【文章內(nèi)容簡介】 坐標，進而求出最大面積． 返回目錄 點面講考向 第 40講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 解： 如圖 8 － 40 － 2 建立直角坐標系，則 A (0 ， 2 0 ) ，B ( 3 0 ， 0) ． 圖 8 － 40 － 2 返回目錄 點面講考向 第 40講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 故線段 AB 所在的直線方程為x30＋y20＝ 1. 設線段 AB 上一點 P 的坐標為 ( x ， y ) ，則 y ＝ 20 －23x . 于是可得矩形 P FD G 的邊長分別為 ( 1 0 0 － x ) m 和????????80 －????????20 －23x m ， 返回目錄 點面講考向 第 40講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 則矩形 PFD G 的面積為 S ＝ ( 1 0 0 － x )????????80 －????????20 －23x ＝－23x2＋203x ＋ 6 0 0 0 ＝－23( x － 5)2＋ 6 0 0 0 ＋503(0 ≤ x ≤ 3 0 ) ． 所以，當 x ＝ 5 ， y ＝503時， 其面積最大，最大值約為 6 0 1 7 m2， 即當點 P 的坐標為????????5 ，503時 ， 矩形 P FD G 的面積最大，最大值約為 6 0 1 7 m2. 返回目錄 點面講考向 第 40講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 [ 點評 ] 本題解法較多，而根據(jù)矩形的特點，建立直角坐標系，用直線方程來解，是一種較簡便的方法．點P 的位置決定矩形 PFDG 面積的大小，而點 P 在線段 AB上，所以點 P 的坐標滿足方程x30＋y20＝ 1 ，這樣就可以消去一個未知量，將面積表示為函數(shù)關系，使問題得解．直線的方程實質(zhì)上是變量 x 與 y 的函數(shù)關系，在求一類最值中經(jīng)常用到，如下面的變式題． 歸納總結 在斜率存在時，直線的方程其實和一次函數(shù)之間可以互化，因此在解決和直線有關的最值問題時可以考慮借助函數(shù)思想去分析，同時注意自變量的變化范圍． 返回目錄 點面講考向 第 40講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 返回目錄 點面講考向 第 40講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 變式題 經(jīng)過點 P (2 ， 1) 的直線 l 分別與兩坐標軸的正半軸交于 A ， B 兩點． ( 1 ) 求 | OA |＋ | OB |的最小值及此時直線 l 的方程； ( 2 ) 求 | PA | | PB |的最小值及此時直線 l 的方程． 返回目錄 點面講考向 第 40講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 解：由條件知，直線 l 斜率 k 必存在． 設直線 l 方程為 y － 1 ＝ k ( x － 2) ， 顯然 k 0 ， 當 x ＝ 0 時， y ＝ 1 － 2 k ； y ＝ 0 時 ， x ＝ 2 －1k， 所以 A ， B 兩點的坐標分別為 A????????2 －1k， 0 ， B (0 ， 1 － 2 k ) ． 返回目錄 點面講考向 第 40講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 ( 1 ) | OA |＋ | OB |＝ (1 － 2 k ) ＋????????2 －1k ＝ 3 ＋????????－1k＋ ( － 2 k ) ≥ 3 ＋ 2 ????????－1k（－ 2 k ） ＝ 3 ＋ 2 2 . 當且僅當 －1k＝－ 2 k ， 即 k ＝－22時，等號成立， 此時直線方程為 y － 1 ＝－22( x － 2) ． 所以 | OA |＋ | OB |的最小值為 3 ＋ 2 2 ， 此時直線 l 的方程為 x ＋ 2 y － 2 － 2 ＝ 0. 返回目錄 點面講考向 第 40講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 ( 2 ) | PA | | PB | ＝????????2 －1k－ 22＋（ 0 － 1 ）2178。 （ 0 － 2 ）2＋（ 1 － 2 k － 1 ）2 ＝ 2 ????????1 ＋1k2 178。 （ 1 ＋ k2） ＝ 2 2 ＋1k2 ＋ k2 ≥ 2 2 ＋ 2 1k2 178。 k2＝ 4 ， 當且僅當1k2 ＝ k2， 即 k ＝－ 1 時，等號成立． 此時直線方程為 y － 1 ＝－ ( x － 2) ． 所以 | PA | | PB |的最小值為 4 ， 此時直線 l 的方程為 x ＋ y － 3 ＝ 0. 易錯究源 15 直線傾斜角 (斜率 )的范圍問題 返回目錄 多元提能力 第 40講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 例 [ 2 0 1 2 襄陽調(diào)研 ] 已知點 A ( － 1 ， 1) ， B (2 ，－ 2) ，若直線l ： x ＋ my ＋ m ＝ 0 與線段 AB 相交 ( 包含端點的情況 ) ，則實數(shù) m 的取值范圍是 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 返回目錄 多元提能力 第 40講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 [ 錯解 ] m ＝ 0 時，直線 l 與線段 AB 相交． 當 m ≠ 0 ， l 的斜率為 k ＝－1m，如圖 8 － 40 － 3 ，直線 l過點 P (0 ，－ 1) ，設直線 PA 、 PB 、 l 的傾斜角分別為 α 、 β 、θ ，則有 α θ β ，此時直線 l 與線段 AB 相交，而直線 PA 的斜率為－ 2 ，直線 PB 的斜率是－12，故－ 2 －1m －12，所以m ＝ 0 或12 m 2 . 返回目錄 多元提能力 第 40講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 圖 8 － 40 － 3 返回目錄 多元提能力 第 40講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 [ 錯因 ] 直線 l 與線段 AB 相交時，其傾斜角的范圍不是α θ β ，錯因是沒有用函數(shù) k ＝ t an α 的觀點去認識斜率和傾斜角之間的關系． 返回目錄 多元提能力 第 40講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 [ 正解 ] m ＝ 0 時，直線 l ： x ＝ 0 與線段 AB 相交； 當 m ≠ 0 ， 直線 l 的斜率為 k ＝－1m， 如圖 8 － 40 － 3 ，且直線 l 恒過點 P (0 ，－ 1) ． 圖 8 － 40 － 3 返回目錄 多元提能力 第 40講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 設直線 PA ， PB ， l 的傾斜角分別為 α ， β ， θ ， 當 l 從直線 PB 繞點 P 逆時針旋轉(zhuǎn)到直線 PA 時， θ ∈ [0 176。 ， α ] ∪ [ β ， 1 8 0 176。 )( α ， β 9 0 176。 ) ， 根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性知 k ≤ kPA＝－ 2 或 k ≥ kPB＝－12，即－1m≤ － 2 或－1m≥ －12，解得 0 m ≤12或 m ≥ 2 或 m 0 . 綜上得 m ∈????????－ ∞ ，12∪ [2 ，＋ ∞ ) ． 返回目錄 多元提能力 第 40講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 自我檢評 ( 1 ) 直線 l 經(jīng)過 A (2 ， 1) ， B (1 ， m2)( m ∈ R )兩點，那么直線 l 的傾斜角 α 的取值范圍是 ( ) A ． 0 ≤ α π B ． 0 ≤ α ≤π4或π2 α π C ． 0 ≤ α ≤π4 D.π4≤ α π2或π2 α π 返回目錄 多元提能力 第 40講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 ( 2 ) 直線 x － 2 c o s α y ＋ 3 ＝ 0????????α ∈????????π6，π3的傾斜角的變化范圍是 ( ) A.????????π6，π4 B .????????π6，π3 C.????????π4，2 π3 D .????????π4，π3 [ 答案 ] ( 1 ) B ( 2 ) A 返回目錄 多元提能力 第 40講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 [ 解析 ] ( 1 ) 直線 l 的斜率 k ＝m2－ 11 － 2＝ 1 － m2≤ 1 ， 又直線 l的傾斜角為 α ， 則有 t a n α ≤ 1 ， 即 t a n α 0 或 0 ≤ t a n α ≤ 1 ，所以π2 α π 或 0 ≤ α ≤π4. 故選 B. ( 2 ) 直線 x － 2 c o s α y ＋ 3 ＝ 0 的斜率 k ＝12 c o s α， ∵ α ∈????????π6，π3， ∴12≤ c o s α ≤32. 故 k ＝12 c o s α∈????????33， 1 . 設直線的傾斜角為 θ ， 則有 t a n θ ∈????????33， 1 ， 由于 θ ∈ [0 ， π ) ， ∴ θ ∈????????π6，π4. 【 備選理由 】 求直線方程是本講的主要內(nèi)容，而直線方程的各種形式的使用范圍和注意條件是學生容易忽視的，下面的例 例 2就是針對直線方程的兩點式和截距式而設置的．例 3是直線方程與證明的綜合應用題，意在提高學生的綜合應用能力． 返回目錄 教師備用題 第 40講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 返回目錄 教師備用題 第 40講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 例 1 過兩點 A ( 5 ， 1 ) 和 B ( m ， 3 ) 的直線方程是_ _ _ _ _ _ _ _ ． [ 答案 ] x － 5 ＝ 0 或 2 x － ( m － 5 ) y ＋ m － 15 ＝ 0. 返回目錄 教師備用題 第 40講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 [ 解析 ] 當 m ≠ 5 時，由直線方程的兩點式得y － 13 － 1＝x － 5m － 5， 即 2 x － ( m － 5) y ＋ m － 15 ＝ 0 ； 當 m ＝ 5 時，直線方程為 x － 5 ＝ 0. 返回目錄 教師備用題 第 40講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 例 2 直線過點 ( － 3 ， 4 ) ，且在兩坐標軸上的截距之和為 12 ，則該直線方程為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． [ 答案 ] 4 x － y ＋ 16 ＝ 0 或 x ＋ 3 y － 9 ＝ 0. 返回目錄 教師備用題 第 40講 直線的傾斜角與斜率、直線的方程 [ 解析 ] 由題設知截距不為 0 ， 設直線方程為xa＋y12 － a＝ 1 ， 從而－ 3a＋4