函數(shù)單調(diào)性和奇偶性專題(參考版)
2025-03-27 12:16本頁面
【正文】 （1）討論函數(shù)的奇偶性；（2）求函數(shù)的最小值。試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并給予證明。根據(jù)在上是增函數(shù)，可得，解得。（2）。【解析】（1）設(shè)。例5：已知函數(shù)對任意都有，并且當(dāng)時(shí)?！敬鸢浮炕颍?）定義在上的奇函數(shù)是減函數(shù)，且成立，求的取值范圍?！窘馕觥坎坏仁娇苫啚橛捎诤瘮?shù)是奇函數(shù)因此則有, 解得 或， 即∴ 不等式f (1―a)＋f (1―a2)0的解集是{a| 1a0}（2）定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且成立，求的取值范圍。【解析】。小結(jié)：判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟：⑴合理地分解成兩個(gè)基本初等函數(shù)；⑵分別解出兩個(gè)基本初等函數(shù)的定義域；⑶分別確定單調(diào)區(qū)間；⑷若兩個(gè)基本初等函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性相同，則為增函數(shù)，若為一增一減，則為減函數(shù)（同增異減）；⑸求出相應(yīng)區(qū)間的交集，即是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。①若，外函數(shù)為增函數(shù)，由同增異減法則，故函數(shù)在上是增函數(shù)；函數(shù)在上是減函數(shù)。由題知函數(shù)的定義域是。例8：求（且）的單調(diào)區(qū)間。變式：已知，若，試確定的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性。 【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?先判斷在內(nèi)的單調(diào)性，由題可把轉(zhuǎn)化為，又故，雖x的增大而減小，所以在上為減函數(shù)；同理可判斷在內(nèi)也是減函數(shù)。這種方法思路比較清晰，但通常過程比較繁瑣，有時(shí)也可以利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)來判斷其他函數(shù)的單調(diào)性。例6：已知函數(shù)，常數(shù)）．若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍．【解析】設(shè)，則 ， 要使函數(shù)在上為增函數(shù)，必須恒成立． ，還要，即恒成立． 又，所以的取值范圍是． 變式：已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的范圍。注 由于與0的大小關(guān)系不是明確的，因此要分段討論?！咀C明】設(shè)、且，則，又，所以，當(dāng)、時(shí)，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)、時(shí)，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)?！咀C明】 設(shè),，且，則由于，則，即，所以在上是減函數(shù)。變式：（1）已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax－3在區(qū)間[1,2]上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________________．【解析】 函數(shù)f(x)＝x2－2ax－3的圖象開口向上，對稱軸為直線x＝a，畫出草圖如圖所示．由圖象可知，函數(shù)在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有單調(diào)性，因此要使函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上具有單調(diào)性，只需a≤1或a≥2，從而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．（2）函數(shù)y=loga（2－ax）在［0，1］上是減函數(shù)，則a的取值范圍是________.【解析】題中隱含a＞0，∴2－ax在［0，1］上是減函數(shù).∴y=logau應(yīng)為增函數(shù)，且u=2－ax在
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