【正文】 取4個數(shù)(可以重復(fù))的和可以是中之一，共13種可能，根據(jù)抽屜原理:，至少有個“田”字形內(nèi)的數(shù)字和是相同的．【鞏固】 用數(shù)字1，2，3，4，5，6填滿一個的方格表，如右圖所示，每個小方格只填其中一個數(shù)字，將每個正方格內(nèi)的四個數(shù)字的和稱為這個正方格的“標示數(shù)”．問：能否給出一種填法，使得任意兩個“標示數(shù)”均不相同？如果能，請舉出一例；如果不能，請說明理由．【解析】 先計算出每個正方格內(nèi)的四個數(shù)字的和最小為4，最大為24，從4到24共有21個不同的值，即有21個“抽屜”；再找出在的方格表最多有：(個)正方格的“標示數(shù)”，即有25個“蘋果”．,根據(jù)抽屜原理，必有兩個“標示數(shù)”相同．【鞏固】 能否在10行10列的方格表的每個空格中分別填上1，2，3這三個數(shù)之一，使得大正方形的每行、每列及對角線上的10個數(shù)字之和互不相同？對你的結(jié)論加以說明．【解析】 大正方形的每行、每列及對角線上的10個數(shù)字之和最小是10，最大是30．因為從10到30之間只有21個互不相同的整數(shù)值，把這21個互不相同的數(shù)值看作21個“抽屜”，而10行、10列及兩條對角線上的數(shù)字和共有22個整數(shù)值，這樣元素的個數(shù)比抽屜的個數(shù)多1個，根據(jù)抽屜原理可知，至少有兩個和同屬于一個抽屜，故要使大正方形的每行、每列及對角線上的10個數(shù)字之和互不相同是不可能的．【例 40】 （南京市第三屆“興趣杯”少年數(shù)學邀請賽決賽C卷第12題）如下圖① ，、四只小盤拼成一個環(huán)形，每只小盤中放若干糖果，每次可取出1只、或3只、或4只盤中的全部糖果，四只盤中應(yīng)各有 ②中. 圖① 圖② 【解析】 有兩種方法（填出一種即可），如下圖 【鞏固】 (南京市第三屆“興趣杯”少年數(shù)學邀請賽決賽D卷第12題)如右圖、四只小盤拼成一個環(huán)形，、或3只、或4只盤中的全部糖果，？請說明理由. 【解析】 ；取只盤子（即有1種盤子不?。?，也有四種取法；取4只盤子只有1只取法；取兩只相鄰的盤子，在第1只取定后，（依順時針方向），第2只也就確定了，～13這13種.【例 41】 如右圖，分別標有數(shù)字的滾珠兩組，放在內(nèi)外兩個圓環(huán)上，開始時相對的滾珠所標的數(shù)字都不相同．當兩個圓環(huán)按不同方向轉(zhuǎn)動時，必有某一時刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對數(shù)字相同的滾珠相對．【分析】 內(nèi)外兩個圓環(huán)對轉(zhuǎn)可以看成一個靜止，只有一個環(huán)轉(zhuǎn)動，一個環(huán)轉(zhuǎn)動一周后，每個滾珠都會有一次與標有相同數(shù)字的滾珠相對的局面出現(xiàn)，注意到一環(huán)每轉(zhuǎn)動角就有一次滾珠相對的局面出現(xiàn)，轉(zhuǎn)動一周共有次滾珠相對的局面，而最初相對滾珠所標數(shù)字都不相同，所以相對的滾珠所標的數(shù)字相同的情況只出現(xiàn)在以后的次轉(zhuǎn)動中，將次轉(zhuǎn)動看做個抽屜，根據(jù)抽屜原理至少有次數(shù)字相對的局面出現(xiàn)在同一次轉(zhuǎn)動中即必有某一時刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對數(shù)字相同的滾珠相對．【鞏固】 8位小朋友圍著一張圓桌坐下，在每位小朋友面前都放著一張紙條，上面分別寫著這8位小朋友的名字．開始時，每位小朋友發(fā)現(xiàn)自己面前所對的紙條上寫的都不是自己的名字，請證明：經(jīng)過適當轉(zhuǎn)動圓桌，一定能使至少兩位小朋友恰好對準自己的名字．【解析】 沿順時針方向轉(zhuǎn)動圓桌，每次轉(zhuǎn)動一格，使每位小朋友恰好對準桌面上的字條，經(jīng)過8次轉(zhuǎn)動后，桌面又回到原來的位置．在這個轉(zhuǎn)動的過程中，每位小朋友恰好對準桌面上寫有自己名字的字條一次，我們把每位小朋友與自己名字相對的情況看作“蘋果”，共有8只“蘋果”．另一方面，由于開始時每個小朋友都不與自己名字相對，所以小朋友與自己名字相對的情況只發(fā)生在7次轉(zhuǎn)動中，這樣7次轉(zhuǎn)動(即7個“抽屜”)將產(chǎn)生8位小朋友對準自己名字的情況，由抽屜原理可知，至少在某一次轉(zhuǎn)動后，有兩個或兩個以上的小朋友對準自己的名字．【例 42】 時鐘的表盤上按標準的方式標著1，2，3，…，11，12這12個數(shù)，在其上任意做n個120176。的扇形，每一個都恰好覆蓋4個數(shù)，每兩個覆蓋的數(shù)不全相同．如果從這任做的n個扇形中總能恰好取出3個覆蓋整個鐘面的全部12個數(shù)，求n的最小值． 【解析】 （1）當時，有可能不能覆蓋12個數(shù)，比如每塊扇形錯開1個數(shù)擺放，蓋住的數(shù)分別是：（12，1，2，3）；（1，2，3，4）；（2，3，4，5）；（3，4，5，6）；（4，5，6，7）；（5，6，7，8）；（6，7，8，9）；（7，8，9，10），都沒蓋住11，其中的3個扇形當然也不可能蓋住全部12個數(shù)． （2）每個扇形覆蓋4個數(shù)的情況可能是： （1，2，3，4）（5，6，7，8）（9，10，11，12）覆蓋全部12個數(shù) （2，3，4，5）（6，7，8，9）（10，11，12，1）覆蓋全部12個數(shù) （3，4，5，6）（7，8，9，10）（11，12，1，2）覆蓋全部12個數(shù) （4，5，6，7）（8，9，10，11）（12，1，2，3）覆蓋全部12個數(shù) 當時，至少有3個扇形在上面4個組中的一組里，恰好覆蓋整個鐘面的全部12個數(shù)． 所以n的最小值是9． 【鞏固】 (2009年清華附中入學測試題)如圖，在時鐘的表盤上任意作個的扇形，使得每一個扇形都恰好覆蓋個數(shù)，且每兩個扇形覆蓋的數(shù)不全相同，求證：一定可以找到個扇形，恰好覆蓋整個表盤上的數(shù)．并舉一個反例說明，作個扇形將不能保證上述結(jié)論成立．【解析】 在表盤上共可作出12個不同的扇形，且1～12中的每個數(shù)恰好被4個扇形覆蓋．將這12個扇形分為4組，使得每一組的3個扇形恰好蓋住整個表盤．那么，根據(jù)抽屜原理，從中選擇9個扇形，必有個扇形屬于同一組，那么這一組的3個扇形可以覆蓋整個表盤．另一方面，作8個扇形相當于從全部的12個扇形中去掉4個，則可以去掉蓋住同一個數(shù)的4個扇形，這樣這個數(shù)就沒有被剩下的8個扇形蓋住，那么這8個扇形不能蓋住整個表盤．模塊三、最不利原則【例 43】 （2008年第六屆“走進美妙的數(shù)學花園”中國青年數(shù)學論壇趣味數(shù)學解題技能展示大賽決賽） “走美”主試委員會為三～八年級準備決賽試題．每個年級道題，并且至少有道題與其他各年級都不同．如果每道題出現(xiàn)在不同年級，最多只能出現(xiàn)次．本屆活動至少要準備 道決賽試題．【解析】 每個年級都有自己道題目，然后可以三至五年級共用道題目，六到八年級共用道題目，總共有（道）題目．【例 44】 有一個布袋中有40個相同的小球，其中編上號碼4的各有10個，問：一次至少要取出多少個小球，才能保證其中至少有3個小球的號碼相同？【解析】 將4四種號碼看作4個抽屜，要保證一個抽屜中至少有3個蘋果，最“壞”的情況是每個抽屜里有2個“蘋果”，共有：(個)，再取1個就能滿足要求，所以一次至少要取出9個小球，才能保證其中至少有3個小球的號碼相同．【鞏固】 有一個布袋中有5種不同顏色的球，每種都有20個，問：一次至少要取出多少個小球，才能保證其中至少有3個小球的顏色相同？【解析】 5種顏色看作5個抽屜，要保證一個抽屜中至少有3個蘋果，最“壞”的情況是每個抽屜里有2 個“蘋果”，共有：個，再取1個就能滿足要求，所以一次至少要取出11個小球，才能保證其中至少有3個小球的顏色相同【鞏固】 （2008年第八屆“春蕾杯”小學數(shù)學邀請賽初賽）有紅、黃、白三種顏色的小球各個，混合放在一個布袋中，一次至少摸出 個，才能保證有個小球是同色的？【解析】 根據(jù)最不利原則，至少需要摸出（個）．【鞏固】 黑、白、黃三種顏色的筷子各有很多根，在黑暗處至少拿出幾根筷子就能保證有一雙是相同顏色的筷子？【解析】 問題問的是要有一雙相同顏色的筷子．把黑、白、黃三種顏色的筷子當作個抽屜，根據(jù)抽屜原理，至少有根筷子，才能使其中一個抽屜里至少有兩根筷子．所以，至少拿根筷子，才能保證有一雙是相同顏色的筷子．最“倒霉”原則：它們每樣各取一根，都湊不成雙．教師可以拿其他東西做類似練習．【鞏固】 一個口袋中裝有500粒珠子，共有5種顏色，每種顏色各100粒。如果你閉上眼睛，至少取出多少粒珠子才能保證其中有5粒顏色相同？【解析】 至少要?。＃纠?45】 黑色、白色、黃色的筷子各有8根，混雜地放在一起，黑暗中想從這些筷子中取出顏色不同的兩雙筷子。問至少要取多少根才能保證達到要求？【解析】 根據(jù)最不利原則，至少取根筷子就能保證有一雙顏色不同，我們把顏色不同那雙筷子取出，再補只筷子，就能又保證一雙顏色不同筷子，所以取出根筷子就得到顏色不同的兩雙筷子.【鞏固】 （第六屆《小數(shù)報》數(shù)學競賽初賽）有形狀、長短都完全一樣的紅筷子、黑筷子、白筷子、黃筷子、紫筷子和花筷子各25根。在黑暗中至少應(yīng)摸出_____根筷子，才能保證摸出的筷子至少有8雙（每兩根花筷子或兩根同色的筷子為一雙）。【解析】 因為筷子只有6種，所以7根中必有一雙顏色相同。我們?nèi)〕銎渲幸浑p，這樣剩下根筷子，為了再能取一雙顏色相同的筷子，根據(jù)最不利原則，需再加兩只筷子才能保證再摸出一雙顏色相同的筷子，以此類推，所以要雙顏色相同的筷子需根筷子。【例 46】 有紅、黃、藍、白4色的小球各10個，混合放在一個布袋里．一次摸出小球8個，其中至少有幾個小球的顏色是相同的？【解析】 從最不利的情況考慮，摸出的8個小球中有4個小球的顏色各不相同，那么余下的4個小球無論各是什么顏色，都必與之前的4個小球中的某一個顏色相同．即這8個小球中至少有2個小球的顏色是相同的．【例 47】 兩個布袋各有12個大小一樣的小球，且都是紅、白、藍各4個。從第一袋中拿出盡可能少的球，但至少有兩種顏色一樣的放入第二袋中；再從第二袋中拿出盡可能少的球放入第一袋中，使第一袋中每種顏色的球不少于3個。這時，兩袋中各有多少個球？【解析】 第一次取完后，只需知道第一袋中有某種顏色的球不足3個即可（取了多少個球，怎樣取的都可以不考慮）。第二次取后，要保證第一袋中每種顏色的球不少于3個，最不利的情況是兩種顏色的球各有8個，另一種顏色的球有3個。所以，第一袋中有球8＋8＋3＝19（個），第二袋中有球432－19＝5（個）?！纠?48】 一個玻璃瓶里一共裝有44個彈珠，其中：白色的2個，紅色的3個，綠色的4個，藍色的5個，黃色的6個，棕色的7個，黑色的8個，紫色的9個．如果要求每次從中取出1個彈珠，從而得到2個相同顏色的彈珠，請問最多需要取幾次？【解析】 這個玻璃瓶里裝有8種顏色的彈珠，如果真的算你倒霉的話，最壞的可能性就是前8次摸到的都是不同顏色的彈珠，而第9次摸出的任何顏色的彈珠，都可以與已摸出的彈珠構(gòu)成“同色的兩個彈珠”．所以最多只需要取9次．【鞏固】 一個口袋里分別有4個紅球，7個黃球，8個黑球，為保證取出的球中有6個球顏色相同，則至少要取多少個小球？【解析】 考慮最“壞”的情況，先取出4個紅球，5個黃球，5個黑球，這樣再取一個(只能是黃球或黑球)，將有6個球顏色相同，所以至少要取出(個)小球．【例 49】 （2008年中國臺灣小學數(shù)學競賽選拔賽復(fù)賽）在張卡片上不重復(fù)地編寫上~，請問至少要隨意抽出幾張卡片才能保證所抽出卡片上的數(shù)相乘后之乘積可被整除？【解析】 當抽出個奇數(shù)的時候，乘積還是奇數(shù)，最多再抽出張偶數(shù)，乘積即可被整除，也就是抽出個數(shù)可以保證乘積能被整除．【例 50】 一副撲克牌，共54張，問：至少從中摸出多少張牌才能保證：⑴至少有5張牌的花色相同；⑵四種花色的牌都有；⑶至少有3張牌是紅桃．(4) 至少有2張梅花和3張紅桃．【解析】 一副撲克牌有四種花色，每種花色各13張，另外還有兩張王牌，共54張．⑴為了“保證”5張牌花色相同，我們應(yīng)從最“壞”的情況去分析，即先摸出了兩張王牌，再把四種花色看作4個抽屜，要想有5張牌屬于同一個抽屜，只需再摸出(張)，也就是共摸出19張牌．即至少摸出19張牌，才能保證其中有5張牌的花色相同．⑵因為每種花色有13張牌，若考慮最“壞”的情況，即摸出了2張王牌和三種花色的所有牌共計(張)，這時，只需再摸一張即一共42張牌，就保證四種花色的牌都有了．即至少摸出42張牌才能保證四種花色的牌都有．⑶最“壞”的情形是先摸出了2張王牌和黑桃、梅花、方塊三種花色所有牌共計張，只剩紅桃牌．這時只需再摸3張，就保證有3張牌是紅桃了，即至少摸出44張牌，才能保證其中至少有3張紅桃牌．⑷因為每種花色有13張牌，若考慮最“壞”的情況，即摸出2張王牌、方塊和黑桃兩種花色的所有牌共計：，然后是摸出所有的梅花和3張紅桃(想想若摸出所有的紅桃和2張梅花，是最壞的情況么？)，共計：張．【鞏固】 南京市第三屆“興趣杯”少年數(shù)學邀請賽預(yù)賽C卷、D卷第11題）一副撲克牌共54張，其中點各有4張，還有兩張王牌，至少要取出____張牌，才能保證其中必有4張牌的點數(shù)相同。【解析】 由于，取出42張牌，其中必有4張點數(shù)相同。如果只取41張，那么其中可能有3張A,3張2,3張3，…，3張K及兩張王牌，沒有4張一樣的點數(shù)相同。所以，至少要取42張，才能保證其中必有4張牌的點數(shù)相同?！纠?51】 （年華羅庚金杯數(shù)學邀請賽）自制的一副玩具牌共計張（含四種牌：紅桃、紅方、黑桃、黑梅．每種牌都有點，點，…，點牌各一張）．洗好后背面向上放好，⑴一次至少抽取 張牌，才能保證其中必定有張牌的點數(shù)和顏色都相同．（2）如果要求一次抽出的牌中必定有張牌的點數(shù)是相鄰的（不計顏色），那么至少要取 張牌。【解析】 ⑴由于點數(shù)有種情況，顏色有黑、紅兩種情況，根據(jù)最不利的原則，我們可以取黑、紅顏色的點各兩張，共計張，那么再取一張必然會出現(xiàn)顏色相同，因此至少取張牌，才能保證其中必定有張牌的點數(shù)和顏色都相同．⑵可以構(gòu)造點數(shù)相鄰的抽屜如下，根據(jù)最不利原則，可以取點數(shù)分別為各四張，共計張，如果再取一張必然必定有張牌的點數(shù)是相鄰的（不計顏色）.【鞏固】 一幅撲克牌有54張，最少要抽取幾張牌，方能保證其中至少有2張牌有相同的點數(shù)？【解析】 點數(shù)為1(A)、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1張，再取大王、小王各1張