抽屜原理的典型問題(參考版)
2025-03-28 02:31本頁面
【正文】 。如果BC，BD ，CD 3條連線中有一條(不妨設(shè)為BC)也為紅色，那么三角形ABC即一個(gè)紅色三角形，A、B、C代表的3個(gè)人以前彼此相識(shí)：如果BC、BD、CD 3條連線全為藍(lán)色，那么三角形BCD即一個(gè)藍(lán)色三角形，B、C、D代表的3個(gè)人以前彼此不相識(shí)?？紤]A點(diǎn)與其余各點(diǎn)間的5條連線AB，AC，...，AF，它們的顏色不超過2種。如果兩人以前彼此認(rèn)識(shí)，那么就在代表他們的兩點(diǎn)間連成一條紅線?！ ?958年6/7月號(hào)的《美國數(shù)學(xué)月刊》上有這樣一道題目： “證明在任意6個(gè)人的集會(huì)上，或者有3個(gè)人以前彼此相識(shí)，或者有三個(gè)人以前彼此不相識(shí)?！薄 〕閷显淼膬?nèi)容簡明樸素，易于接受，它在數(shù)學(xué)問題中有重要的作用?！币?yàn)槿我徽麛?shù)除以3時(shí)余數(shù)只有0、2三種可能，所以7個(gè)整數(shù)中至少有3個(gè)數(shù)除以3所得余數(shù)相同，即它們兩兩之差是3的倍數(shù)?！ 〕閷显淼囊环N更一般的表述為： “把多于kn+1個(gè)東西任意分放進(jìn)n個(gè)空抽屜(k是正整數(shù))，那么一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了至少k+1個(gè)東西。任取6只手套，它們的編號(hào)至多有5種，因此其中至少有兩只的號(hào)碼相同?！薄 ≡谏厦娴牡谝粋€(gè)結(jié)論中，由于一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出生在同月同日。這些結(jié)論是依據(jù)什么原理得出的呢?這個(gè)原理叫做抽屜原理?！薄 皬臄?shù)1，2，...，10中任取6個(gè)數(shù)，其中至少有2個(gè)數(shù)為奇偶性不同。若是第二種情況，在三類中各取一個(gè)數(shù)，其和也能被3整除..綜上所述，原命題正確. 例題3：某校派出學(xué)生204人上山植樹15301株，其中最少一人植樹50株，最多一人植樹100株，則至少有5人植樹的株數(shù)相同. 證明：按植樹的多少，從50到100株可以構(gòu)造51個(gè)抽屜，則個(gè)問題就轉(zhuǎn)化為至少有5人植樹的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里. (用反證法)假設(shè)無5人或5人以上植樹的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里，那只有5人以下植樹的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里，而參加植樹的人數(shù)為204人，所以，每個(gè)抽屜最多有4人，故植樹的總株數(shù)最多有： 4(50+51+…+100)=4 =15300，至少有5人植樹的株數(shù)相同. 練習(xí)：，. ，若有n2+1個(gè)點(diǎn)，則至少存在2點(diǎn)距離小于 . ?。喝我馑膫€(gè)整數(shù)中，至少有兩個(gè)整數(shù)的差能夠被3整除. ，試說明其中一定有二人的熟人一樣多. ，滿分為100分，且得分都為整數(shù)，總得分為10101分，則至少有3人得分相同. “任意367個(gè)人中，必有生日相同的人。2176。 例題1：：生日從1月1日排到12月31日，共有366個(gè)不相同的生日，我們把366個(gè)不同的生日看作366個(gè)抽屜，400人視為400個(gè)蘋果，由表現(xiàn)形式1可知，至少有兩人在同一個(gè)抽屜里，所以這400人中有兩人的生日相同. 解：將一年中的366天視為366個(gè)抽屜，400個(gè)人看作400個(gè)蘋果，由抽屜原理的表現(xiàn)形式1可以得知：至少有兩人的生日相同. 例題2：任取5個(gè)整數(shù)，必然能夠從中選出三個(gè)，使它們的和能夠被3整除. 證明：任意給一個(gè)整數(shù)，它被3除，余數(shù)可能為0，1，2，我們把被3除余數(shù)為0，1，2的整數(shù)各歸入類r0，r1，：1176。(用反證法)假設(shè)結(jié)論不成立，即對每一個(gè)ai都有ai[n/k]，于是有： a1+a2+…+ak[n/k]+[n/k]+…+[n/k] =k?[n/k]≤k?(n/k)=nk個(gè)[n/k] ∴ a1+a2+…+ak 形式四：證明：設(shè)把q1+q2+…+qnn+1個(gè)元素分為n個(gè)集合A1，A2，…，An，用 a1
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