函數(shù)單調(diào)性和奇偶性專題-資料下載頁
2025-03-24 12:16本頁面
【正文】 析】。例4：（1）定義在上的奇函數(shù)是減函數(shù)，解關(guān)于的不等式：。【解析】不等式可化簡為由于函數(shù)是奇函數(shù)因此則有, 解得 或， 即∴ 不等式f (1―a)＋f (1―a2)0的解集是{a| 1a0}（2）定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且成立，求的取值范圍?！敬鸢浮孔兪剑海?）定義在上的偶函數(shù)，上為增函數(shù)，且成立，求的取值范圍。【答案】或（2）定義在上的奇函數(shù)是減函數(shù)，且成立，求的取值范圍。點評：函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性結(jié)合應(yīng)用是此類習(xí)題的一般解法，但在應(yīng)用時要特別注意函數(shù)的定義域。例5：已知函數(shù)對任意都有，并且當(dāng)時。（1）求證：在上是增函數(shù)；（2）若,求滿足條件的實數(shù)的取值范圍?！窘馕觥浚?）設(shè)。又，故函數(shù)上是增函數(shù)。（2）。由，得。根據(jù)在上是增函數(shù)，可得，解得。變式（1）設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間上是減函數(shù)。試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并給予證明。（2）已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f(－x)＝0，且在(－∞，0)上單調(diào)遞增，如果x1＋x20且x1x20，則f(x1)＋f(x2)的取值范圍是___________.【解析】由x1x20不妨設(shè)x10，x20.∵x1＋x20，∴x1－x2(x)＋f(－x)＝0知f(x)為奇函數(shù)．又由f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增得，f(x1)f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)0.例6：已知函數(shù)f（x）=x++m（p≠0）是奇函數(shù)，當(dāng)x∈［1，2］時，求f（x）的最大值和最小值.【解析】∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（－x）=－f（x），∴－x－+m=－x－－m，∴2m=0，m=0.（1）當(dāng)p＜0時，據(jù)定義可證明f（x）在［1，2］上為增函數(shù).∴f（x）max=f（2）=2+，f（x）min=f（1）=1+p.（2）當(dāng)p＞0時，據(jù)定義可證明f（x）在（0，］上是減函數(shù)，在［，+∞）上是增函數(shù).①當(dāng)＜1，即0＜p＜1時，f（x）在［1，2］上為增函數(shù)，∴f（x）max=f（2）=2+，f（x）min=f（1）=1+p.②當(dāng)∈［1，2］時，f（x）在［1，p］［p，2］上是增函數(shù).f（x）min=f（）=2，f（x）max=max{f（1），f（2）}=max{1+p，2+}.當(dāng)1≤p≤2時，1+p≤2+，f（x）max=f（2）；當(dāng)2＜p≤4時，1+p≥2+，f（x）max=f（1）.③當(dāng)＞2，即p＞4時，f（x）在［1，2］上為減函數(shù)，∴f（x）max=f（1）=1+p，f（x）min=f（2）=2+.變式：設(shè)為實數(shù)，函數(shù)。（1）討論函數(shù)的奇偶性；（2）求函數(shù)的最小值
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