【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 15講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 (1) D (2) C 【解析】 (1) 設(shè)雙曲線(xiàn)方程為x2a2 －y2b2 ＝ 1( a 0 ，b 0) ，則 F ( c, 0) ， B (0 ， b ) ． 直線(xiàn) FB ： bx ＋ cy － bc ＝ 0 與漸近線(xiàn) y ＝bax 垂直，所以－bcba＝－ 1 ，即 b2＝ ac . 所以 c2－ a2＝ ac ，即 e2－ e － 1 ＝ 0 ， 所以 e ＝1 ＋ 52或 e ＝1 － 52( 舍去 ) ． (2) 由條件顯然有 a1－ c1＝ a2－ c2，又 a1 a2，則 c1 c2，故有 a1＋ c1 a2＋ c2，由 a1－ c1＝ a2－ c2得 a1＋ c2＝ a2＋ c1，平方得 a21＋ 2 a1c2＋ c22＝ a22＋ 2 a2c1＋ c21，因 a21－ c21 a22－ c22，所以 a21＋ c22 a22＋ c21，則有a1c2 a2c1，故選 C. 第 15講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 已知直線(xiàn) y ＝ k ( x － 3) 與雙曲線(xiàn)x2m－y227＝ 1 ，有如下信息：聯(lián)立方程組????? y ＝ k ? x － 3 ? ，x2m－y227＝ 1 ，消去 y 后得到方程 Ax2＋Bx ＋ C ＝ 0 ，分類(lèi)討論： (1) 當(dāng) A ＝ 0 時(shí)，該方程恒有一解； (2)當(dāng) A ≠ 0 時(shí)， Δ ＝ B2－ 4 AC ≥ 0 恒成立．在滿(mǎn)足所提供信息的前提下，雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍是 ( ) A ． [9 ，＋ ∞) B ． (1,9] C ． (1,2] D ． [2 ，＋ ∞ ) 第 15講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 D 【解析】 根據(jù)題中信息可知，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)恒有公共點(diǎn)，第 (1) 種情況應(yīng)是直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行，第 (2) 種情況應(yīng)是直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交或相切．由于直線(xiàn) y ＝ k ( x － 3) 過(guò)定點(diǎn) (3,0) ，則此點(diǎn)必在雙曲線(xiàn)右頂點(diǎn)上或右頂點(diǎn)的右側(cè)，否則條件不成立． 則有 m ≤ 3 ， ∴ m ≤ 9 ， 則雙曲線(xiàn)的離心率為 e ＝m ＋ 27m＝ 1 ＋27m≥ 1 ＋279＝ 2 ， 則離心率的范圍是 [2 ，＋ ∞ ) ． 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 第 15講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 ? 探究點(diǎn)三 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系 例 3 [ 2022 山東卷 ] 如圖 5 － 15 － 3 所示，已知橢圓x2a2＋y2b2 ＝ 1( a b 0) 的離心率為22，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn) F 1 ， F 2 為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為 4( 2 ＋1) ．一等軸雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè) P 為該雙曲線(xiàn)上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線(xiàn) PF 1 和 PF 2 與橢圓的交點(diǎn)分別為 A 、 B 和 C 、 D . 第 15講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 (1) 求橢圓和雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2) 設(shè)直線(xiàn) PF 1 、 PF 2 的斜率分別為 k 1 、 k 2 ，求證 k 1 k 2 ＝ 1 ； (3) 是否存在常數(shù) λ ，使得 | AB | ＋ | CD | ＝ λ | AB | | CD | 恒成立？若存在，求 λ 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 圖 5－ 15－ 3 第 15講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 【解答】 (1) 由題意知橢圓離心率為ca＝22，得 a ＝ 2c ，又 2 a ＋ 2 c ＝ 4( 2 ＋ 1) ，所以可解得 a ＝ 2 2 ， c ＝ 2 ，所以 b2＝ a2－ c2＝ 4 ，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28＋y24＝ 1 ；所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 (177。 2, 0) ，因?yàn)殡p曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)，且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，所以該雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24－y24＝ 1. 第 15講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 (2) 設(shè)點(diǎn) P ( x0， y0) ，則 k1＝y(tǒng)0x0＋ 2， k2＝y(tǒng)0x0－ 2，所以 k1 k2＝y(tǒng)0x0＋ 2y0x0－ 2＝y(tǒng)20x20－ 4，又點(diǎn) P ( x0， y0) 在雙曲線(xiàn)上，所以有x204－y204＝ 1 ，即 y20＝ x20－ 4 ，所以 k1 k2＝y(tǒng)20x20－ 4＝ 1. (3) 假設(shè)存在常數(shù) λ ，使得 | AB | ＋ | CD | ＝ λ | AB | | CD | 恒成立，則由 (2) 知 k1 k2＝ 1 ，所以設(shè)直線(xiàn) AB 的方程為 y ＝ k ( x ＋ 2) ，則直線(xiàn)CD 的方程為 y ＝1k( x ＋ 2) ， 由方程組????? y ＝ k ? x ＋ 2 ? ，x28＋y24＝ 1 ，消 y 得 (2 k2＋ 1) x2＋ 8 k2x ＋ 8 k2－ 8 ＝ 0 ，設(shè) A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ， 第 15講 │ 要點(diǎn)熱點(diǎn)探究 則由韋達(dá)定理得 x1＋ x2＝－ 8 k22 k2＋ 1， x1x2＝8 k2－ 82 k2＋ 1， 所以 | AB | ＝ 1 ＋ k2 ? x1＋ x2?2－ 4 x1x2＝4 2 ? 1 ＋ k2?2 k2＋ 1，同理可得 | CD | ＝ 1 ＋??????1k2 ? x1＋ x2?2－ 4 x1x2＝4 2??????1 ＋1k22 1k2 ＋ 1＝4 2 ? 1 ＋ k2?k2＋ 2，又因?yàn)?| AB | ＋ | CD | ＝ λ | AB | | CD | ，所以有 λ ＝1| AB |＋1| CD |＝2 k2＋ 14 2 ? 1 ＋ k2?－k2＋ 24 2 ? 1 ＋ k2?＝3 k2＋ 34 2 ? 1 ＋ k2?＝3 28，所以存在常數(shù) λ ＝3 28，使得 | AB | ＋ | CD | ＝ λ | AB | | CD | 恒成立． 教師備用習(xí)題 第 15講 │ 教師備用習(xí)題 1 ．已知橢圓 C1：x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) 的離心率為33，直線(xiàn) l ： x－ y ＋ 2 ＝ 0 與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓 C1的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切． ( 1 ) 求橢圓 C1的方程； ( 2 ) 設(shè)橢圓 C1的左焦點(diǎn)為 F1，右焦點(diǎn)為 F2，直線(xiàn) l1過(guò)點(diǎn) F1且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線(xiàn) l2垂直直線(xiàn) l1于點(diǎn) P ，線(xiàn)段 PF2的垂直平分線(xiàn)交 l2于點(diǎn) M ，求點(diǎn) M 的軌跡 C2的方程； ( 3 ) 若 A ( x1,2) 、 B ( x2， y2) 、 C ( x0， y0) 是 C2上不同的點(diǎn)，且 AB ⊥BC ，求 y0的取值范圍． 備選理由：第 1 題是關(guān)于定義及標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)用的稍綜合的題目，可作為一般訓(xùn)練用；第 2 題看似思路簡(jiǎn)單，實(shí)則運(yùn)算量較大，是一個(gè)知道方法不易算出的題，可作為眼高手低學(xué)生訓(xùn)練題． 第 15講 │ 教師備用習(xí)題 【解答】 (1) ∵ e ＝33， ∴ e2＝c2a2 ＝a2－ b2a2 ＝13， ∴ 2 a2＝ 3 b2， ∵ 直線(xiàn) l ： x － y ＋ 2 ＝ 0 與圓 x2＋ y2＝ b2相切， ∴22＝ b ， ∴ b ＝ 2 . ∴ a2＝ 3. ∴ 橢圓 C1的方程是x23＋y22＝ 1. (2) ∵ | MP | ＝ | MF2| ， ∴ 動(dòng)點(diǎn) M 到定直線(xiàn) l1： x ＝－ 1 的距離等于它的定點(diǎn) F2(1,0) 的距離． ∴ 動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡是以 l1為準(zhǔn)線(xiàn)， F2為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)， 由p2＝ 1 得 p ＝ 2 ， ∴ 點(diǎn) M 的軌跡 C2的方程為 y2＝ 4 x . 第 15講 │ 教師備用習(xí)題 (3) 由 (2) 知 A (1,2) ， B??????y224， y2， C??????y204， y0， y0≠ 2 ， y0≠ y2， y2≠ 2 ， ① 則 AB→＝????????y22－ 44， y2－ 2 ， BC→＝????????y20－ y224， y0－ y2， 又因?yàn)?AB ⊥ BC ， 所以 AB→ BC→＝ 0 ，y22－ 44y20－ y224＋ ( y2－ 2) ( y0－ y2) ＝ 0 ， 整理得 y22＋ ( y0＋ 2) y2＋ 16 ＋ 2 y0＝ 0 ， 則此方程有解， ∴ Δ ＝ ( y0＋ 2)2－ 4 (16 ＋ 2 y0) ≥ 0 ， 解得 y0≤ － 6 或 y0≥ 10 ， 又檢驗(yàn)條件 ① ： y0＝－ 6 時(shí)， y2＝ 2 不符合題意． ∴ 點(diǎn) C 的縱坐標(biāo) y0的取值范圍是 ( － ∞ ，－ 6) ∪ [10 ，＋ ∞ ) ． 第 15講 │ 教師備用習(xí)題 2 ． [ 2022 遼寧卷 ] 設(shè)橢圓 C ：x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0)的左焦點(diǎn)為 F ，過(guò)點(diǎn) F 的直線(xiàn) l 與橢圓 C 相交于 A ，B 兩點(diǎn)，直線(xiàn) l 的傾斜角為 60176。 ， AF→＝ 2 FB→. ( 1) 求橢圓 C 的離心率； ( 2) 如果 | AB |＝154，求橢圓 C 的方程． 第 15講 │ 教師備用習(xí)題 【解答】 設(shè) A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ，由題意知 y1＜ 0 ， y2＞ 0. (1) 直線(xiàn) l 的方程為 y ＝ 3 ( x － c ) ，其中 c ＝ a2－ b2. 聯(lián)立????? y ＝ 3 ? x － c ? ，x2a2 ＋y2b2 ＝ 1 ，得 (3 a2＋ b2) y2＋ 2 3 b2cy － 3 b4＝ 0 解得 y1＝－ 3 b2? c ＋ 2 a ?3 a2＋ b2 ， y 2 ＝－ 3 b2? c － 2 a ?3 a2＋ b2 ， 因?yàn)?AF→＝ 2 FB→，所以－ y1＝ 2 y2. 第 15講 │ 教師備用習(xí)題 即3 b2? c ＋ 2 a ?3 a2＋ b2 ＝ 2－ 3 b2? c － 2 a ?3 a2＋ b2 ， 得離心率 e ＝ca＝23. (2) 因?yàn)?| AB | ＝ 1 ＋13| y