cè)試成績(jī)?nèi)鐖D 6 － 18 － 2所示： 設(shè) s1