【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ????????????????????????????2200221074012210220074012210101231 （ 1）當(dāng) 2?k 時(shí)， 2?rankA ，可求得 0?Ax 的基礎(chǔ)解系，也就是 ??AN 的基為 ? ? ? ?TT 1,0,2,7,0,1,2,4 21 ???? ?? 從而它的維數(shù)為 2。 當(dāng) 2?k 時(shí)， 3?rankA ，可求得 0?Ax 的基礎(chǔ)解系，也就是 ??AN 的基為 ? ?T1,1,0,3??? ，從而它的維數(shù)為 1。 （ 2）當(dāng) 2?k 時(shí)， 2?ranA ，且矩陣 B的第 1， 2 列線性無(wú)關(guān)，故 21,?? 是 ? ?4321 , ????L的一組基，它的維數(shù)為 2。 2在 4R 中，求 ? ?1,1,2,1?? 在基 ? ? ? ? ? ?1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1 321 ??????? ??? ? ?1,1,1,14 ???? 下的坐標(biāo)。 分析 求向量在某基下的坐標(biāo)，通常采用待定系數(shù)法，或者利用 坐標(biāo)變換公式。 解法 1 設(shè) 44332211 ????? kkkk ???? ，由向量相等的定義得 ???????????????????????11214321432143214321kkkkkkkkkkkkkkkk 解此線性方程組，得惟一解 ,41,41,45321 ???? kkk 414 ??k ，故 ? 在給定基下的坐標(biāo)為 ?????? ?? 41,41,41,45 解法 2 向量 ? 的 4 個(gè)分量可以理解為 ? 在 4R 的基 ? ? ? ? ? ? ? ?1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1 4321 ???? eeee 下的坐標(biāo)，容易求出由基4321 , eeee 到基 4321 , ???? 的過(guò)渡矩陣 ???????????????????1111111111111111C 設(shè) ? 在基 4321 , ???? 下的坐標(biāo)為 ? ?4321 , yyyy 則由坐標(biāo)變換公式求得 ??????????????????????????????????????????????????????4/14/14/14/5112141112114321CCyyyy 2設(shè) 3R 的兩組基為 （Ⅰ）：??????????????????????????????????101,101,111321 ??? （Ⅱ）：?????????????????????????????????343,432,121321 ??? 求曲基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的過(guò)渡矩陣。 分析 求過(guò)渡矩陣通常采用待定法和中介基法。 解 采用中介基法求過(guò)渡矩陣 C，引進(jìn) 3R 的標(biāo)準(zhǔn)基 321 , eee ，并寫出由它到基（Ⅰ）的過(guò)渡矩陣 A，及到基（Ⅱ）的過(guò)渡矩陣 B。 ???????????????????????341432321,111001111BA 即有 ? ? ? ? ? ? ? ? BeeeAeee 321321321321 ,,, ?? ?????? 于是得 ? ? ? ? BA 1321321 , ?? ?????? ，故由基（ I）到基（Ⅱ）的過(guò)渡矩陣為 ?????????????????????????????????????? ?1010104323414323212/112/12/102/10101 BAC 2設(shè) 4R 的兩組基為 （Ⅰ）? ?? ?? ?? ????????????2,3,0,05,8,0,00,0,1,20,0,2,54321???? （Ⅱ）? ?? ?? ?? ????????????1,1,0,10,2,1,00,0,2,00,0,0,14321???? （ 1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的過(guò)渡矩陣； （ 2）求向量 221 23 ???? ??? 在基（Ⅰ）下的坐標(biāo)。 分析 采用中介基法求過(guò)渡矩陣比較方便，已經(jīng)知道 ? 在基（Ⅰ）下的坐標(biāo)，可利用坐標(biāo)變換公式求出 ? 在基（Ⅰ）下的坐標(biāo)。 解 （ 1）引進(jìn) 4R 的標(biāo)準(zhǔn)基 4321 ., eeee ，并寫出由它到基（Ⅰ）的過(guò)渡矩陣 A，及到基（Ⅱ）的過(guò)渡矩陣 B： ??????????????????????????1000120001201001,2500380000120025BA 即有 ? ? ? ? Aeeee 43214321 ,, ????? ? ? ?Beeee 43214321 ,, ????? 于是得 ? ? ? ? BA 143214321 ,, ?? ???????? 故由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的過(guò)渡矩陣 ???????????????????? ?3100014002510212411 BAC （ 2） ? 在基（ I）下的坐標(biāo)為????????????????????????????1041970123C 注 該例中 i? 與 i? 都是行向量，它們?cè)诨?4321 , eeee 下的坐標(biāo)寫成列向量時(shí)，才能作為過(guò)渡矩陣 A或 B 的列。 2已知方陣??????????????11312221?A ， 3 階方陣 0?B 滿足 OAB? ，試求 ? 的值。 分析 由 OAB? 知， B 的列向量都是齊次線性方程組 0?Ax 的解向量，而 0?B 表明 B 中至少有一個(gè)非零列向量，故 0?Ax 有非零解。 解 將 B 按列分塊為 ? ?321 , ????B ，則 OAB? 等價(jià)于 ? ?3,2,10 ?? jA j? 由 0?B 知0?Ax 有非零解，故必有 0det ?A ,由此解得 1?? 2設(shè) ?????????????????????164242156241121113011A 求方程組 0?Ax 的基礎(chǔ)解系，并用基礎(chǔ)解系表示方程組的通解。 解 ??????????????????? ??00000110002020020201初等行變換A 由于 ,5,3 ?? nran kA 所以基礎(chǔ)解系中含 2??rankAn 個(gè)解向量，同解向方程組為 ???????????5453253122xxxxxxxx （ *） 方法 1 先求通解，再?gòu)闹姓页龌A(chǔ)解系。 由式（ *）得出通解 ?????????????????25241321221122kxkxkxkkxkkx或向量形式???????????????????????????????????110220011121 kkx ? ?Rkk ?,21 基礎(chǔ)解系為 ? ? ? ?TT 1,1,0,2,2,0,0,1,1,1 21 ??? ?? 方法 2 先求基礎(chǔ)解系， 再寫出通解 在式（ *）中依次令 ??????????????????? 10,0153xx 可求得????????????????????????????????122,011321xxx 組合成基礎(chǔ)解系 ? ? ? ?TT 1,1,0,2,2,0,0,1,1,1 21 ??? ?? 通解為 ),( 213211 Rkkkkx ??? ?? 2設(shè)???????????101102121cccA ，且方程組 0?Ax 的解空間的維數(shù)為 2，求 0?Ax 的通解。 分析 由于解空間的維數(shù)等于 0?Ax 的基 礎(chǔ)解系中含解向量的個(gè)數(shù)，所以 rankA??42 ，即 2?rankA ，故先要確定 c，使 2?rankA 。 解 ? ? ? ? ???????????????????????????????22 1100102221011120102121cccccccccA 欲使 2?rankA ，只有 ? ? 012 ??c ，可得 1?c ，此時(shí)，同解方程組為 ??? ????41231 xxx xx 通解為 ? ? ? ?TT kkx 1,0,1,00,1,1,1 21 ???? ? ?Rkk ?21, 。 注 A 為含參數(shù)的 n 階方陣時(shí)，如果 nrrankA ?? ，則 0det ?A ，但是，由 0det ?A 得到的參數(shù)值能否滿足 rrankA? ，還需要檢驗(yàn)。 2設(shè) 1? 與 2? 是非齊次線性方程組 bAx? 的兩個(gè)不同的解， 1? 與 2? 是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組 0?Ax 的基礎(chǔ)解系， 1k 與 2k 是任意常數(shù)，則 bAx? 的通解為 。 （ a） ? ?211121 22 ????? ???? kk (b) ? ?211121 22 ????? ???? kk (c) ? ?211121 22 ????? ???? kk (d) ? ?211121 22 ????? ???? kk 解 答案為（ b），因?yàn)?2 21 ??? 是 bAx? 的解，而 1? 與 21 ??? 都是 0?Ax 的解。且線性無(wú)關(guān)，故構(gòu)成基礎(chǔ)解系，從而（ b）是 bAx? 的通解。（ d）中 1? 與 21 ??? 雖然都是 0?Ax的解，但不能保證兩者線性無(wú)關(guān)。（ a）中的表達(dá)式僅是 0?Ax 的解，（ c）中的表達(dá)式不定是 bAx? 的解（比如 212?k）。 ? 取何值時(shí)，線性方程組 ????????????????23213213212222??xxxxxxxxx 有解？并求其通解。 解 對(duì)方程的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，可得 ? ? ? ?? ? ????????????????????????????????21000121211221112121122 ?????bA ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ???????????????????????????????????????210001321104311012100012122331???????? 易見(jiàn)，當(dāng) 1?? 或 2??? 時(shí)，方程組有解。 1?? 時(shí)通解為??????????????????????111001kx ， k 為任意