【文章內(nèi)容簡介】 、實軸在軸上的雙曲線滿足的部分；當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓滿足的部分；當時，點的軌跡為中心在原點、長軸在軸上的橢圓． ，橢圓短半軸長為1，動點 在直線上。（1）求橢圓的標準方程（2）求以O(shè)M為直徑且被直線截得的弦長為2的圓的方程；（3）設(shè)F是橢圓的右焦點，過點F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點N，求證：線段ON的長為定值，并求出這個定值?！窘馕觥浚?）又由點M在上，得 故， 從而 …2分所以橢圓方程為 或 4分（2）以O(shè)M為直徑的圓的方程為即 其圓心為,半徑……6分因為以O(shè)M為直徑的圓被直線截得的弦長為2所以圓心到直線的距離 …8分所以，解得所求圓的方程為…10分（3）方法一：由平幾知：直線OM：，直線FN：…12分由得所以線段ON的長為定值?！?4分方法二、設(shè)，則 ………12分又所以，為定值 …14分，焦點在軸上，該橢圓經(jīng)過點且離心率為．（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線與橢圓相交兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．解：（1）橢圓的標準方程為 （2）設(shè)，得: ， 以為直徑的圓過橢圓的右頂點，，，且均滿足，當時，的方程為，則直線過定點與已知矛盾當時，的方程為，則直線過定點直線過定點，定點坐標為，直線的方程為 （I）判斷直線與橢圓E交點的個數(shù)； （II）直線過P點與直線垂直，點M（1，0）關(guān)于直線的對稱點為N，直線PN恒過一定點G，求點G的坐標。解：（1）由消去并整理得，…………4分故直線與橢圓只有一個交點…………5分（2）直線的方程為即 設(shè)關(guān)于直線的對稱點的坐標為則 解得 直線的斜率為從而直線的方程為即從而直線恒過定點 ：的離心率為，過坐標原點且斜率為的直線與相交于、．⑴求、的值；⑵若動圓與橢圓和直線都沒有公共點，試求的取值范圍．解：⑴依題意，：……1分，不妨設(shè)設(shè)、（）由得，……3分，所以，解得，． ⑵由消去得……7分，動圓與橢圓沒有公共點，當且僅當或……9分，解得或……10分。動圓與直線沒有公共點當且僅當，即……12分。解或……13分，得的取值范圍為 如圖所示，已知圓為圓上一動點，點在上，點在上，且滿足的軌跡為曲線. （I）求曲線的方程； （II）若過定點F（0，2）的直線交曲線于不同的兩點（點在點之間），且滿足，求的取值范圍.【解】（Ⅰ）∴NP為AM的垂直平分線，∴|NA|=|NM|.……2分又∴動點N的軌跡是以點C（－1，0），A（1，0）=2. ……………5分∴曲線E的方程為………6分（Ⅱ）當直線GH斜率存在時，設(shè)直線GH方程為得設(shè)……………8分，………10分又當直線GH斜率不存在，方程為31．已知橢圓的兩個焦點分別為，點在橢圓上，且滿足，直線與圓相切，與橢圓相交于兩點．（I）求橢圓的方程； （II）證明為定值（為坐標原點）．解：（I）由題意， 解三角形得，由橢圓定義得， 從而又，則，所以橢圓的方程為 （6分） （II）設(shè)交點，聯(lián)立消去得 由韋達定理得 （9分）又直線與圓相切， 則有 從而 所以，即為定值． 32．已知拋物線：的焦點為，過點作直線交拋物線于、兩點；橢圓的中心在原點，焦點在軸上，點是它的一個頂點，且其離心率．（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過、兩點分別作拋物線的切線、切線與相交于點．證明：；（3） 橢圓上是否存在一點，經(jīng)過點作拋物線的兩條切線、（、為切點），使得直線過點？若存在，求出拋物線與切線、所圍成圖形的面積；若不存在，試說明理由．解：（1）設(shè)橢圓的方程為 ，得，∴ 解得 .所以橢圓的方程為：.……分（2）顯然直線的斜率存在，否則直線與拋物線只有一個交點，不合題意， 故可設(shè)直線的方程為 ， 由 消去并整理得 ， ∴ .…分∵拋物線的方程為，求導(dǎo)得，∴過拋物線上、兩點的切線方程分別是， ，即 ， ，解得兩條切線、的交點的坐標為，即，∴∴.（3）假設(shè)存在點滿足題意，由（2）知點必在直線上，又直線與橢圓有唯一交點，故的坐標為，設(shè)過點且與拋物線相切的切線方程為：，， 解得或 ……10分 故不妨取，即直線過點. 綜上所述，橢圓上存在一點，經(jīng)過點作拋物線的兩條切線、 （、為切點），能使直線過點.此時，兩切線的方程分別為和. 拋物線與切線、所圍成圖形的面積為 . 3已知橢圓的左、右焦點分別為FF2，其中F2也是拋物線的焦點，M是C1與C2在第一象限的交點，且（I）求橢圓C1的方程； （II）已知菱形ABCD的頂點A、C在橢圓C1上，頂點B、D在直線上，求直線AC的方程。解：（I）設(shè)由拋物線定義，…………3分， M點C1上，舍去.橢圓C1的方程為…………6分（II）為菱形，設(shè)直線AC的方程為 在橢圓C1上，設(shè)，則 …………10分的中點坐標為，由ABCD為菱形可知，點在直線BD：上，∴直線AC的方程為=，且過點（）（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+m(k≠0，m＞0)與橢圓交于P，Q兩點，且以PQ為對角線的菱形的一頂點為（1，0），求：△OPQ面積的最大值及此時直線l的方程..解：（Ⅰ）∵e= ∴c= a ∴b2=a2c2= a2故所求橢圓為：又橢圓過點（） ∴ ∴a2 =4. b2 =1 ∴(Ⅱ)設(shè)P（x1,y1）, Q（x2,y2）,PQ的中點為（x0,y0）將直線y=kx+m與聯(lián)立得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0 ①又x0=又點［1，0）不在橢圓OE上，依題意有整理得3km=4k2+1 ②…由①②可得k2＞，∵m＞0, ∴k＞0,∴k＞…分）設(shè)O到直線l的距離為d，則S△OPQ ==…分）當?shù)拿娣e取最大值1，此時k= ∴直線方程為y= OFxyP第35題.（1）求點的軌跡的方程；（2）過點作一條直線交軌跡于兩點，軌跡在兩點處的切線相交于點，為線段的中點，求證：軸.解：（1）根據(jù)拋物線的定義，可得動圓圓心的軌跡C的方程為證明：設(shè)， ∵， ∴ ，∴ 的斜率分別為，故的方程為，的方程為即，兩式相減，得，又，∴ 的橫坐標相等，于是36．已知定點和直線，過定點F與直線相切的動圓圓心為點C。 （1）求動點C的軌跡方程； （2）過點F在直線l2交軌跡于兩點P、Q，交直線l1于點R，求的最小值。解：（1）由題設(shè)點C到點F的距離等于它到的距離，∴點C的軌跡是以F為焦點，為準線的拋物線 ∴所求軌跡的方程為 （2）由題意直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立消去記 ……6分因為直線PQ的斜率，易得點R的坐標為……8分，當且僅當時取到等號?！?1分的最小值為16 37．已知橢圓的長軸長為4。 （1）若以原點為圓心、橢圓短半軸為半徑的圓與直線相切，求橢圓焦點坐標； （2）若點P是橢圓C上的任意一點，過原點的直線L與橢圓相交于M，N兩點，記直線PM，PN的斜率分別為，當時，求橢圓的方程。解：（1）由……2分 （2）由于過原點的直線L與橢圓相交的兩點M，N交于坐標原點對稱不妨設(shè)：M，N，P在橢圓上，則它們滿足橢圓方程，即有兩式相減得： 由題意它們的斜率存在，則 故所求橢圓的方程為 38. 已知橢圓的左右兩焦點分別為，是橢圓上的一點，且在軸的上方，是上一點，若，（其中為坐標原點）.(Ⅰ)求橢圓離心率的最大值。(Ⅱ)如果離心率取(Ⅰ)中求得的最大值, 已知，點，設(shè)是橢圓上的一點，過、兩點的直線交軸于點,若, 求直線的方程.解:(Ⅰ)由題意知則有與相似所以 設(shè),則有,解得所以根據(jù)橢圓的定義得: ,即所以 顯然在上是單調(diào)減函數(shù)當時,取最大值所以橢圓離心率的最大值是 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,解得所以此時橢圓的方程為,題意知直線的斜率存在,故設(shè)其斜率為,則其方程為設(shè),由于,所以有……12分又是橢圓上的一點,則解得所以直線的方程為或 ，焦點在軸上，離心率為，P為橢圓上一動點。FF2分別為橢圓的左、右焦點，且面積的最大值為 （1）求橢圓C1的方程；（2）設(shè)橢圓短軸的上端點為A，M為動點，且成等差數(shù)列，求動點M的軌跡C2的方程；（3）作C2的切線交C1于O、R兩點，求證：解：（1）設(shè)橢圓C1的方程為， 2分 由橢圓的幾何笥質(zhì)知，當點P為橢圓的短軸端點時，的面積最大。 ，由 解得 故橢圓C1的方程為 5分 （2）由（1）知A（0，1）， 設(shè)則 7分 整理得M的軌跡C2的方程為 （3）①當切線的斜率存在時，設(shè)，代入橢圓方程得： ， 設(shè)，則 11分 ，則 又與C2相切，即，故 13分②當切線的斜率不存在時，直線或此時綜合①②得， 14分40．已知可行域的外接圓C與x軸交于點AA2，橢圓C1以線段A1A2為長軸，離心率． （1）求圓C及橢圓C1的方程； （2）設(shè)橢圓C1的右焦點為F，點P為圓C上異于AA2的動點，過原點O作直線PF的垂線交直線于點Q，判斷直線PQ與圓C的位置關(guān)系，并給出證明．解：（1）由題意可知，可行域是以及點為頂點的三角形，∵，∴為直角三角形，………2分∴外接圓C以原點O為圓心，線段A1A2為直徑，故其方程為．∵2a=4，∴a=2．又，∴，可得．∴所求橢圓C1的方程是．6分（2）直線PQ與圓C相切．設(shè)，則．當時，∴；當時，∴直線OQ的方程為．……8分因此，點Q的坐標為．∵ ∴當時，；當時候，∴．綜上，當時候，故直線PQ始終與圓C相