【文章內容簡介】 考查了轉化和化歸以及分類討論的數(shù)學思想方法．體現(xiàn)了以知識為載體，重點考查數(shù)學思想和方法的高考理念．本題如將 f (1 － x2) f (2 x ) 改為 f (1 －x2) ≥ f (2 x ) ，也是一個不錯的題目，請同學們試解． 易錯提醒 ( 1) 考生不能確定函數(shù)的單調性是致誤的重要原因．可以畫出草圖，增加解題的直觀性． ( 2) 很多考生忽視了對????? 1 － x2≥ 02 x ≥ 0或????? 1 － x202 x 0的分類討論． ( 3) 計算錯誤． 主干知識梳理 1 ．函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應關系 兩個函數(shù)當且僅當它們的三要素完全相同時才表示同一個 函數(shù)，定義域和對應關系相同的兩個函數(shù)是同一函數(shù)． 2 ．函數(shù)的圖象 對于函數(shù)的圖象要會作圖、識圖、用圖． 作函數(shù)圖象有兩種基本方法：一是描點法，二是圖象變換 法，其中圖象變換有平移變換、伸縮變換、對稱變換． 3 ．函數(shù)的性質 ( 1) 單調性 如果對于定義域 I 內某個區(qū)間 D 上的任意兩個自變量的值 x1， x2，且 x1 x2，都有 f ( x1) f ( x2) 成立，則 f ( x ) 在 D 上是增函 數(shù) ( 都有 f ( x1) f ( x2) 成立，則 f ( x ) 在 D 上是減函數(shù) ) ． ( 2) 奇偶性 對于定義域內的任意 x ( 定義域關于原點對稱 ) , 都有 f ( － x ) ＝－ f ( x )成立 , 則 f ( x ) 為奇函數(shù) ( 都有 f ( － x ) ＝ f ( x ) 成立 , 則 f ( x ) 為偶函數(shù) ) ． ( 3) 周期性 周期函數(shù) f ( x ) 的最小正周期 T 必須滿足下列兩個條件： ① 當 x 取定義域內的每一個值時，都有 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ； ② T 是不為零的最小正數(shù)． 一般地，若 T 為 f ( x ) 的周期，則 nT ( n ∈ Z) 也為 f ( x ) 的周期，即 f ( x )＝ f ( x ＋ nT ) ． ( 4) 最值 一般地，設函數(shù) y ＝ f ( x ) 的定義域為 I ，如果存在實數(shù) M 滿足： ① 對于任意的 x ∈ I ，都有 f ( x ) ≤ M ( f ( x ) ≥ M ) ； ② 存在 x0∈ I ，使 f ( x0) ＝ M ，那么稱 M 是函數(shù) y ＝ f ( x ) 的最大值 ( 最小值 ) ． 4 ．函數(shù)單調性的判定方法 ( 1) 定義法：取值，作差，變形，定號，作答． 其中變形是關鍵，常用的方法有：通分、配方、因式分解． ( 2) 導數(shù)法． ( 3) 復合函數(shù)的單調性遵循 “ 同增異減 ” 的原則． 5 ．函數(shù)奇偶性的判定方法 ( 1) 定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件． ( 2) 對于定義域內的任意一個 x ， 若都有 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，則 f ( x ) 為偶函數(shù)． 若都有 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，則 f ( x ) 為奇函數(shù)． 若都有 f ( － x ) － f ( x ) ＝ 0 ，則 f ( x ) 為偶函數(shù)． 若都有 f ( － x ) ＋ f ( x ) ＝ 0 ，則 f ( x ) 為奇函數(shù)． 6．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象和性質 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 定義 形如 y＝ ax (a0且 a≠1)的函數(shù)叫指數(shù)函數(shù) 形如 y＝ logax(a0且a≠1) 的函數(shù)叫對數(shù)函數(shù) 圖象 定義域 R {x|x0} 值域 {y|y0} R 過定點 (0,1) (1,0) 單調性 0a1時 ,在 R上單調遞減 。 a1時，在 R上單調遞增 0a1時，在 (0，＋ ∞ )上單調遞減 。 a1時，在 (0，＋ ∞ )上單調遞增 函數(shù)值 性質 0a1， 當 x0時， 0y1。 當 x0時， y1 0a1， 當 x1時， y0。 當 0x1時， y0 a1，當 x0時， y1。 當 x0時， 0y1 a1，當 x1時， y0。 當 0x1時， y0 熱點分類突破 題型一 函數(shù)的值域 ( 或最值 ) 例 1 已知函數(shù) f ( x ) ＝ ax2＋ ( b － 8) x － a － ab ( a ≠ 0) ，當 x ∈ ( － 3,2 ) 時， f ( x ) 0 ；當 x ∈ ( － ∞ ，－ 3) ∪ (2 ，＋ ∞ ) 時， f ( x ) 0. ( 1) 求 f ( x ) 在 [ 0,1] 內的值域； ( 2) c 為何值時，不等式 ax2＋ bx ＋ c ≤ 0 在 [ 1,4] 上恒成立？ 思維啟迪 利用數(shù)形結合，－ 3,2 是方程 ax2＋ ( b － 8) x－ a － ab ＝ 0 的兩根，求出 a ， b 的值，得 f ( x ) 的解析式，進而確定 f ( x ) 在 [ 0,1 ] 內的值域，然后利用函數(shù) g ( x ) ＝ ax2＋ bx ＋ c 的性質，確定 c . 解 由題意得 x ＝－ 3 和 x ＝ 2 是函數(shù) f ( x ) 的零點且 a ≠ 0 ，則 ????? 0 ＝ a ( － 3 )2＋ ( b － 8 ) ( － 3 ) － a － ab ，0 ＝ a 22＋ ( b － 8 ) 2 － a － ab ， 解得????? a ＝－ 3 ，b ＝ 5 ，∴ f ( x ) ＝－ 3 x2－ 3 x ＋ 18. ( 1) 如圖所示，由圖象知，函數(shù)在 [ 0,1] 內單調遞減， ∴ 當 x ＝ 0 時， y ＝ 18 ； 當 x ＝ 1 時， y ＝ 12 ， ∴ f ( x ) 在 [ 0,1] 內的值域為 [ 12,18] ． ( 2) 方法一 令 g ( x ) ＝－ 3 x2＋ 5 x ＋ c . ∵ g ( x ) 在 [56，＋ ∞ ) 上單調遞減， 要使 g ( x ) ≤ 0 在 [ 1,4 ] 上恒成立， 則需要 g ( x )m a x＝ g ( 1) ≤ 0 ， 即－ 3 ＋ 5 ＋ c ≤ 0 ，解得 c ≤ － 2. ∴ 當 c ≤ － 2 時，不等式 ax2＋ bx ＋ c ≤ 0 在 [ 1,4] 上恒成立． 方法二 不等式－ 3 x2＋ 5 x ＋ c ≤ 0 在 [ 1,4] 上恒成立， 即 c ≤ 3 x2－ 5 x 在 [ 1,4 ] 上恒成立． 令 g ( x ) ＝ 3 x2－ 5 x ， ∵ x ∈ [ 1,4] ，且 g ( x ) 在 [ 1,4] 上單調遞增， ∴ g ( x )m i n＝ g ( 1) ＝ 3 12－ 5 1 ＝－ 2 ， ∴ c ≤ － 2. 即 c ≤ － 2 時，不等式 ax2＋ bx ＋ c ≤ 0 在 [ 1,4] 上恒成立． 探究提高 ( 1) 確定函數(shù) f ( x ) 在 [ a ， b ] 上的值域必須首先探求函數(shù) f ( x ) 在其定義域內的單調情況，若 f ( x ) 是基本初等函數(shù)，則可直接利用它的圖象和性質求解，若 f ( x ) 為其他函數(shù)，可利用單調性定義或導數(shù)法確定其性質，再求值域． ( 2) 不等式恒成立問題的常見解法： ① 數(shù)形結合法，如本例第 ( 2) 問方法一，令 g ( x ) ＝－ 3 x2＋ 5 x＋ c ，結合函數(shù) g ( x ) 的圖象和性質，建立參數(shù) c 的關系式進行求解． ② 分離參數(shù)與主元，如本例第 ( 2) 問方法二，即將主元 x 與參數(shù) c 進行分離化為 c ≤ 3 x2－ 5 x ，故 c ≤ (3 x2－ 5 x )m i n，為所求． 變式訓練 1 設 f ( x ) ＝ x 2 － 2 ax ＋ 2 ，當 x ∈ [ － 1 ，＋ ∞ ) 時， f ( x ) ≥ a 恒成立，求 a 的取值范圍． 解 f ( x ) ＝ x2－ 2 ax ＋ 2 的對稱軸為： x ＝ a . ① 當 a ≤ － 1 時， f ( x ) 在 [ － 1 ，＋ ∞ ) 上是增函數(shù)， ∴ f ( x )m i n＝ f ( － 1) ＝ 3 ＋ 2 a ， ∴ 3 ＋ 2 a ≥ a ， ∴ a ≥ － 3. 即－ 3 ≤ a ≤ － 1. ② 當 a － 1 時， f ( x )m i n＝ f ( a ) ＝ a2－ 2 a2＋ 2 ＝ 2 － a2， ∴ 2 － a2≥ a ， 即 a2＋ a － 2 ≤ 0 ， 解之得：－ 1 a ≤ 1 ， 綜上所述：－ 3 ≤ a ≤ 1. 題型二 函數(shù)的性質及應用 例 2 設函數(shù) f ( x ) ＝ x2＋ |2 x － a |( x ∈ R , a 為實數(shù) ) ． ( 1) 若 f ( x ) 為偶函數(shù)，求實數(shù) a 的值； ( 2) 設 a 2 ，求函數(shù) f ( x ) 的最小值． 思維啟迪 ( 1) f ( x ) 為偶函數(shù) ? f ( － x ) ＝ f ( x ) ? a ＝ 0. ( 2) 含絕對值的函數(shù)的實質是分段函數(shù)，可以通過對 x 取值的分類討論，去掉絕對值符號，得到分段函數(shù)． 解 ( 1 ) 由已知 f ( － x ) ＝ f ( x ) ， 即 |2 x － a |＝ |2 x ＋ a |，解得 a ＝ 0. ( 2) f ( x ) ＝????? x2＋ 2 x － a ， x ≥12a ，x2－ 2 x ＋ a ， x 12a ， 當 x ≥12a 時， f ( x ) ＝ x2＋ 2 x － a ＝ ( x ＋ 1)2－ ( a ＋ 1) ， 由 a 2 ， x ≥12a ，得 x 1 ，從而 x － 1 ，故 f ( x ) 在 x ≥12a 時單調遞增， f ( x ) 的最小值為 f (a2) ＝a24； 當 x 12a 時， f ( x ) ＝ x2－ 2 x ＋ a ＝ ( x － 1)2＋ ( a － 1) ， 故當 1 ≤ x a2時， f ( x ) 單調遞增，當 x 1 時， f ( x ) 單調遞減，則f ( x ) 的最小值為 f ( 1) ＝ a － 1. 由a24－ ( a － 1) ＝( a － 2 )240 ，知 f ( x ) 的最小值為 a － 1. 探究提高 ( 1) 對于偶函數(shù)可得 f ( － x ) ＝ f ( x ) ＝ f (| x |) ； 對于奇函數(shù)，若 x ＝ 0 有意義，則總有 f ( 0 ) ＝ 0. ( 2) 含絕對值的函數(shù)一般都要去掉絕對值符號，化成分段函數(shù)． ( 3) 分段函數(shù)的單調性和最值問題，一般是在各段上分別說明，然后再合并說明． 變式訓練 2 已知函數(shù) y ＝ x ＋ax有如下性質：如果常數(shù) a 0 ， 那么該函數(shù)在 ( 0, a ] 上是減函數(shù) , 在 [ a , ＋ ∞ ) 上是增函數(shù)． ( 1) 如果函數(shù) y ＝ x ＋2bx在 ( 0,4] 上是減函數(shù)，在 [4 ，＋ ∞ ) 上是 增函數(shù)，求實常數(shù) b 的值； ( 2) 設常數(shù) c ∈ [ 1,4 ] ，求函數(shù) f ( x ) ＝ x ＋cx(1 ≤ x ≤ 2) 的最大值 和最小值． 解 ( 1) 由函數(shù) y ＝ x ＋ax的性質知 : y ＝ x ＋2bx在 (0 , 2b] 上是減函 數(shù)，在 [ 2b，＋ ∞ ) 上是增函數(shù)， ∴ 2b＝ 4 ， ∴ 2b＝ 16 ＝ 24， ∴ b ＝ 4. ( 2) ∵ c ∈ [ 1,4 ] ， ∴ c ∈ [ 1,2 ] ． 又 ∵ f ( x ) ＝ x ＋cx在 ( 0, c ] 上是減函數(shù) , 在 [ c , ＋ ∞ ) 上是增函數(shù)， ∴ 在 x ∈ [ 1,2] 上，當 x ＝ c 時，函數(shù)取得最小值 2 c . 又 f ( 1) ＝ 1 ＋ c ， f ( 2) ＝ 2 ＋c2， f ( 2 ) － f ( 1 ) ＝ 1 －c2. 當 c ∈ [ 1,2) 時， f ( 2) － f ( 1 ) 0 ， f ( 2) f ( 1) ，