抽屜原理的典型問題-資料下載頁
2025-03-25 02:31本頁面
【正文】 例題3：某校派出學(xué)生204人上山植樹15301株，其中最少一人植樹50株，最多一人植樹100株，則至少有5人植樹的株數(shù)相同. 證明：按植樹的多少，從50到100株可以構(gòu)造51個抽屜，則個問題就轉(zhuǎn)化為至少有5人植樹的株數(shù)在同一個抽屜里. (用反證法)假設(shè)無5人或5人以上植樹的株數(shù)在同一個抽屜里，那只有5人以下植樹的株數(shù)在同一個抽屜里，而參加植樹的人數(shù)為204人，所以，每個抽屜最多有4人，故植樹的總株數(shù)最多有： 4(50+51+…+100)=4 =15300，至少有5人植樹的株數(shù)相同. 練習(xí)：，. ，若有n2+1個點，則至少存在2點距離小于 . ：任意四個整數(shù)中，至少有兩個整數(shù)的差能夠被3整除. ，試說明其中一定有二人的熟人一樣多. ，滿分為100分，且得分都為整數(shù)，總得分為10101分，則至少有3人得分相同. “任意367個人中，必有生日相同的人?！薄 皬娜我?雙手套中任取6只，其中至少有2只恰為一雙手套?！薄 皬臄?shù)1，2，...，10中任取6個數(shù)，其中至少有2個數(shù)為奇偶性不同?！薄 〈蠹叶紩J(rèn)為上面所述結(jié)論是正確的。這些結(jié)論是依據(jù)什么原理得出的呢?這個原理叫做抽屜原理。它的內(nèi)容可以用形象的語言表述為： “把m個東西任意分放進(jìn)n個空抽屜里(mn)，那么一定有一個抽屜中放進(jìn)了至少2個東西。” 在上面的第一個結(jié)論中，由于一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出生在同月同日。 這相當(dāng)于把367個東西放入 366個抽屜，至少有2個東西在同一抽屜里在第二個結(jié)論中，不妨想象將5雙手套分別編號，即號碼為1，2，...，5的手套各有兩只，同號的兩只是一雙。任取6只手套，它們的編號至多有5種，因此其中至少有兩只的號碼相同。這相當(dāng)于把6個東西放入5個抽屜，至少有2個東西在同一抽屜里?！ 〕閷显淼囊环N更一般的表述為： “把多于kn+1個東西任意分放進(jìn)n個空抽屜(k是正整數(shù))，那么一定有一個抽屜中放進(jìn)了至少k+1個東西?！薄 ±蒙鲜鲈砣菀鬃C明：“任意7個整數(shù)中，至少有3個數(shù)的兩兩之差是3的倍數(shù)?！币驗槿我徽麛?shù)除以3時余數(shù)只有0、2三種可能，所以7個整數(shù)中至少有3個數(shù)除以3所得余數(shù)相同，即它們兩兩之差是3的倍數(shù)?！ ∪绻麊栴}所討論的對象有無限多個，抽屜原理還有另一種表述： “把無限多個東西任意分放進(jìn)n個空抽屜(n是自然數(shù))，那么一定有一個抽屜中放進(jìn)了無限多個東西?！薄 〕閷显淼膬?nèi)容簡明樸素，易于接受，它在數(shù)學(xué)問題中有重要的作用。許多有關(guān)存在性的證明都可用它來解決?！ ?958年6/7月號的《美國數(shù)學(xué)月刊》上有這樣一道題目： “證明在任意6個人的集會上，或者有3個人以前彼此相識，或者有三個人以前彼此不相識?！边@個問題可以用如下方法簡單明了地證出： 在平面上用6個點A、B、C、D、E、F分別代表參加集會的任意6個人。如果兩人以前彼此認(rèn)識，那么就在代表他們的兩點間連成一條紅線。否則連一條藍(lán)線?？紤]A點與其余各點間的5條連線AB，AC，...，AF，它們的顏色不超過2種。根據(jù)抽屜原理可知其中至少有3條連線同色，不妨設(shè)AB，AC，AD同為紅色。如果BC，BD ，CD 3條連線中有一條(不妨設(shè)為BC)也為紅色，那么三角形ABC即一個紅色三角形，A、B、C代表的3個人以前彼此相識：如果BC、BD、CD 3條連線全為藍(lán)色，那么三角形BCD即一個藍(lán)色三角形，B、C、D代表的3個人以前彼此不相識。不論哪種情形發(fā)生，都符合問題的結(jié)論。
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