【正文】 么這三條線段也組成我們所需要的同色三角形。因而無論怎樣著色，在這六點(diǎn)之間的所有線段中至少能找到一個(gè)同色三角形?！　±?′（六人集會問題）證明在任意6個(gè)人的集會上，或者有3個(gè)人以前彼此相識，或者有三個(gè)人以前彼此不相識。”　　例3”：17個(gè)科學(xué)家中每個(gè)人與其余16個(gè)人通信，他們通信所討論的僅有三個(gè)問題，而任兩個(gè)科學(xué)家之間通信討論的是同一個(gè)問題。證明：至少有三個(gè)科學(xué)家通信時(shí)討論的是同一個(gè)問題?！　〗猓翰环猎O(shè)A是某科學(xué)家，他與其余16位討論僅三個(gè)問題，由鴿籠原理知，他至少與其中的6位討論同一問題。設(shè)這6位科學(xué)家為B，C，D，E，F(xiàn)，G，討論的是甲問題?！　∪暨@6位中有兩位之間也討論甲問題，則結(jié)論成立。否則他們6位只討論乙、丙兩問題。這樣又由鴿籠原理知B至少與另三位討論同一問題，不妨設(shè)這三位是C，D，E，且討論的是乙問題?！　∪鬋，D，E中有兩人也討論乙問題，則結(jié)論也就成立了。否則，他們間只討論丙問題，這樣結(jié)論也成立?！　∪圃斐閷鲜沁\(yùn)用原則的一大關(guān)鍵　　例1 從…、30這15個(gè)偶數(shù)中，任取9個(gè)數(shù)，證明其中一定有兩個(gè)數(shù)之和是34?！　》治雠c解答我們用題目中的15個(gè)偶數(shù)制造8個(gè)抽屜：　　凡是抽屜中有兩個(gè)數(shù)的，都具有一個(gè)共同的特點(diǎn)：這兩個(gè)數(shù)的和是34?，F(xiàn)從題目中的15個(gè)偶數(shù)中任取9個(gè)數(shù)，由抽屜原理（因?yàn)槌閷现挥?個(gè)），這兩個(gè)數(shù)的和是34?！　±?：從…、120這20個(gè)自然數(shù)中，至少任選幾個(gè)數(shù)，就可以保證其中一定包括兩個(gè)數(shù)，它們的差是12?！　》治雠c解答在這20個(gè)自然數(shù)中，差是12的有以下8對：｛20，8｝，｛19，7｝，｛18，6｝，｛17，5｝，｛16，4｝，｛15，3｝，｛14，2｝，｛13，1｝?！　×硗膺€有4個(gè)不能配對的數(shù)｛9｝，｛10｝，｛11｝，｛12｝，共制成12個(gè)抽屜（每個(gè)括號看成一個(gè)抽屜）.只要有兩個(gè)數(shù)取自同一個(gè)抽屜，那么它們的差就等于12，根據(jù)抽屜原理至少任選13個(gè)數(shù)，即可辦到（取12個(gè)數(shù)：從12個(gè)抽屜中各取一個(gè)數(shù)（例如取1，2，3，…，12），那么這12個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的差必不等于12）。　　例3：從1到20這20個(gè)數(shù)中，任取11個(gè)數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。　　分析與解答根據(jù)題目所要求證的問題，應(yīng)考慮按照同一抽屜中，看成10個(gè)抽屜（顯然，它們具有上述性質(zhì)）：　?。?，2，4，8，16｝，｛3，6，12｝，｛5，10，20｝，｛7，14｝，｛9，18｝，｛11｝，｛13｝，｛15｝，｛17｝，｛19｝?！　倪@10個(gè)數(shù)組的20個(gè)數(shù)中任取11個(gè)數(shù)，根據(jù)抽屜原理，所以這兩個(gè)數(shù)中，其中一個(gè)數(shù)一定是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)?！　±?：某校校慶，來了n位校友，在這n個(gè)校友中至少有兩人握手的次數(shù)一樣多?！　》治雠c解答共有n位校友，每個(gè)人握手的次數(shù)最少是0次，即這個(gè)人與其他校友都沒有握過手；最多有n1次，如果有一個(gè)校友握手的次數(shù)是0次，那么握手次數(shù)最多的不能多于n2次；如果有一個(gè)校友握手的次數(shù)是n1次，、…、n2，還是后一種狀態(tài)…、n1，到會的n個(gè)校友每人按照其握手的次數(shù)歸入相應(yīng)的“抽屜”，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)人屬于同一抽屜，則這兩個(gè)人握手的次數(shù)一樣多?！　≡谟行﹩栴}中，“抽屜”和“物體”不是很明顯的，需要精心制造“抽屜”和“物體”.如何制造“抽屜”和“物體”可能是很困難的，一方面需要認(rèn)真地分析題目中的條件和問題，另一方面需要多做一些題積累經(jīng)驗(yàn)?！　〕閷显怼　“寻藗€(gè)蘋果任意地放進(jìn)七個(gè)抽屜里，不論怎樣放，至少有一個(gè)抽屜放有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋果。抽屜原則有時(shí)也被稱為鴿巢原理，它是德國數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確的提出來并用以證明一些數(shù)論中的問題，因此，也稱為狄利克雷原則。它是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的原理。把它推廣到一般情形有以下幾種表現(xiàn)形式。　　形式一：證明：設(shè)把n＋1個(gè)元素分為n個(gè)集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示這n個(gè)集合里相應(yīng)的元素個(gè)數(shù)，需要證明至少存在某個(gè)ai大于或等于2（用反證法）假設(shè)結(jié)論不成立，即對每一個(gè)ai都有ai＜2，則因?yàn)閍i是整數(shù)，應(yīng)有ai≤1，于是有：　　a1＋a2＋…＋an≤1＋1＋…＋1＝n＜n＋1這與題設(shè)矛盾。所以，至少有一個(gè)ai≥2，即必有一個(gè)集合中含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的元素?！　⌒问蕉涸O(shè)把n?m＋1個(gè)元素分為n個(gè)集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示這n個(gè)集合里相應(yīng)的元素個(gè)數(shù)，需要證明至少存在某個(gè)ai大于或等于m＋1。用反證法）假設(shè)結(jié)論不成立，即對每一個(gè)ai都有ai＜m＋1，則因?yàn)閍i是整數(shù)，應(yīng)有ai≤m，于是有：　　a1＋a2＋…＋an≤m＋m＋…＋m＝n?m＜n?m＋1　　n個(gè)m 這與題設(shè)相矛盾。所以，至少有存在一個(gè)ai≥m＋1　　高斯函數(shù)：對任意的實(shí)數(shù)x,[x]表示“不大于x的最大整數(shù)”.　　例如：[]＝3，[]＝2，[－]＝－3，[7]＝7，……一般地，我們有：[x]≤x＜[x]＋1　　形式三：證明：設(shè)把n個(gè)元素分為k個(gè)集合A1，A2，…，Ak，用a1，a2，…，ak表示這k個(gè)集合里相應(yīng)的元素個(gè)數(shù)，需要證明至少存在某個(gè)ai大于或等于[n/k]。（用反證法）假設(shè)結(jié)論不成立，即對每一個(gè)ai都有ai＜[n/k]，于是有：　　a1＋a2＋…＋ak＜[n/k]+[n/k]+…+[n/k] ＝k?[n/k]≤k?(n/k)＝n　　k個(gè)[n/k] ∴ a1＋a2＋…＋ak＜n 這與題設(shè)相矛盾。所以，必有一個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)大于或等于[n/k]　　形式四：證明：設(shè)把q1＋q2＋…＋qn－n＋1個(gè)元素分為n個(gè)集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示這n個(gè)集合里相應(yīng)的元素個(gè)數(shù)，需要證明至少存在某個(gè)i，使得ai大于或等于qi。（用反證法）假設(shè)結(jié)論不成立，即對每一個(gè)ai都有ai＜qi，因?yàn)閍i為整數(shù)，應(yīng)有ai≤qi－1，于是有：a1＋a2＋…＋an≤q1＋q2＋…＋qn－n ＜q1＋q2＋…＋qn－n＋1這與題設(shè)矛盾。　　所以，假設(shè)不成立，故必有一個(gè)i,在第i個(gè)集合中元素個(gè)數(shù)ai≥qi　　形式五：證明：（用反證法）將無窮多個(gè)元素分為有限個(gè)集合，假設(shè)這有限個(gè)集合中的元素的個(gè)數(shù)都是有限個(gè)，則有限個(gè)有限數(shù)相加，所得的數(shù)必是有限數(shù)，這就與題設(shè)產(chǎn)生矛盾，所以，假設(shè)不成立，故必有一個(gè)集合含有無窮多個(gè)元素?！　±}１：：生日從1月1日排到12月31日，共有366個(gè)不相同的生日，我們把366個(gè)不同的生日看作366個(gè)抽屜，400人視為400個(gè)蘋果，由表現(xiàn)形式1可知，至少有兩人在同一個(gè)抽屜里，所以這400人中有兩人的生日相同.　　解：將一年中的366天視為366個(gè)抽屜，400個(gè)人看作400個(gè)蘋果，由抽屜原理的表現(xiàn)形式1可以得知：至少有兩人的生日相同.　　例題2：任取5個(gè)整數(shù)，必然能夠從中選出三個(gè)，使它們的和能夠被3整除.　　證明：任意給一個(gè)整數(shù)，它被3除，余數(shù)可能為0，1，2，我們把被3除余數(shù)為0，1，2的整數(shù)各歸入類r０，r1，：１176。.某一類至少包含三個(gè)數(shù)；２176。.某兩類各含兩個(gè)數(shù)，第三類包含一個(gè)數(shù).　　若是第一種情況，就在至少包含三個(gè)數(shù)的那一類中任取三數(shù)，其和一定能被3整除；若是第二種情況，在三類中各取一個(gè)數(shù)，其和也能被3整除..綜上所述，原命題正確.　　例題3：某校派出學(xué)生204人上山植樹15301株，其中最少一人植樹50株，最多一人植樹100株，則至少有5人植樹的株數(shù)相同.　　證明：按植樹的多少，從50到100株可以構(gòu)造51個(gè)抽屜，則個(gè)問題就轉(zhuǎn)化為至少有5人植樹的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里.　　(用反證法)假設(shè)無５人或５人以上植樹的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里，那只有５人以下植樹的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里，而參加植樹的人數(shù)為204人，所以，每個(gè)抽屜最多有4人，故植樹的總株數(shù)最多有：　　4(50＋51＋…＋100)＝4 ＝15300＜，至少有５人植樹的株數(shù)相同.　　練習(xí)：1．邊長為1的等邊三角形內(nèi)有5個(gè)點(diǎn)，.　　2．邊長為1的等邊三角形內(nèi)，若有n2＋1個(gè)點(diǎn)，則至少存在2點(diǎn)距離小于 .　　3．求證：任意四個(gè)整數(shù)中，至少有兩個(gè)整數(shù)的差能夠被3整除.　　4．某校高一某班有50名新生，試說明其中一定有二人的熟人一樣多.　　5．某個(gè)年級有202人參加考試，滿分為100分，且得分都為整數(shù)，總得分為10101分，則至少有3人得分相同.　　“任意367個(gè)人中，必有生日相同的人?！薄　　皬娜我?雙手套中任取6只，其中至少有2只恰為一雙手套。”　　“從數(shù)1，2，...，10中任取6個(gè)數(shù)，其中至少有2個(gè)數(shù)為奇偶性不同?！薄　?.. ...　　大家都會認(rèn)為上面所述結(jié)論是正確的。這些結(jié)論是依據(jù)什么原理得出的呢？這個(gè)原理叫做抽屜原理。它的內(nèi)容可以用形象的語言表述為：　　“把m個(gè)東西任意分放進(jìn)n個(gè)空抽屜里（mn），那么一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了至少2個(gè)東西?！薄　≡谏厦娴牡谝粋€(gè)結(jié)論中，由于一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出生在同月同日。這相當(dāng)于把367個(gè)東西放入 366個(gè)抽屜，至少有2個(gè)東西在同一抽屜里。在第二個(gè)結(jié)論中，不妨想象將5雙手套分別編號，即號碼為1，2，...，5的手套各有兩只，同號的兩只是一雙。任取6只手套，它們的編號至多有5種，因此其中至少有兩只的號碼相同。這相當(dāng)于把6個(gè)東西放入5個(gè)抽屜，至少有2個(gè)東西在同一抽屜里。　　抽屜原理的一種更一般的表述為：　　“把多于kn個(gè)東西任意分放進(jìn)n個(gè)空抽屜（k是正整數(shù)），那么一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了至少k+1個(gè)東西?！薄　±蒙鲜鲈砣菀鬃C明：“任意7個(gè)整數(shù)中，至少有3個(gè)數(shù)的兩兩之差是3的倍數(shù)?！币?yàn)槿我徽麛?shù)除以3時(shí)余數(shù)只有0、2三種可能，所以7個(gè)整數(shù)中至少有3個(gè)數(shù)除以3所得余數(shù)相同，即它們兩兩之差是3的倍數(shù)?！　∪绻麊栴}所討論的對象有無限多個(gè)，抽屜原理還有另一種表述：　　“把無限多個(gè)東西任意分放進(jìn)n個(gè)空抽屜（n是自然數(shù)），那么一定有一個(gè)抽屜中放進(jìn)了無限多個(gè)東西?！薄　〕閷显淼膬?nèi)容簡明樸素，易于接受，它在數(shù)學(xué)問題中有重要的作用。許多有關(guān)存在性的證明都可用它來解決。　　1958年6/7月號的《美國數(shù)學(xué)月刊》上有這樣一道題目：　　“證明在任意6個(gè)人的集會上，或者有3個(gè)人以前彼此相識，或者有三個(gè)人以前彼此不相識。”　　這個(gè)問題可以用如下方法簡單明了地證出：　　在平面上用6個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、E、F分別代表參加集會的任意6個(gè)人。如果兩人以前彼此認(rèn)識，那么就在代表他們的兩點(diǎn)間連成一條紅線；否則連一條藍(lán)線?？紤]A點(diǎn)與其余各點(diǎn)間的5條連線AB，AC，...，AF，它們的顏色不超過2種。根據(jù)抽屜原理可知其中至少有3條連線同色，不妨設(shè)AB，AC，AD同為紅色。如果BC，BD ，CD 3條連線中有一條（不妨設(shè)為BC）也為紅色，那么三角形ABC即一個(gè)紅色三角形，A、B、C代表的3個(gè)人以前彼此相識：如果BC、BD、CD 3條連線全為藍(lán)色，那么三角形BCD即一個(gè)藍(lán)色三角形，B、C、D代表的3個(gè)人以前彼此不相識。不論哪種情形發(fā)生，都符合問題的結(jié)論?！　×思瘯栴}是組合數(shù)學(xué)中著名的拉姆塞定理的一個(gè)最簡單的特例，這個(gè)簡單問題的證明思想可用來得出另外一些深入的結(jié)論。這些結(jié)論構(gòu)成了組合數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容拉姆塞理論。從六人集會問題的證明中，我們又一次看到了抽屜原理的應(yīng)用。160