【正文】 8124483231021210121AB ????????????????????? ???????????????000000214284483231021BC ????????????????? ???????? ??? 00 189242841210 121AC ???????????????????? ???????????? ???50110022020210121214284CA 注 （ 1）矩陣乘法一般不滿足交換律，如本例中， A與 B 可乘，但 B 與 A 不可乘， AC、CA雖然都存在，可階數(shù)不同，無法比較，即使 都為同階方陣，一般也不滿足交換律。 證明 ???????? ??????? ???ninnnn aaaaaaaaD1 121121111111111111111111?????????? 其中 nia i ,2,1,0 ??? 證 當 1?n 時， ???????? ????1111111 aaaD ，結(jié)論成立。 （ 2）行列式按某一行或某一列展開時，一定要會正確確定展開式中各項的正負號。 當 59 2 ??x 即 2??x 時， 4D 中第三、四行對應(yīng)元素相等，因此 4D 還有因子 ? ?? ?22 ?? xx 又根據(jù)行列式定義知， 4D 為 x 的 4 次多項式，所以 ? ?? ?? ?? ?22114 ????? xxxxaD 現(xiàn)只要求出 4x 的系數(shù)即可，令 0?x ，可算出 124 ??D ，于是 3??a ，故 ? ?? ?? ?? ?221134 ?????? xxxxD 注 該題方法稱為析因子法，即運用行列式性質(zhì)找出 4D 的全部因子，最后再確定最高次項系數(shù)。答 疑 題 庫 —— 線性代數(shù)與解析幾何（一） 計算 n 階行列式 000100002000010?????????nnD n?? 分析 由 定 義 知 ， n 階 行 列 式 共 有 n! 項 ， 每 一 項 的 一 般 形 式 為? ? ? ? nn ppppppr aaa ,21 21211 ??? 若某一項 n 階元素的乘積中有零因子，則該項為零，由于本 行列式中零元素較多，因而為零的項就較多，故只須找出那些不為零的項就可求得該行列式的值。 計算下面 n 階行列式 （ 1） 。 （ 3）讀者對 2， 3 階行列式的計算一定要非常熟悉。 假設(shè) kn? 時結(jié)論成立，即 ???????? ?? ??ki ikk aaaaD 12111? ，那么，當 ??kn 時，將 1?kD 按最后一列拆開，有 ???????????1212111110111011101111111111111111111kkkkaaaaaaaD?????????????????? ???? ?? kkkkkkDaaaaDaaaa1211211111000000000?????????? ???????? ?????????? ??? ?? ???? 111211121 1111 ki ikki ikkk aaaaaaaaaaa ??? 所以 1??kn 時結(jié)論亦成立。 （ 2）該題中 B 和 C都不是零矩陣，可它們的乘積為零矩陣，換句話說，僅由 AB=0，一般推不出 A=0 或 B=0，由此導致消去律一般也不成立，即由 AB=AC 不能得到 B=C。 證 由已知 ? ? ? ?? ? BABBAABABBAABABABABA ?????????????? 222 于是 0??BAAB 上式分別左乘 A和右乘 A，得 02 ???? ABAABABABA 02 ???? BAABABAABA 此二式相減得 BAAB? 代入（ *）式即得 0?AB 注 （ 1）因矩陣乘法一般不滿足交換律，故由 ? ? BABABABABABA ????????? 22 222 得證 0?AB 是錯誤的。 1設(shè) ????? , 321 均為 4 維列向量， ? ? ? ????????? , 321321 ?? BA ，且3de t,2de t ?? BA ，則 ? ??? BA 3det 。 1求下列矩陣的秩 （ 1）???????????????????????????????1098765987654876543765432654321)2(。 解 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ????? ? ?????????????????? TnTTTTTTTnTnA 13?? ??????????? ??12/333/2123/12/1133 11 nn A 注 雖然矩陣乘法一般不滿足交換律，但結(jié)合律、分配律等是成立的。 1證明任何一個秩為 r 的矩陣都可以表示 r 個秩為非奇異的矩陣之和。 解 構(gòu)造矩陣 ? ??????????????tA10331511, 321 ??? 由 ? ?12det ?? tA 可得： 1?t 時 0det ?A ，向量組 321 , ??? 線性無關(guān)； 1?t 時 0det ?A ，向量組 321 , ??? 線性相關(guān)。又321 , ??? 線性相關(guān)，所以 32,?? 線性無關(guān)，又 321 , ??? 線性相關(guān)，所以 1? 可由 32,?? 線性表示。 注 按照逐個選錄法求向量組的最大無關(guān)組及秩時，運算量較大，因此較少采用。 注 利用矩陣的初等變換方法注向量組的最大無關(guān)組時，對以行向量組按行構(gòu)成的矩陣只能進行初等 列變換，對以列向量組按列構(gòu)成的矩陣只能進行初等行變換。 解 對矩陣 A作初等行變換 BkkkkkkA ??????????????????????????????????????????????2200221074012210220074012210101231 （ 1）當 2?k 時， 2?rankA ，可求得 0?Ax 的基礎(chǔ)解系，也就是 ??AN 的基為 ? ? ? ?TT 1,0,2,7,0,1,2,4 21 ???? ?? 從而它的維數(shù)為 2。 分析 求向量在某基下的坐標，通常采用待定系數(shù)法，或者利用 坐標變換公式。 ???????????????????????341432321,111001111BA 即有 ? ? ? ? ? ? ? ? BeeeAeee 321321321321 , ?? ?????? 于是得 ? ? ? ? BA 1321321 , ?? ?????? ，故由基（ I）到基（Ⅱ）的過渡矩陣為 ?????????????????????????????????????? ?1010104323414323212/112/12/102/10101 BAC 2設(shè) 4R 的兩組基為 （Ⅰ）? ?? ?? ?? ????????????2,3,0,05,8,0,00,0,1,20,0,2,54321???? （Ⅱ）? ?? ?? ?? ????????????1,1,0,10,2,1,00,0,2,00,0,0,14321???? （ 1）求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的過渡矩陣； （ 2）求向量 221 23 ???? ??? 在基（Ⅰ）下的坐標。 分析 由 OAB? 知， B 的列向量都是齊次線性方程組 0?Ax 的解向量，而 0?B 表明 B 中至少有一個非零列向量，故 0?Ax 有非零解。 分析 由于解空間的維數(shù)等于 0?Ax 的基 礎(chǔ)解系中含解向量的個數(shù)，所以 rankA??42 ，即 2?rankA ，故先要確定 c，使 2?rankA 。 （ a） ? ?211121 22 ????? ???? kk (b) ? ?211121 22 ????? ???? kk (c) ? ?211121 22 ????? ???? kk (d) ? ?211121 22 ????? ???? kk 解 答案為（ b），因為 2 21 ??? 是 bAx? 的解，而 1? 與 21 ??? 都是 0?Ax 的解。 ? 取何值時，線性方程組 ????????????????23213213212222??xxxxxxxxx 有解？并求其通解。 注 方程組的系數(shù)矩陣不含參數(shù)，而右端項含有參數(shù)時，一般只能用初等行變換法討論并求解。 ( ) 所 有 可以表 示 成形式mmnnbbb aaa ?? ?? ??? ??? ??10 10的數(shù)組 為 一數(shù)域。 （ ） 已知 ? ? ? ?xgxf ? 與 ??xf 的最高次項系數(shù)相等，則 ? ?? ? ? ?? ?xfxg ??? 。 （ ） 1如 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?xhxgxfxhxfxgxf ?則, 。 （ ） 15 、 零 多 項 式 與 零 多 項 式 的 最 大 公 因 式 為 零 多 項 式 。 （ ） 19 、 兩 零 多 項 式 不 互 素 。 （ ） 26 、 A是 3 2 矩陣， B 是 2 3 矩陣，則 A與 B， B 與 A 都可以相乘 。 （ ） 設(shè) ???????? ?? 110 201A， ? ? 1??xxf ，則 ? ? ????????????????? ?? 10 01110 201Af 。kACAkCACk ?? D、 ? ? ? ? ? ? ? ?CkACAkkACACk ??? A與 B都是數(shù)域 P上的矩 陣，并且 A等價 于 B， 以下說法正確的是 （ ） A、 A與 B 的行數(shù)，列數(shù)分別相同 B、 A與 B 的標準形相同； C、 A與 B 等價于同一個矩陣； D、 BA? 11 設(shè)????????????201A 是 3階對角矩陣，以下說法錯誤的的是 （ ）。 1設(shè) mmtmnm PTPBPA ??? ??? , ， BAX? 的解都是 ? ? TBXTA ? 的解嗎？以下 情 況 正 確 的 是 （ ） A ? ? TBXTA ? 的解都是 BAX? 的解。 B BAX? 的解都是 ? ? TBXTA ? 的解。 B t??? , 21 ? 是 0?Ax 的基礎(chǔ)解系。 A 21 uu ? 是 bAx? 的解。 B ni? C bP m ?? ?? , D ???? , 21 i? 都是 A的列向量。 ?nE ?nE2 ??nE 2 時間、速度、長度、力、位移、面積中，矢量有 2設(shè) a 和 b 是失量，