【正文】 ()jd jftF t? ??????? ??? ????F86 周期信號的傅里葉變換 周期信號 傅里葉級數(shù) 非周期信號 ？ ??1T傅里葉變換 ??1T（離散譜） （連續(xù)譜） 1． 正弦 、 余弦信號的傅里葉變換 0j 0[ e ] 2 ( )t? ? ? ?? ? ?F0 0 0c o s ( ) ( )t? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?F0 0 0s i n j ( ) ( )t? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?F 在例 ，已經(jīng)求出了指數(shù)信號、正弦和余弦信號的傅里葉變換。即 87 周期信號的傅里葉變換 以上三種信號的頻譜圖如下所示 2． 一般周期信號的傅里葉變換 設(shè)周期信號的周期為 ，則角頻率 ，可以將 展開成指數(shù)形式的傅里葉級數(shù) ()ft 1 1 12 2 /fT? ? ? ? ?()ft1j( ) e ntnnf t F ???? ? ?? ?其中 1 11/2 j/211 ( ) e dT ntn TF f t tT???? ?或 1011 ()n nF F jT ? ? ???88 周期信號的傅里葉變換 1j( ) e ntnnf t F ???? ? ?? ?將上式兩邊取傅里葉變換 11jj( ) e en t n tnnnnf t F F??????? ? ? ? ? ????? ?????? ???? ????F F F12 ( )nnFn? ? ??? ? ?? ? ??1( j ) ( ) 2 ( ) ( 3 . 6 5 )nnF f t F n? ? ? ??? ? ???? ? ? ? ??? ?F即： 周期信號 的傅里葉變換是由一系列沖激函數(shù)所組成，這些沖激位于信號的諧頻 處，每個沖激的強(qiáng)度等于 的傅里葉級數(shù)相應(yīng)系數(shù) Fn的 倍。 11(0 , , 2 , )???? 2?()ft()ft89 周期信號的傅里葉變換 例 求周期單位沖激信號 的傅里葉級數(shù)與傅里葉 變換。 ()T t???0 1T 12T1T?12T?t)(tT?)1(??0nF12Ω11TΩ1Ω1Ω12 Ω??0)( ΩjF1()?12 Ω 1Ω 1Ω 12ΩΩ解： ???????nT nTtt )()( 1??1 11/2 j/211( )e dT ntn TF t tTT ?? ?????1j11( ) e ntTntT?? ?? ? ?? ?111( ) 2 ( )()nnnF j F nn? ? ? ?? ? ? ??? ? ??? ? ?? ? ?????90 周期信號的傅里葉變換 例 求周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)和傅里葉變換。已知 的幅度為 ，脈寬為 ，周期為 ，角頻率為 。 ()ft E ?1T 112/T? ????t)(~ tf2/?2/?? 1T1T?E解： 已知矩形脈沖 的傅里葉變換為 0()ft 0 ()Fj?0 ( j ) S a ( )2FE?????110111 ( ) S a ( )2n nnEF F jTT ?????????因?yàn)? 91 周期信號的傅里葉變換 所以 11jj 11( ) e S a e2n t n tnnnnEf t FT?? ?????? ? ? ? ? ???????????11 1 1( j ) 2 ( ) S a ( )2nnnnF F n E n??? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???????設(shè)： 211?T?（ ） 92 拉普拉斯變換 拉氏變換的優(yōu)點(diǎn)： 1）求解簡化； 2）把微分、積分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程； 3）將復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡單的初等函數(shù)； 4）將卷積轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算。 93 從傅里葉變換到拉普拉斯變換 j ( j ) ( ) e dtF f t t?? ? ???? ?j 1( ) ( j ) e d2tf t F ??????? ? ?引入衰減因子 ，則 的傅氏變換為 e t??e ( )t ft??j[ e ( ) ] [ ( ) e ] e dt t tf t f t t? ? ??? ? ???? ?F ( j )( ) e d tf t t??? ????? ?令 ，則 js ????B ( ) [ ( ) ] ( ) e dstBF s f t f t t? ????? ?L f(t)的雙邊拉氏變換 j1BB j1( ) [ ( ) ] ( )e d2jstBf t F s F s s????????? ? ?L 雙邊拉氏逆變換 94 從傅里葉變換到拉普拉斯變換 在信號與系統(tǒng)分析中，一般所遇到的總是因果信號，則 0( ) [ ( ) ] ( ) e d ( 3 .7 5 )stF s f t f t t?? ?? ? ??L f(t)的單邊拉氏變換 j1j1( ) [ ( ) ] ( )e d 02jstf t F s F s s t???????? ? ?? ?L 單邊拉氏逆變換 簡記為 L .T .( ) ( )f t F s? ???95 從傅里葉變換到拉普拉斯變換 拉普拉斯變換與傅里葉變換的區(qū)別： FT: 時域函數(shù) f(t) 頻域函數(shù) )( ΩjF變量 t 變量 ΩLT: 時域函數(shù) f(t) 復(fù)頻域函數(shù) )(sF（變量 t、 都是實(shí)數(shù)） Ω變量 t 變量 s (復(fù)頻率） t（實(shí)數(shù)） (復(fù)數(shù)） Ωjs ?? ?即： 傅里葉變換建立了時域與頻域之間的聯(lián)系 ； 拉普拉斯變換建立了時域與復(fù)頻域之間的聯(lián)系。 96 拉普拉斯變換的收斂域 B ( ) [ ( ) ] ( ) e dstBF s f t f t t? ????? ?L0( ) [ ( )] ( ) e dstF s f t f t t?? ??? ?L（ 1） （ 2） 在以 為實(shí)軸， 為虛軸的復(fù)平面中，凡能使式 (1)或式(2)積分收斂，即滿足下列絕對可積條件 的 的取值范圍稱為拉氏變換的收斂域，以 ROC表示。 ? j?( ) e dtf t t?? ???????97 拉普拉斯變換的收斂域 例 求因果信號 （ 為實(shí)數(shù)）的雙邊拉氏變 換及收斂域。 11 ( ) e ( )tf t u t?? 1?解： 1()B 1 10( ) ( ) e d e dststF s f t t t??? ?????????當(dāng) 時，有 1R e [ ]s????1()B111 011( ) e stFsss??????? ? ???若 ，收斂軸將移到 軸的左側(cè)。 1 0? ? j?98 拉普拉斯變換的收斂域 例 求左邊信號 （ 為實(shí)數(shù)）的雙邊拉 氏變換及收斂域 。 2?22 ( ) e ( )tf t u t?? ? ?解： 20 ()B 2 2( ) ( ) e d e dststF s f t t t?? ???? ? ? ?? ? ???當(dāng) 時，有 2R e [ ]s????220()B20()2( ) e d1eststF s ts????????????????21s ?? ?若 ，收斂軸將移到 軸的右側(cè)。 2 0? ? j?99 拉普拉斯變換的收斂域 例 求雙邊信號 的雙邊拉氏變換及收斂域。 21e 0()e 0 tttftt??? ???? ???解： 210B 0( ) ( ) e d e e d e e dttst st stF s f t t t t????? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?210( ) ( )21 0ee( ) ( )s t s tss?????? ? ? ?????? ? ? ?當(dāng) ，上式第一項(xiàng)存在；當(dāng) ，上式第二項(xiàng)存在，這時 2R e [ ]s???? 1R e [ ]s????12B 1 22 1 1 211( ) ( ) ( ) ( )Fs s s s s?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ?100 拉普拉斯變換的收斂域 21 0????12 0????12,? ? ? ?? ? ?101 拉普拉斯變換的收斂域 單邊拉氏變換的 ROC為平行于 軸的一條收斂軸的右邊區(qū)域，可表示為 j?0R e [ ]s????若 ，則 f(t)存在拉氏變換，收斂域 為： 0l im ( ) 0 , ( )tt f t e ? ????? ??0???例 1 1 ( ) ( )f t tu t?l i m 0 , ( 0 )tt te ? ???? ??l i m 0 , ( 0 )ntt te ? ???? ???0 Ωj2 ( ) ( )nf t t u t?例 2 102 拉普拉斯變換的收斂域 例 3 )0()(3 ?? ?? tetf)(,0lim ???? ????? ttt ee?0 Ωj?103 典型信號的拉普拉斯變換 1．指數(shù)信號 e ( )tut??()00e1[e ( ) ] e e d stt t s tu t tss?????????? ? ?? ? ? ????L ()????2．單位階躍信號 ()ut00e1[ ( ) ] e d ststu t tss??? ?? ? ? ??L ( 0)? ?3．單位沖激信號 ()t?0 0[ ( ) ] ( ) e d e 1s t s ttt t t???? ???? ? ??L()? ? ??同理 0000[ ( ) ] ( ) e d e ( )ststt t t t t? ? ??? ??? ? ? ? ? ? ??L104 典型信號的拉普拉斯變換 4． t的正冪信號 （ 是正整數(shù) ） ()nt u t n0[ ( )] e dn n stt u t t t? ?? ?L 100e e dns t n s ttn ttss??? ? ?? ? ? ?10edn s tn tts ? ??? ?所以 1[ ( ) ] [ ( ) ]nn nt u t t u ts??LL21[ ( ) ] ( 0 ) t u ts ??L1n?當(dāng) 時 2n?當(dāng) 時 232[ ( ) ] ( 0 )