空間解析幾何與向量代數(shù)(編輯修改稿)
2024-10-22 17:11 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 方式定義： 的模，式中為向量a與b的夾角。 的方向垂直與a與b的平面，指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b。 ※注意：數(shù)量積得到的是一個(gè)數(shù)值，而向量積得到的是向量。b) 公式：f) 性質(zhì)：Ⅰ.Ⅱ.兩個(gè)非零向量a與b平行a∥b的充分必要條件為：Ⅲ. Ⅳ. Ⅴ. 為數(shù)c) 幾個(gè)等價(jià)公式：Ⅰ.坐標(biāo)表示式：設(shè)，則 Ⅱ.行列式表示式：d) 例子：已知三角形ABC的頂點(diǎn)分別為：A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7)，求三角形ABC的面積。解：根據(jù)向量積的定義，由于＝{2,2,2}，＝{1,2,4}因此于是 第四節(jié)：曲面及其方程；空間曲線及其方程教學(xué)目的：介紹各種常用的曲面，為下學(xué)期學(xué)習(xí)重積分、線面積分打下基礎(chǔ)，介紹空間曲線的各種表示形式，為重積分、曲面積分作準(zhǔn)備的。學(xué)生應(yīng)該會寫出常用的曲面方程，并對已知曲面方程能知道所表示曲面的形狀。教學(xué)重點(diǎn)： 教學(xué)難點(diǎn)： 教學(xué)內(nèi)容：一、曲面方程的概念1. 實(shí)例：水桶的表面、臺燈的罩子面等，曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡。2. 曲面方程的定義：如果曲面S與三元方程 （1）有下述關(guān)系：（1） 曲面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程（1）（2） 不在曲面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程（1）那么，方程（1）就叫做曲面的方程，而曲面就叫做方程（1）的圖形。3．幾種常見曲面（1）球面例1：建立球心在、半徑為R的球面的方程。 解：設(shè)是球面上的任一點(diǎn)，那么即： 或： 特別地：如果球心在原點(diǎn)，那么球面方程為（討論旋轉(zhuǎn)曲面）（2）線段的垂直平分面（平面方程）例2：設(shè)有點(diǎn)和，求線段的垂直平分面的方程。 解：由題意知道，所求平面為與和等距離的點(diǎn)的軌跡，設(shè)是所求平面上的任一點(diǎn)，由于，那么化簡得所求方程研究空間曲面有兩個(gè)基本問題：（1） 已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程。（2） 已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀。i. 旋轉(zhuǎn)曲面定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面，旋轉(zhuǎn)曲線和定直線依次叫旋轉(zhuǎn)曲面的母線和軸。二、旋轉(zhuǎn)曲面的方程 設(shè)在yoz坐標(biāo)面上有一已知曲線C，它的方程為f（y，z）＝0把這曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，就得到一個(gè)以z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面，設(shè)為曲線C上的任一點(diǎn)，那么有f（y1，z1）＝0 （2）當(dāng)曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)M1也繞z軸旋轉(zhuǎn)到另一點(diǎn)，這時(shí)z＝z1保持不變，且點(diǎn)M到z軸的距離將z1＝z，代入（2）式，就有螺旋曲面的方程為旋轉(zhuǎn)曲面圖繞哪個(gè)軸旋轉(zhuǎn)，該變量不變，另外的變量將缺的變量補(bǔ)上改成正負(fù)二者的完全平方根的形式。常用旋轉(zhuǎn)曲面：錐面（直線繞直線旋轉(zhuǎn)，兩直線的夾角（0176。90176。）），方程為： 其中三、柱面1．定義：平行于定直線并沿曲線定曲線C移動的直線L形成的軌跡叫做柱面。 定曲線C：準(zhǔn)線 動直線L：母線2．特征：x，y，z三個(gè)變量中若缺其中之一（例如y）則表示母線平行于y軸的柱面。3：幾個(gè)常用的柱面：b) 圓柱面：（母線平行于z軸）c) 拋物柱面：（母線平行于z軸）四、空間曲線的一般方程 空間曲線可以看作兩個(gè)曲面的交線，故可以將兩個(gè)曲面聯(lián)立方程組形式來表示曲線。特點(diǎn)：曲線上的點(diǎn)都滿足方程，滿足方程的點(diǎn)都在曲線上，不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程。五、空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上的動點(diǎn)的坐標(biāo)表示為參數(shù)t的函數(shù)：當(dāng)給定時(shí)，就得到曲線上
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