中考數學二輪復習專題二解答重難點題型突破題型五幾何圖形探究題課件(編輯修改稿)
2025-07-09 12:07 本頁面
【文章內容簡介】 Rt△ ABC中 ， ∠ A＝ 90176。 ， AB＝ AC， 點 D，E分別在邊 AB， AC上 ， AD＝ AE， 連接 DC， 點 M， P， N分別為 DE， DC，BC的中點 ． (1)觀察猜想 圖 ① 中 ， 線段 PM 與 PN 的 數 量 關 系 是______________________________________________， 位置關系是 ________； (2)探究證明 把△ ADE繞點 A逆時針方向旋轉到圖②的位置 ， 連接 MN， BD， CE，判斷△ PMN的形狀 ， 并說明理由； (3)拓展延伸 把△ ADE繞點 A在平面內自由旋轉 ， 若 AD＝ 4， AB＝ 10， 請直接寫出△ PMN面積的最大值． 【分析】 ( 1 ) 利用三角形的中位線得出 PM ＝12CE ， PN ＝12BD ， 進而判斷出 BD＝ CE ， 即可得出結論 ， 再利用三角形的中位線得出 PM ∥ CE 得出 ∠ DP M ＝∠ DC A ， 同理得出 ∠ DPN ＝ ∠ ADC ， 最后用互余即可得出結論 ； ( 2) 先判斷出△ ABD ≌△ ACE ， 得出 BD ＝ CE ， 同 ( 1) 的方法也可得出 PM ⊥ PN ， 得出 PM ＝12CE ， PN ＝12BD ， 即可得出 PM ＝ PN ， 同 ( 1) 的方法即可得出結論 ； ( 3) 先判斷出 MN 最大時 ， △ PMN 的面積最大 ， 進而求出 AN ， AM ， 即可得出 MN 最大 ＝AM ＋ AN ， 最后利用面積公式即可得出結論． 解： ( 1 ) ∵ 點 P ， N ， M 是 CD ， BC ， DE 的中點 ， ∴ PN ∥ BD ， PN ＝12BD ， ∴ PM ∥ CE ， PM ＝12CE ， ∵ AB ＝ AC ， AD ＝ AE ， ∴ BD ＝ CE ， ∴ PM ＝ PN ， ∵ PN ∥ BD ， ∴∠ DP N ＝ ∠ A DC ， ∵ PM ∥ CE ， ∴∠ DPM ＝ ∠ DC A ， ∵∠ BAC ＝ 90176。 ， ∴∠ AD C ＋ ∠ ACD ＝ 90176。 ， ∴∠ MP N ＝ ∠ DP M ＋ ∠ DP N ＝ ∠ DC A ＋ ∠ AD C ＝ 90176。 ， ∴ PM ⊥ PN ； ( 2 ) 由旋轉知 ， ∠ BAD ＝ ∠ C AE ， ∵ AB ＝ AC ， AD ＝ AE ， ∴△ ABD ≌△ A CE ( S AS ) ， ∴∠ ABD ＝ ∠ A C E ， BD ＝ CE ， 同 ( 1 ) 的方法 ， 利用三角形的中位線得 ， PN ＝12BD ， PM ＝12CE ， ∴ PM ＝ PN ， ∴△ PMN 是等腰三角形 ， 同 ( 1 ) 的方法得 ， PM ∥ CE ， ∴∠ DPM ＝ ∠ DC E ， 同 ( 1 ) 的方法得 ， PN ∥ BD ， ∴∠ PN C ＝ ∠ DB C ， ∵∠ DPN ＝ ∠ D C B ＋ ∠ P N C ＝ ∠ DC B ＋ ∠ DB C ， ∴∠ MPN ＝ ∠ DPM ＋ ∠ DP N ＝ ∠ DC E ＋ ∠ DC B ＋ ∠ DB C ＝ ∠ BCE ＋ ∠ DBC＝ ∠ ACB ＋ ∠ ACE ＋ ∠ DBC ＝ ∠ ACB ＋ ∠ ABD ＋ ∠ DB C ＝ ∠ ACB ＋ ∠ ABC ， ∵∠ BAC ＝ 90176。 ， ∴∠ ACB ＋ ∠ ABC ＝ 90176。 ， ∴∠ MPN ＝ 90176。 ， ∴△ PMN 是等腰直角三角形； ( 3 ) 如解圖 ， 同 ( 2 ) 的方法得 ， △ PMN 是等腰直角三角形 ， ∴ MN 最大時 ， △ PMN 的面積最大 ，
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