【正文】 個(gè)月是無(wú)法滿足題目要求的．如果經(jīng)過(guò)四個(gè)月，將每個(gè)月都一直保持同組的學(xué)生一分為二，放人兩個(gè)組，那么第一個(gè)月保持同組的人數(shù)為16247。認(rèn)真思考，此題中應(yīng)把什么看作抽屜？有幾個(gè)抽屜？在厘米至厘米之間（包括厘米到厘米）共有個(gè)整厘米數(shù)，把這個(gè)整厘米數(shù)看作個(gè)抽屜，每個(gè)抽屜中放個(gè)整厘米數(shù)，就要個(gè)整厘米數(shù)，如果再取出一個(gè)整厘米數(shù)，放入相應(yīng)的抽屜中，那么這個(gè)抽屜中便有個(gè)整厘米數(shù)，也就是至少找出個(gè)學(xué)生，才能找到個(gè)人的身高相同．【例 20】 一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽出了10道選擇題，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為：基礎(chǔ)分10分，每道題答對(duì)得3分，答錯(cuò)扣 1分，不答不得分。先用列表法進(jìn)行搭配。證明：在以這五點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中，至少有一個(gè)的面積小于矩形面積的四分之一。如果這17點(diǎn)中，有兩點(diǎn)之間距離不小于1(即大于或等于1)，設(shè)這兩點(diǎn)為、分別以、為圓心，1為半徑作兩個(gè)圓(如圖)。由于圓心是17個(gè)點(diǎn)中的一點(diǎn)，因此這個(gè)圓至少包含17個(gè)點(diǎn)中的9個(gè)點(diǎn)。設(shè)直線把正方形分成兩個(gè)長(zhǎng)方形和，并且與相交于（如圖）,長(zhǎng)方形的面積長(zhǎng)方形的面積，如果把直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，原來(lái)的兩個(gè)長(zhǎng)方形就變成兩個(gè)梯形，根據(jù)割補(bǔ)法兩個(gè)梯形的面積比也為，所以只要直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到的兩個(gè)梯形的面積比為，所以將長(zhǎng)方形分成的兩個(gè)梯形必定經(jīng)過(guò)點(diǎn)，同樣根據(jù)對(duì)稱經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線也是滿足條件的直線，同理我們還可以找到把長(zhǎng)方形分成上下兩個(gè)梯形的兩個(gè)點(diǎn)這樣，在正方形內(nèi)就有4個(gè)固定的點(diǎn)，凡是把正方形面積分成兩個(gè)面積為2∶3 的梯形的直線，一定通過(guò)這4點(diǎn)中的某一個(gè)。的扇形，每一個(gè)都恰好覆蓋4個(gè)數(shù)，每?jī)蓚€(gè)覆蓋的數(shù)不全相同．如果從這任做的n個(gè)扇形中總能恰好取出3個(gè)覆蓋整個(gè)鐘面的全部12個(gè)數(shù)，求n的最小值． 【解析】 （1）當(dāng)時(shí)，有可能不能覆蓋12個(gè)數(shù)，比如每塊扇形錯(cuò)開(kāi)1個(gè)數(shù)擺放，蓋住的數(shù)分別是：（12，1，2，3）；（1，2，3，4）；（2，3，4，5）；（3，4，5，6）；（4，5，6，7）；（5，6，7，8）；（6，7，8，9）；（7，8，9，10），都沒(méi)蓋住11，其中的3個(gè)扇形當(dāng)然也不可能蓋住全部12個(gè)數(shù)． （2）每個(gè)扇形覆蓋4個(gè)數(shù)的情況可能是： （1，2，3，4）（5，6，7，8）（9，10，11，12）覆蓋全部12個(gè)數(shù) （2，3，4，5）（6，7，8，9）（10，11，12，1）覆蓋全部12個(gè)數(shù) （3，4，5，6）（7，8，9，10）（11，12，1，2）覆蓋全部12個(gè)數(shù) （4，5，6，7）（8，9，10，11）（12，1，2，3）覆蓋全部12個(gè)數(shù) 當(dāng)時(shí)，至少有3個(gè)扇形在上面4個(gè)組中的一組里，恰好覆蓋整個(gè)鐘面的全部12個(gè)數(shù)． 所以n的最小值是9． 【鞏固】 (2009年清華附中入學(xué)測(cè)試題)如圖，在時(shí)鐘的表盤上任意作個(gè)的扇形，使得每一個(gè)扇形都恰好覆蓋個(gè)數(shù)，且每?jī)蓚€(gè)扇形覆蓋的數(shù)不全相同，求證：一定可以找到個(gè)扇形，恰好覆蓋整個(gè)表盤上的數(shù)．并舉一個(gè)反例說(shuō)明，作個(gè)扇形將不能保證上述結(jié)論成立．【解析】 在表盤上共可作出12個(gè)不同的扇形，且1～12中的每個(gè)數(shù)恰好被4個(gè)扇形覆蓋．將這12個(gè)扇形分為4組，使得每一組的3個(gè)扇形恰好蓋住整個(gè)表盤．那么，根據(jù)抽屜原理，從中選擇9個(gè)扇形，必有個(gè)扇形屬于同一組，那么這一組的3個(gè)扇形可以覆蓋整個(gè)表盤．另一方面，作8個(gè)扇形相當(dāng)于從全部的12個(gè)扇形中去掉4個(gè)，則可以去掉蓋住同一個(gè)數(shù)的4個(gè)扇形，這樣這個(gè)數(shù)就沒(méi)有被剩下的8個(gè)扇形蓋住，那么這8個(gè)扇形不能蓋住整個(gè)表盤．模塊三、最不利原則【例 43】 （2008年第六屆“走進(jìn)美妙的數(shù)學(xué)花園”中國(guó)青年數(shù)學(xué)論壇趣味數(shù)學(xué)解題技能展示大賽決賽） “走美”主試委員會(huì)為三～八年級(jí)準(zhǔn)備決賽試題．每個(gè)年級(jí)道題，并且至少有道題與其他各年級(jí)都不同．如果每道題出現(xiàn)在不同年級(jí)，最多只能出現(xiàn)次．本屆活動(dòng)至少要準(zhǔn)備 道決賽試題．【解析】 每個(gè)年級(jí)都有自己道題目，然后可以三至五年級(jí)共用道題目，六到八年級(jí)共用道題目，總共有（道）題目．【例 44】 有一個(gè)布袋中有40個(gè)相同的小球，其中編上號(hào)碼4的各有10個(gè)，問(wèn)：一次至少要取出多少個(gè)小球，才能保證其中至少有3個(gè)小球的號(hào)碼相同？【解析】 將4四種號(hào)碼看作4個(gè)抽屜，要保證一個(gè)抽屜中至少有3個(gè)蘋果，最“壞”的情況是每個(gè)抽屜里有2個(gè)“蘋果”，共有：(個(gè))，再取1個(gè)就能滿足要求，所以一次至少要取出9個(gè)小球，才能保證其中至少有3個(gè)小球的號(hào)碼相同．【鞏固】 有一個(gè)布袋中有5種不同顏色的球，每種都有20個(gè)，問(wèn)：一次至少要取出多少個(gè)小球，才能保證其中至少有3個(gè)小球的顏色相同？【解析】 5種顏色看作5個(gè)抽屜，要保證一個(gè)抽屜中至少有3個(gè)蘋果，最“壞”的情況是每個(gè)抽屜里有2 個(gè)“蘋果”，共有：個(gè)，再取1個(gè)就能滿足要求，所以一次至少要取出11個(gè)小球，才能保證其中至少有3個(gè)小球的顏色相同【鞏固】 （2008年第八屆“春蕾杯”小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初賽）有紅、黃、白三種顏色的小球各個(gè)，混合放在一個(gè)布袋中，一次至少摸出 個(gè)，才能保證有個(gè)小球是同色的？【解析】 根據(jù)最不利原則，至少需要摸出（個(gè)）．【鞏固】 黑、白、黃三種顏色的筷子各有很多根，在黑暗處至少拿出幾根筷子就能保證有一雙是相同顏色的筷子？【解析】 問(wèn)題問(wèn)的是要有一雙相同顏色的筷子．把黑、白、黃三種顏色的筷子當(dāng)作個(gè)抽屜，根據(jù)抽屜原理，至少有根筷子，才能使其中一個(gè)抽屜里至少有兩根筷子．所以，至少拿根筷子，才能保證有一雙是相同顏色的筷子．最“倒霉”原則：它們每樣各取一根，都湊不成雙．教師可以拿其他東西做類似練習(xí)．【鞏固】 一個(gè)口袋中裝有500粒珠子，共有5種顏色，每種顏色各100粒?！窘馕觥?因?yàn)榭曜又挥?種，所以7根中必有一雙顏色相同。這時(shí)，兩袋中各有多少個(gè)球？【解析】 第一次取完后，只需知道第一袋中有某種顏色的球不足3個(gè)即可（取了多少個(gè)球，怎樣取的都可以不考慮）。【解析】 由于，取出42張牌，其中必有4張點(diǎn)數(shù)相同?！窘馕觥?⑴由于點(diǎn)數(shù)有種情況，顏色有黑、紅兩種情況，根據(jù)最不利的原則，我們可以取黑、紅顏色的點(diǎn)各兩張，共計(jì)張，那么再取一張必然會(huì)出現(xiàn)顏色相同，因此至少取張牌，才能保證其中必定有張牌的點(diǎn)數(shù)和顏色都相同．⑵可以構(gòu)造點(diǎn)數(shù)相鄰的抽屜如下，根據(jù)最不利原則，可以取點(diǎn)數(shù)分別為各四張，共計(jì)張，如果再取一張必然必定有張牌的點(diǎn)數(shù)是相鄰的（不計(jì)顏色）.【鞏固】 一幅撲克牌有54張，最少要抽取幾張牌，方能保證其中至少有2張牌有相同的點(diǎn)數(shù)？【解析】 點(diǎn)數(shù)為1(A)、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1張，再取大王、小王各1張，一共1。所以，至少要取42張，才能保證其中必有4張牌的點(diǎn)數(shù)相同。所以，第一袋中有球8＋8＋3＝19（個(gè)），第二袋中有球432－19＝5（個(gè)）。【例 46】 有紅、黃、藍(lán)、白4色的小球各10個(gè)，混合放在一個(gè)布袋里．一次摸出小球8個(gè)，其中至少有幾個(gè)小球的顏色是相同的？【解析】 從最不利的情況考慮，摸出的8個(gè)小球中有4個(gè)小球的顏色各不相同，那么余下的4個(gè)小球無(wú)論各是什么顏色，都必與之前的4個(gè)小球中的某一個(gè)顏色相同．即這8個(gè)小球中至少有2個(gè)小球的顏色是相同的．【例 47】 兩個(gè)布袋各有12個(gè)大小一樣的小球，且都是紅、白、藍(lán)各4個(gè)。問(wèn)至少要取多少根才能保證達(dá)到要求？【解析】 根據(jù)最不利原則，至少取根筷子就能保證有一雙顏色不同，我們把顏色不同那雙筷子取出，再補(bǔ)只筷子，就能又保證一雙顏色不同筷子，所以取出根筷子就得到顏色不同的兩雙筷子.【鞏固】 （第六屆《小數(shù)報(bào)》數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽）有形狀、長(zhǎng)短都完全一樣的紅筷子、黑筷子、白筷子、黃筷子、紫筷子和花筷子各25根?！纠?39】 如圖，能否在行列的方格表的每一個(gè)空格中分別填上，這三個(gè)數(shù)，使得各行各列及對(duì)角線上個(gè)數(shù)的和互不相同？并說(shuō)明理由．【解析】 從問(wèn)題入手：因?yàn)閱?wèn)的是和，所以就從和的種類入手。證明：這9 條直線中至少有3 條通過(guò)同一個(gè)點(diǎn)。也就是說(shuō)這些點(diǎn)必落在某一個(gè)圓中?！纠?37】 在一個(gè)直徑為厘米的圓內(nèi)放入七個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)證明一定有兩個(gè)點(diǎn)的距離不大于厘米【解析】 將圓分成六個(gè)面積相等的扇形，這六個(gè)扇形可以看成六個(gè)抽屜，七個(gè)點(diǎn)看成七個(gè)蘋果，這樣必有一個(gè)抽屜有兩個(gè)蘋果，即一定有兩個(gè)點(diǎn)的距離不大于厘米【鞏固】 平面上給定17個(gè)點(diǎn)，如果任意三個(gè)點(diǎn)中總有兩個(gè)點(diǎn)之間的距離小于1，證明：在這17個(gè)點(diǎn)中必有9個(gè)點(diǎn)可以落在同一半徑為1的圓內(nèi)。如果要證明“在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形內(nèi)（包括邊界）有5個(gè)點(diǎn)，那么這5個(gè)點(diǎn)中一定有距離不大于的兩點(diǎn)”，則順次連接三角形三邊中點(diǎn)，即三角形的三條中位線，可以分原等邊三角形為4個(gè)全等的邊長(zhǎng)為的小等邊三角形，則5個(gè)點(diǎn)中必有2點(diǎn)位于同一個(gè)小等邊三角形中（包括邊界）。與之前不同的是，本題借閱的書(shū)只說(shuō)了兩本并沒(méi)說(shuō)其他要求，所以可以拿本同樣的書(shū)．【鞏固】 11名學(xué)生到老師家借書(shū)，老師的書(shū)房中有文學(xué)、科技、天文、歷史四類書(shū)，每名學(xué)生最多可借兩本不同類的書(shū)，最少借一本．試說(shuō)明：必有兩個(gè)學(xué)生所借的書(shū)的類型相同【解析】 設(shè)不同的類型書(shū)為Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四種，若學(xué)生只借一本書(shū)，則不同的類型有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四種；若學(xué)生借兩本不同類型的書(shū)，則不同的類型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六種．共有10種類型，把這10種類型看作10個(gè)“抽屜”，把11個(gè)學(xué)生看作11個(gè)“蘋果”．如果誰(shuí)借哪種類型的書(shū)，就進(jìn)入哪個(gè)抽屜，由抽屜原理，至少有兩個(gè)學(xué)生，他們所借的書(shū)的類型相同．【鞏固】 幼兒園買來(lái)許多牛、馬、羊、狗塑料玩具，每個(gè)小朋友任意選擇兩件，但不能是同樣的，問(wèn)：至少有多少個(gè)小朋友去拿，才能保證有兩人所拿玩具相同？【解析】 從四種玩具中挑選不同的兩件，所有的搭配有以下組：牛、馬；牛、羊；牛、狗；馬、羊；馬、狗；羊、狗．把每一組搭配看作一個(gè)“抽屜”，共個(gè)抽屜．根據(jù)抽屜原理，至少要有個(gè)小朋友去拿，才能保證有兩人所拿玩具相同．【鞏固】 體育用品的倉(cāng)庫(kù)里有許多足球、排球和籃球，有66個(gè)同學(xué)來(lái)倉(cāng)庫(kù)拿球，要求每個(gè)人至少拿一個(gè)，最多拿兩個(gè)球，問(wèn)至少有多少名同學(xué)所拿的球的種類是完全一樣的？【解析】 以拿球配組的方式為抽屜，每人拿一個(gè)或兩個(gè)球，所以抽屜有：足、排、籃、足足、排排、籃籃、足排、足籃、排籃共9種情況，即有9個(gè)抽屜，則：，即至少有8名同學(xué)所拿球的種類是一樣的．【鞏固】 幼兒園買來(lái)很多玩具小汽車、小火車、小飛機(jī)，每個(gè)小朋友任意選擇兩件不同的，那么至少要有幾個(gè)小朋友才能保證有兩人選的玩具是相同的？【解析】 根據(jù)題意列下表：有個(gè)小朋友就有三種不同的選擇方法，當(dāng)?shù)谒膫€(gè)小朋友準(zhǔn)備拿時(shí)，不管他怎么選擇都可以跟前面三個(gè)同學(xué)其中的一個(gè)選法相同．所以至少要有個(gè)小朋友才能保證有兩人選的玩具是相同的．總結(jié)： 本題是抽屜原理應(yīng)用的典型例題，作為重點(diǎn)講解．學(xué)生們可能會(huì)這么認(rèn)為：鋪墊：件種件，件個(gè)人，要保證有相同的所以至少要有人；對(duì)于例題中的題目同樣件種件，件個(gè)人，要保證有相同的所以至少要有人．因?yàn)殇亯|是正好配上數(shù)了，而例題中的問(wèn)題在于種東西任選兩種的選擇有幾種．可以簡(jiǎn)單跟學(xué)生講一下簡(jiǎn)單乘法原理的思想，但建議還是運(yùn)用枚舉法列表進(jìn)行分析，按順序列表可以做到不遺漏，不重復(fù)．【鞏固】 籃子里有蘋果、梨、桃和桔子，現(xiàn)有若干個(gè)小朋友，如果每個(gè)小朋友都從中任意拿兩個(gè)水果，那么至少有多少個(gè)小朋友才能保證有兩個(gè)小朋友拿的水果是相同的？【解析】 首先應(yīng)弄清不同的水果搭配有多少種．兩個(gè)水果是相同的有4種，兩個(gè)水果不同有6種：蘋果和梨、蘋果和桃、蘋果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子．所以不同的水果搭配共有（種）．將這10種搭配作為10個(gè)“抽屜”．由抽屜原理知至少需個(gè)小朋友才能保證有兩個(gè)小朋友拿的水果是相同的【例 22】 紅、藍(lán)兩種顏色將一個(gè)方格圖中的小方格隨意涂色（見(jiàn)下圖），每個(gè)小方格涂一種顏色．是否存在兩列，它們的小方格中涂的顏色完全相同？【解析】 用紅、藍(lán)兩種顏色給每列中兩個(gè)小方格隨意涂色，只有下面四種情形：將上面的四種情形看成四個(gè)“抽屜”，把五列方格看成五個(gè)“蘋果”，根據(jù)抽屜原理，將五個(gè)蘋果放入四個(gè)抽屜，至少有一個(gè)抽屜中有不少于兩個(gè)蘋果，也就是至少有一種情形占據(jù)兩列方格，即這兩列的小方格中涂的顏色完全相同．【例 23】 將每一個(gè)小方格涂上紅色、黃色或藍(lán)色．（每一列的三小格涂的顏色不相同），不論如何涂色，其中至少有兩列，它們的涂色方式相同，你同意嗎？【解析】 這道題是例題的拓展提高，通過(guò)列舉我們發(fā)現(xiàn)給這些方格涂色，要使每列的顏色不同，最多有種不同的涂法，涂到第六列以后，就會(huì)跟前面的重復(fù)．所以不論如何涂色，其中至少有兩列它們的涂色方式相同．【例 24】 從、這個(gè)偶數(shù)中至少任意取出多少個(gè)數(shù)，才能保證有個(gè)數(shù)的和是？ 【解析】 構(gòu)造抽屜：，共種搭配，即個(gè)抽屜，所以任意取出個(gè)數(shù)，無(wú)論怎樣取，有兩個(gè)數(shù)必同在一個(gè)抽屜里，這兩數(shù)和為，所以應(yīng)取出個(gè)數(shù)．或者從小數(shù)入手考慮，、當(dāng)再取時(shí)，與其中的一個(gè)去陪，總能找到一個(gè)數(shù)使這兩個(gè)數(shù)之和為．【鞏固】 證明：在從1開(kāi)始的前10個(gè)奇數(shù)中任取6個(gè)，一定有2個(gè)數(shù)的和是20.【解析】 將10個(gè)奇數(shù)分為五組(19)，(17)，(15)，(13)，(11)，任取6個(gè)必有兩個(gè)奇數(shù)在同一組中，這兩個(gè)數(shù)的和為20.【鞏固】 從1，4，7，10，…，37，40這14個(gè)數(shù)中任取8個(gè)數(shù)，試證：其中至少有2個(gè)數(shù)的和是41.【解析】 構(gòu)造和為的抽屜：，現(xiàn)在取個(gè)數(shù)，一定有兩個(gè)數(shù)取在同一個(gè)抽屜，所以至少有2個(gè)數(shù)的和是41.【鞏固】 從，這個(gè)數(shù)中任意挑出個(gè)數(shù)來(lái)，證明在這個(gè)數(shù)中，一定有兩個(gè)數(shù)的差為。2=4人，第三個(gè)月保持同組人數(shù)為4247。【鞏固】 （第八屆《小數(shù)報(bào)》數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽）將全體自然數(shù)按照它們個(gè)位數(shù)字可分為10類：個(gè)位數(shù)字是1的為第1類，個(gè)位數(shù)字是2的為第2類，…，個(gè)位數(shù)字是9的為第9類，個(gè)位數(shù)字是0的為第10類．（1）任意取出6個(gè)互不同類的自然數(shù)，其中一定有2個(gè)數(shù)的和是10的倍數(shù)嗎？（2）任意取出7個(gè)互不同類的自然數(shù)，其中一定有2個(gè)數(shù)的和是10的倍數(shù)嗎？如果一定，請(qǐng)煎藥說(shuō)明理由；如果不一定，請(qǐng)舉出一個(gè)反例．【解析】 （1）不一定有．例如10這6個(gè)數(shù)中，任意兩個(gè)數(shù)的和都不