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正文內(nèi)容

空間解析幾何與向量代數(shù)(編輯修改稿)

2024-10-22 17:11 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 方式定義: 的模,式中為向量a與b的夾角。 的方向垂直與a與b的平面,指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b。 ※注意:數(shù)量積得到的是一個(gè)數(shù)值,而向量積得到的是向量。b) 公式:f) 性質(zhì):Ⅰ.Ⅱ.兩個(gè)非零向量a與b平行a∥b的充分必要條件為:Ⅲ. Ⅳ. Ⅴ. 為數(shù)c) 幾個(gè)等價(jià)公式:Ⅰ.坐標(biāo)表示式:設(shè),則 Ⅱ.行列式表示式:d) 例子:已知三角形ABC的頂點(diǎn)分別為:A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7),求三角形ABC的面積。解:根據(jù)向量積的定義,由于={2,2,2},={1,2,4}因此于是 第四節(jié):曲面及其方程;空間曲線及其方程教學(xué)目的:介紹各種常用的曲面,為下學(xué)期學(xué)習(xí)重積分、線面積分打下基礎(chǔ),介紹空間曲線的各種表示形式,為重積分、曲面積分作準(zhǔn)備的。學(xué)生應(yīng)該會寫出常用的曲面方程,并對已知曲面方程能知道所表示曲面的形狀。教學(xué)重點(diǎn): 教學(xué)難點(diǎn): 教學(xué)內(nèi)容:一、曲面方程的概念1. 實(shí)例:水桶的表面、臺燈的罩子面等,曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡。2. 曲面方程的定義:如果曲面S與三元方程 (1)有下述關(guān)系:(1) 曲面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程(1)(2) 不在曲面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程(1)那么,方程(1)就叫做曲面的方程,而曲面就叫做方程(1)的圖形。3.幾種常見曲面(1)球面例1:建立球心在、半徑為R的球面的方程。 解:設(shè)是球面上的任一點(diǎn),那么即: 或: 特別地:如果球心在原點(diǎn),那么球面方程為(討論旋轉(zhuǎn)曲面)(2)線段的垂直平分面(平面方程)例2:設(shè)有點(diǎn)和,求線段的垂直平分面的方程。 解:由題意知道,所求平面為與和等距離的點(diǎn)的軌跡,設(shè)是所求平面上的任一點(diǎn),由于,那么化簡得所求方程研究空間曲面有兩個(gè)基本問題:(1) 已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí),求曲面方程。(2) 已知坐標(biāo)間的關(guān)系式,研究曲面形狀。i. 旋轉(zhuǎn)曲面定義:以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面,旋轉(zhuǎn)曲線和定直線依次叫旋轉(zhuǎn)曲面的母線和軸。二、旋轉(zhuǎn)曲面的方程 設(shè)在yoz坐標(biāo)面上有一已知曲線C,它的方程為f(y,z)=0把這曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周,就得到一個(gè)以z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面,設(shè)為曲線C上的任一點(diǎn),那么有f(y1,z1)=0 (2)當(dāng)曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí),點(diǎn)M1也繞z軸旋轉(zhuǎn)到另一點(diǎn),這時(shí)z=z1保持不變,且點(diǎn)M到z軸的距離將z1=z,代入(2)式,就有螺旋曲面的方程為旋轉(zhuǎn)曲面圖繞哪個(gè)軸旋轉(zhuǎn),該變量不變,另外的變量將缺的變量補(bǔ)上改成正負(fù)二者的完全平方根的形式。常用旋轉(zhuǎn)曲面:錐面(直線繞直線旋轉(zhuǎn),兩直線的夾角(0176。90176。)),方程為: 其中三、柱面1.定義:平行于定直線并沿曲線定曲線C移動的直線L形成的軌跡叫做柱面。 定曲線C:準(zhǔn)線 動直線L:母線2.特征:x,y,z三個(gè)變量中若缺其中之一(例如y)則表示母線平行于y軸的柱面。3:幾個(gè)常用的柱面:b) 圓柱面:(母線平行于z軸)c) 拋物柱面:(母線平行于z軸)四、空間曲線的一般方程 空間曲線可以看作兩個(gè)曲面的交線,故可以將兩個(gè)曲面聯(lián)立方程組形式來表示曲線。特點(diǎn):曲線上的點(diǎn)都滿足方程,滿足方程的點(diǎn)都在曲線上,不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿足兩個(gè)方程。五、空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上的動點(diǎn)的坐標(biāo)表示為參數(shù)t的函數(shù):當(dāng)給定時(shí),就得到曲線上
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