線性代數考試復習范圍指南[小編推薦](編輯修改稿)
2025-10-17 19:02 本頁面
【文章內容簡介】 充要條件：①A為正定的充要條件是A的所有特征值都大于0；②A為正定的充要條件是A的所有順序主子式都大于0；《線性代數》復習提綱第一部分：基本要求（計算方面）四階行列式的計算；N階特殊行列式的計算（如有行和、列和相等）；矩陣的運算（包括加、減、數乘、乘法、轉置、逆等的混合運算）；求矩陣的秩、逆（兩種方法）；解矩陣方程；含參數的線性方程組解的情況的討論；齊次、非齊次線性方程組的求解（包括唯一、無窮多解）；討論一個向量能否用和向量組線性表示；討論或證明向量組的相關性；求向量組的極大無關組，并將多余向量用極大無關組線性表示；將無關組正交化、單位化；求方陣的特征值和特征向量；討論方陣能否對角化，如能，要能寫出相似變換的矩陣及對角陣； 通過正交相似變換（正交矩陣）將對稱矩陣對角化；寫出二次型的矩陣，并將二次型標準化，寫出變換矩陣；判定二次型或對稱矩陣的正定性。第二部分：基本知識一、行列式1．行列式的定義用n^2個元素aij組成的記號稱為n階行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n個元素乘積的代數和；（2）展開式共有n!項，其中符號正負各半；2．行列式的計算一階|α|=α行列式，二、三階行列式有對角線法則；N階（n=3）行列式的計算：降階法定理：n階行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積的和。方法：選取比較簡單的一行（列），保保留一個非零元素，其余元素化為0，利用定理展開降階。特殊情況上、下三角形行列式、對角形行列式的值等于主對角線上元素的乘積；（2）行列式值為0的幾種情況：Ⅰ 行列式某行（列）元素全為0；Ⅱ 行列式某行（列）的對應元素相同；Ⅲ 行列式某行（列）的元素對應成比例； Ⅳ 奇數階的反對稱行列式。二．矩陣1．矩陣的基本概念（表示符號、一些特殊矩陣――如單位矩陣、對角、對稱矩陣等）；2．矩陣的運算（1）加減、數乘、乘法運算的條件、結果；（2）關于乘法的幾個結論：①矩陣乘法一般不滿足交換律（若AB＝BA，稱A、B是可交換矩陣）；②矩陣乘法一般不滿足消去律、零因式不存在；③若A、B為同階方陣，則|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|3．矩陣的秩（1）定義 非零子式的最大階數稱為矩陣的秩；（2）秩的求法一般不用定義求，而用下面結論：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；階梯形矩陣的秩等于非零行的個數（每行的第一個非零元所在列，從此元開始往下全為0的矩陣稱為行階梯陣）。求秩：利用初等變換將矩陣化為階梯陣得秩。4．逆矩陣（1）定義：A、B為n階方陣，若AB＝BA＝I，稱A可逆，B是A的逆矩陣（滿足半邊也成立）；（2）性質：(AB)^1=(B^1)*(A^1)，(A39。)^1=(A^1)39。；(A B的逆矩陣，你懂的)（注意順序）（3）可逆的條件：① |A|≠0； ②r(A)=n。③AI。（4）逆的求解伴隨矩陣法 A^1=(1/|A|)A*；(A* A的伴隨矩陣~)②初等變換法（A:I）(施行初等變換)（I:A^1）5．用逆矩陣求解矩陣方程：AX=B，則X=（A^1）B；XB=A，則X=B(A^1)；AXB=C，則X=(A^1)C(B^1)三、線性方程組1．線性方程組解的判定定理：(1)r(A,b)≠r(A)無解；(2)r(A,b)=r(A)=n 有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)特別地：對齊次線性方程組AX=0(1)r(A)=n 只有零解；(2)r(A)再特別，若為方陣，(1)|A|≠0 只有零解(2)|A|=0 有非零解2．齊次線性方程組（1）解的情況：r(A)=n，（或系數行列式D≠0）只有零解；r(A)（2）解的結構：X=c1α1+c2α2+…+Cnrαnr。（3）求解的方法和步驟：①將增廣矩陣通過行初等變換化為最簡階梯陣；②寫出對應同解方程組；③移項，利用自由未知數表示所有未知數；④表示出基礎解系；⑤寫出通解。3．非齊次線性方程組（1）解的情況：利用判定定理。（2）解的結構：X=u+c1α1+c2α2+…+Cnrαnr。（3）無窮多組解的求解方法和步驟：與齊次線性方程組相同。（4）唯一解的解法：有克萊姆法則、逆矩陣法、消元法（初等變換法）。四、向量組1．N維向量的定義注：向量實際上就是特殊的矩陣（行矩陣和列矩陣）。2．向量的運算：（1）加減、數乘運算（與矩陣運算相同）；（2）向量內積 α39。β=a1b1+a2b2+…+anbn；（3）向量長度|α|=√α39。α=√(a1^2+a2^2+…+an^2)(√ 根號)（4）向量單位化(1/|α|)α；（5）向量組的正交化（施密特方法）設α1，α 2，…，αn線性無關，則β1=α1，β2=α2（α2’β1/β1’β）*β1，β3=α3（α3’β1/β1’β1）*β1（α3’β2/β2’β2）*β2，………。3．線性組合（1）定義 若β=k1α1+k2α 2+…+knαn，則稱β是向量組α1，α 2，…，αn的一個線性組合，或稱β可以用向量組α1，α
職業(yè)教育相關推薦
鄂ICP備17016276號-1