解析幾何專題含答案(編輯修改稿)
2025-07-15 19:07 本頁面
【文章內容簡介】 程為,（i）設，由題意知因為,又，即 ,所以，即 .所以因為直線與軸交點的坐標為所以的面積令 ,將代入橢圓C的方程可得由，可得 …………………………………………②由①②可知因此 ,故當且僅當，即時取得最大值由（i）知，面積為 ,所以面積的最大值為 .17.【2015高考陜西，理20】（本小題滿分12分）已知橢圓（）的半焦距為，原點到經過兩點，的直線的距離為．（I）求橢圓的離心率；（II）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經過，兩點，求橢圓的方程．【答案】（I）；（II）．【解析】試題分析：（I）先寫過點，的直線方程，再計算原點到該直線的距離，進而可得橢圓的離心率；（II）先由（I）知橢圓的方程，設的方程，聯(lián)立，消去，可得和的值，進而可得，再利用可得的值，進而可得橢圓的方程．試題解析：（I）過點，的直線方程為，則原點到直線的距離，由，得，解得離心率.(II)解法一：由（I）知，橢圓的方程為. (1)依題意，圓心是線段的中點，且.易知，不與軸垂直，設其直線方程為，代入(1)得設則由，得解得.從而.于是.由，得，解得.故橢圓的方程為.解法二：由（I）知，橢圓的方程為. 因此直線方程為，代入(2)得所以，.于是.由，得，解得.故橢圓的方程為.考點：直線方程；點到直線的距離公式；橢圓的簡單幾何性質；橢圓的方程；圓的方程；直線與圓的位置關系；直線與圓錐曲線的位置.18.【2016高考浙江理數(shù)】（本題滿分15分）如圖，設橢圓（a＞1）.（I）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長（用a、k表示）；（II）若任意以點A（0,1）為圓心的圓與橢圓至多有3個公共點，求橢圓離心率的取值范圍.【答案】（I）；（II）．【解析】試題分析：（I）先聯(lián)立和，可得，再利用弦長公式可得直線被橢圓截得的線段長；（II）先假設圓與橢圓的公共點有個，再利用對稱性及已知條件可得任意以點為圓心的圓與橢圓至多有個公共點時，的取值范圍，進而可得橢圓離心率的取值范圍．試題解析：（I）設直線被橢圓截得的線段為，由得，故，．因此．（II）假設圓與橢圓的公共點有個，由對稱性可設軸左側的橢圓上有兩個不同的點，滿足．記直線，的斜率分別為，且，．由（I）知，，故因此，①因為①式關于，的方程有解的充要條件是，所以．因此，任意以點為圓心的圓與橢圓至多有個公共點的充要條件為，由得，所求離心率的取值范圍為．考點：弦長；圓與橢圓的位置關系；橢圓的離心率．19.【2015高考新課標2，理20】（本題滿分12分）已知橢圓,直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，線段的中點為． (Ⅰ)證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（Ⅱ）若過點，延長線段與交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時的斜率，若不能，說明理由．【答案】(Ⅰ)詳見解析；（Ⅱ）能，或．【解析】(Ⅰ)設直線，，．將代入得，故，．于是直線的斜率，即．所以直線的斜率與的斜率的乘積為定值．（Ⅱ）四邊形能為平行四邊形．因為直線過點，所以不過原點且與有兩個交點的充要條件是，．由(Ⅰ)得的方程為．設點的橫坐標為．由得，即．將點的坐標代入直線的方程得，因此．四邊形為平行四邊形當且僅當線段與線段互相平分，即．于是．解得，．因為，，所以當?shù)男甭蕿榛驎r，四邊形為平行四邊形．【考點定位】弦的中點問題；直線和橢圓的位置關
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