全國通用19屆高考數(shù)學大一輪復習第九章平面解析幾何97拋物線學案180402433(編輯修改稿)
2025-05-13 23:08 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 化簡得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，則拋物線C與直線必有兩個交點．設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝4＋，x1x2＝4.所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝，y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16.因為＝(x1＋2，y1－2)(x2＋2，y2－2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋8＝0，將上面各個量代入，化簡得k2－4k＋4＝0，所以k＝2.命題點2 與拋物線弦的中點有關(guān)的問題典例 (2016全國Ⅲ)已知拋物線C：y2＝2x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點，交C的準線于P，Q兩點．(1)若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明：AR∥FQ；(2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程．(1)證明 由題意知，F(xiàn)，設l1：y＝a，l2：y＝b，則ab≠0，且A，B，P，Q，R.記過A，B兩點的直線為l，則l的方程為2x－(a＋b)y＋ab＝0.由于F在線段AB上，故1＋ab＝0.記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，則k1＝＝＝＝－＝－b＝＝k2.所以AR∥FQ.(2)解 設過AB的直線為l，設l與x軸的交點為D(x1,0)，則S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|，S△PQF＝.由題意可得|b－a|＝，所以x1＝1，x1＝0(舍去)．設滿足條件的AB的中點為E(x，y)．當AB與x軸不垂直時，由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．而＝y(tǒng)，所以y2＝x－1(x≠1)．當AB與x軸垂直時，E與D重合，此時E點坐標為(1,0)，滿足方程y2＝x－1.所以所求軌跡方程為y2＝x－1.思維升華 (1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系．(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點．若過拋物線的焦點(設焦點在x軸的正半軸上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．(3)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設而不求”、“整體代入”等解法．提醒：涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解．跟蹤訓練 (2018屆武漢調(diào)研)已知拋物線C：x2＝2py(p0)和定點M(0,1)，設過點M的動直線交拋物線C于A，B兩點，拋物線C在A，B處的切線交點為N.(1)若N在以AB為直徑的圓上，求p的值；(2)若△ABN面積的最小值為4，求拋物線C的方程．解 (1)可設AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將AB的方程代入拋物線C，得x2－2pkx－2p＝0，顯然方程有兩不等實根，則x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①又x2＝2py得y′＝，則A，B處的切線斜率乘積為＝－＝－1，則有p＝2.(2)設切線AN為y＝x＋b，又切點A在拋物線y＝上，∴y1＝，∴b＝－＝－，∴yAN＝x－.同理yBN＝x－.又∵N在yAN和yBN上，∴解得N.∴N(pk，－1)．|AB|＝|x2－x1|＝，點N到直線AB的距離d＝＝，S△ABN＝|AB|d＝≥2，∴2＝4，∴p＝2，故拋物線C的方程為x2＝4y.直線與圓錐曲線問題的求解策略典例 (12分)已知拋物線C：y＝mx2(m0)，焦點為F，直線2x－y＋2＝0交拋物線C于A，B兩點，P是線段AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線C于點Q.(1)求拋物線C的焦點坐標；(2)若拋物線C上有一點R(xR，2)到焦點F的距離為3，求此時m的值；(3)是否存在實數(shù)m，使△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．思維點撥 (3)中證明＝0.規(guī)范解答解 (1)∵拋物線C：x2＝y(tǒng)，∴它的焦點F.[2分](2)∵|RF|＝y(tǒng)R＋，∴2＋＝3，得m＝.[4分](3)存在，聯(lián)立方程消去y得mx2－2x－2＝0，依題意，有Δ＝(－2)2－4m(－2)0，得m－.[6分]設A(x1，mx)，B(x2，mx)，則(*)∵P是線段AB的中點，∴P，即P，∴Q，[8分]得＝，＝.若存在實數(shù)m，使△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形，則＝0，即＋＝0，[10分]結(jié)合(*)式化簡得－－＋4＝0，即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－，而2∈，－?.∴存在實數(shù)m＝2，使△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形．[12分] 解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的一般步驟第一步：聯(lián)立方程，得關(guān)于x或y的一元二次方程；第二步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系，并求出Δ0時參數(shù)范圍(或指出直線過曲線內(nèi)一點)；第三步：根據(jù)題目要求列出關(guān)于x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2)的關(guān)系
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