抽屜原理的典型問(wèn)題-展示頁(yè)
2025-04-03 02:31本頁(yè)面
【正文】 的顏色的配組是一樣的?！ ⊥?，其余的5個(gè)任意整數(shù)中，有：3|a7+a8+a9，設(shè)：a7+a8+a9=b3 ?、谠倏紤]bbb3被2整除. 依據(jù)抽屜原理，bbb3這三個(gè)整數(shù)中，至少有兩個(gè)是同奇或同偶，這兩個(gè)同奇(或同偶)|b1+b2 則：6|b1+b2，即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6 ∴任意11個(gè)整數(shù)，其中必有6個(gè)數(shù)的和是6的倍數(shù). 例3： 任意給定7個(gè)不同的自然數(shù)，求證其中必有兩個(gè)整數(shù)，其和或差是10的倍數(shù). 分析：注意到這些數(shù)隊(duì)以10的余數(shù)即個(gè)位數(shù)字，以0，1，…，9為標(biāo)準(zhǔn)制造10個(gè)抽屜，標(biāo)以 [0]，[1]，…，[9].若有兩數(shù)落入同一抽屜，其差是10的倍數(shù)，只是僅有7個(gè)自然數(shù)，似不便運(yùn)用抽屜原則，再作調(diào)整：[6]，[7]，[8]， [9]四個(gè)抽屜分別與[4]，[3]，[2]，[1]合并，則可保證至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)數(shù)，它們的和或差是10的倍數(shù).(二)面積問(wèn)題例：九條直線中的每一條直線都將正方形分成面積比為2:3的梯形，證明：這九條直線中至少有三條經(jīng)過(guò)同一點(diǎn).證明：如圖，設(shè)直線EF將正方形分成兩個(gè)梯形，作中位線MN。 例2：對(duì)于任意的五個(gè)自然數(shù)，證明其中必有3個(gè)數(shù)的和能被3整除. 證明∵任何數(shù)除以3所得余數(shù)只能是0，1，2，不妨分別構(gòu)造為3個(gè)抽屜： [0]，[1]，[2] ?、偃暨@五個(gè)自然數(shù)除以3后所得余數(shù)分別分布在這3個(gè)抽屜中(即抽屜中分別為含有余數(shù)為0,1,2的數(shù))，我們從這三個(gè)抽屜中各取1個(gè)(如1~5中取3,4,5)，其和(3+4+5=12)必能被3整除.?、谌暨@5個(gè)余數(shù)分布在其中的兩個(gè)抽屜中，則其中必有一個(gè)抽屜，包含有3個(gè)余數(shù)(抽屜原理)，而這三個(gè)余數(shù)之和或?yàn)?，或?yàn)?，或?yàn)?，故所對(duì)應(yīng)的3個(gè)自然數(shù)之和是3的倍數(shù). ?、廴暨@5個(gè)余數(shù)分布在其中的一個(gè)抽屜中，很顯然，必有3個(gè)自然數(shù)之和能被3整除. 例2′：對(duì)于任意的11個(gè)整數(shù)，證明其中一定有6個(gè)數(shù)，它們的和能被6整除. 證明：設(shè)這11個(gè)整數(shù)為：a1，a2，a3……a11 又6=23 ?、傧瓤紤]被3整除的情形 由例2知，在11個(gè)任意整數(shù)中，必存在： 3|a1+a2+a3，不妨設(shè)a1+a2+a3=b1。 例1 證明：任取8個(gè)自然數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)的差是7的倍數(shù)。” 例2：幼兒園買來(lái)了不少白兔、熊貓、長(zhǎng)頸鹿塑料玩具，每個(gè)小朋友任意選擇兩件，那么不管怎樣挑選，在任意七個(gè)小朋友中總有兩個(gè)彼此選的玩具都相同，試說(shuō)明道理. 解：從三種玩具中挑選兩件，搭配方式只能是下面六種：(兔、兔)，(兔、熊貓)，(兔、長(zhǎng)頸鹿)，(熊貓、熊貓)，(熊貓、長(zhǎng)頸鹿)，(長(zhǎng)頸鹿、長(zhǎng)頸鹿)?！ 證明](反證法)：若每個(gè)抽屜都有不少于m個(gè)物體，則總共至少有mn個(gè)物體，與題設(shè)矛盾，故不可能 例1：400人中至少有兩個(gè)人的生日相同. 解：將一年中的366天視為366個(gè)抽屜，400個(gè)人看作400個(gè)物體，由抽屜原理1可以得知：至少有兩人的生日相同. 又如：我們從街上隨便找來(lái)13人，就可斷定他們中至少有兩個(gè)人屬相相同. “從任意5雙手套中任取6只，其中至少有2只恰為一雙手套?！ 證明](反證法)：如果每個(gè)抽屜至多只能放進(jìn)一個(gè)物體，那么物體的總數(shù)至多是n，而不是題設(shè)的n+k(k≥1)，這不可能. 原理2 把多于mn(m乘以n)個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里有m+1個(gè)或多于m+1個(gè)的物體。抽屜原理的一般含義為：
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