全國通用19屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何97拋物線學(xué)案180402433(參考版)
2025-04-19 23:08本頁面
【正文】 ＝－1，即y0k＝5－x0，因此2＝5－x0，x0＝3，即M必在直線x＝3上．將x＝3代入y2＝4x，得y2＝12，則有－2y02.因為點M在圓上，所以(x0－5)2＋y＝r2，故r2＝y(tǒng)＋412＋4＝16.又y＋44(為保證有4條，在k存在時，y0≠0)，所以4r216，即2r4.20。＝＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)|AF|＝|BF|時取等號，∴的最大值為.16．設(shè)直線l與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點，與圓(x－5)2＋y2＝r2(r0)相切于點M，且M為線段AB的中點．若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是________________．答案 (2,4)解析 如圖，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則兩式相減得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．當(dāng)l的斜率k不存在時，符合條件的直線l必有兩條．當(dāng)k存在時，x1≠x2，則有cos 120176。安陽月考)拋物線y2＝2px(p0)的焦點為F，已知點A，B為拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB＝120176。cos∠PMO＝2－.14．(2017北京)已知拋物線C：y2＝2px過點P(1,1)，過點作直線l與拋物線C交于不同的兩點M，N，過點M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點A，B，其中O為原點．(1)求拋物線C的方程，并求其焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)求證：A為線段BM的中點．(1)解 由拋物線C：y2＝2px過點P(1,1)，得p＝，所以拋物線C的方程為y2＝x，拋物線C的焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x＝－.(2)證明 由題意知，直線l的斜率必存在．設(shè)直線l的方程為y＝kx＋(k≠0)，l與拋物線C的交點為M(x1，y1)，N(x2，y2)．由得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0，則x1＋x2＝，x1x2＝.因為點P的坐標(biāo)為(1,1)，所以直線OP的方程為y＝x，點A的坐標(biāo)為(x1，x1)．直線ON的方程為y＝x，點B的坐標(biāo)為.因為y1＋－2x1＝＝＝＝＝0，所以y1＋＝2x1，故A為線段BM的中點．13．(2017全國Ⅱ)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點，M是C上一點，則|FN|＝________.答案 6解析 如圖，不妨設(shè)點M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點A，過點M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點B，交y軸于點P，∴PM∥OF.由題意知，F(xiàn)(2,0)，|FO|＝|AO|＝2.∵點M為FN的中點，PM∥OF，∴|MP|＝|FO|＝1.又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.由拋物線的定義知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6. 11．(2018南京、鹽城模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y2＝6x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足．若直線AF的斜率k＝－，則線段PF的長為________．答案 6解析 由拋物線方程為y2＝6x，所以焦點坐標(biāo)F，準(zhǔn)線方程為x＝－，因為直線AF的斜率為－，所以直線AF的方程為y＝－，當(dāng)x＝－時，y＝3，所以A，因為PA⊥l，A為垂足，所以點P的縱坐標(biāo)為3，可得點P的坐標(biāo)為，根據(jù)拋物線的定義可知|PF|＝|PA|＝－＝6.9．(2017＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝m2y1y2＋(y1＋y2)＋＋y1y2＝－p2＝－12，得p＝4(舍負(fù))，即拋物線C的方程為y2＝8x.7．(2017昆明調(diào)研)已知拋物線C的頂點是原點O，焦點F在x軸的正半軸上，經(jīng)過點F的直線與拋物線C交于A，B兩點，若贛州二模)拋物線C：y2＝2px(p0)的焦點為F，A是拋物線上一點，若A到F的距離是A到y(tǒng)軸距離的兩倍，且△OAF的面積為1，O為坐標(biāo)原點，則p的值為( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析 不妨設(shè)A(x0，y0)在第一象限，由題意可知即∴A，又∵點A在拋物線y2＝2px上，∴＝2p，即p4＝16，又∵p0，∴p＝2，故選B.5．(2017＋＝0，[10分]結(jié)合(*)式化簡得－－＋4＝0，即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－，而2∈，－?.∴存在實數(shù)m＝2，使△ABQ是以Q為直角頂點的直角三角形．[12分] 解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的一般步驟第一步：聯(lián)立方程，得關(guān)于x或y的一元二次方程；第二步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系，并求出Δ0時參數(shù)范圍(或指出直線過曲線內(nèi)一點)；第三步：根據(jù)題目要求列出關(guān)于x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2)的關(guān)系式，求得結(jié)果；第四步：反思回顧，查看有無忽略特殊情況．1．點M(5,3)到拋物線y＝ax2(a≠0)的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的方程是( )A．y＝12x2 B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2 D．y＝x2或y＝－x2答案 D解析 分兩類a0，a0，可得y＝x2或y
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