【正文】 t21T1T21T?例如 )2( 1Ttf ?t21T1T?21T?)()2( 1 tfTtf ???t21T1T21T?P30 Fig 21 波形的對稱性與諧波特性的關(guān)系 121010 ( 2 , 4 , 6 )4( ) c os ( 1 , 3 , 5 )Tnnaf t n t dt nT????? ?????121010 ( 2 , 4 , 6 )4( ) si n ( 1 , 3 , 5 )Tnnbf t n t dt nT????? ????? 可見，在奇諧函數(shù)的傅里葉級數(shù)中，只會含有 奇次諧波分量 。 ??n18 波形的對稱性與諧波特性的關(guān)系 （ 1）偶函數(shù) ( ) ( )f t f t??1112211 011224 ( ) c o s ( ) c o sTTTna f t n t d t f t n t d tTT ???????11211 22 ( ) sin 0TTnb f t n td tT ?????所以，在偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)中只含有 （直流） 和 余弦分量 。 nc n?13 周期信號的頻譜及其特點(diǎn) 例 求題圖所示的周期矩形信號的三角形式與指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，并畫出各自的頻譜圖。 21*( ) ( ) d 0tit g t t t? ??( i =1， 2， … ， n) ()t?7 周期信號的頻譜分析 —— 傅里葉級數(shù) 設(shè)有 n個(gè)函數(shù) g1(t)， g2(t)， … ， gn(t)在區(qū)間 (t1， t2)構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間 。 6 周期信號的頻譜分析 —— 傅里葉級數(shù) 例如： 三角函數(shù)集 {1， cos(nΩ1t)， sin(nΩ1t)， n=1,2,…} 復(fù)指數(shù)函數(shù)集 {ejnΩ1t， n=0， 177。 如果正交函數(shù)集是 三角函數(shù)集 或 復(fù)指數(shù)函數(shù)集 ，此時(shí)周期函數(shù)所展成的級數(shù)就是 “ 傅里葉級數(shù) ”。 在 頻域分析 中，首先討論周期信號的傅里葉級數(shù)，然后討論非周期信號的傅里葉變換及其性質(zhì)，還要介紹周期信號的傅里葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問題統(tǒng)稱為傅里葉分析。前者稱為三角形式的傅里葉級數(shù) ，后者稱為 指數(shù)形式的傅里葉級數(shù) ，它們是傅里葉級數(shù)兩種不同的表示形式。 1， 177。 將任一函數(shù) f(t) 用這 n個(gè)正交函數(shù)的線性組合來近似 ， 可表示為 f(t)≈C1g1+ C2g2+…+ C ngn 通常使誤差的方均值 (稱為 均方誤差 )最小。 解： 一個(gè)周期內(nèi) 的表達(dá)式為： ()ft111022()22TEtftTEtT?????? ?? ? ? ???10 011 ( ) 0Ta f t d tT???11012 ( ) c o s 0Tna f t n t d tT ????11012 1 , 3 , 52 ( ) s in0 2 , 4 , 6TnE nb f t n td t nT n? ?? ?????? ???14 周期信號的頻譜及其特點(diǎn) nncb?)5,3,1(2)a r c t a n ( ?????? nabnnn??因此 11 , 3 , 51 1 121( ) s in2 1 1( s in s in 3 s in 5 )35nEf t n tnEtt??? ? ?????? ? ? ??或 11 , 3, 521( ) c o s ( )2nEf t n tn??????????????????6,4,205,3,12nnnE?15 周期信號的頻譜及其特點(diǎn) ( 1 , 3 , 5 )2( 1 , 3 , 5 )2nnn????????? ?? ? ? ? ????????????????????????6,4,205,3,12)(21nnnjEbjjbaF nnnn ?1 1 1 133()33j t j t j t j tj E j E j E j Ef t e e e e? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?( 1 , 3 , 5 )n EFn n ?? ? ? ? ???????????????)5,3,1(2)5,3,1(2??nnn???)5,3,1( ?????? nn EF n ?)5,3,1(2 ???? nn ????????????6,4,205,3,12nnnEc n ?02??n?? Ω1Ω 13Ω 15Ωnc?1Ω 13Ω 15Ω0?E2?32E?52EΩnF?E?3E?5E??15Ω??13Ω? 1Ω? 1Ω 13Ω 15Ω2??2?n??? Ω15Ω? 13Ω? 1Ω?1Ω 13Ω 15Ω17 周期信號的頻譜及其特點(diǎn) 2. 周期信號頻譜的特點(diǎn) （ 1）離散性 頻譜是離散的而不是連續(xù)的，這種頻譜 稱為離散頻譜。 ?? ?? ? 2012210111)(2)(1TTT dttfTdttfTa 已知信號 展為傅里葉級數(shù)的時(shí)候， 如果 是實(shí)函數(shù)而且它的波形滿足某種對稱性 ，則在傅里葉級數(shù)中有些項(xiàng)將不出現(xiàn)，留下的各項(xiàng)系數(shù)的表示式也將變得比較簡單。 00 ?a22 波形的對稱性與諧波特性的關(guān)系 在偶諧函數(shù)的傅里葉級數(shù)中，只會含有 （直流） 與 偶次諧波分量 。② 當(dāng)信號是脈沖信號時(shí)，其高頻分量主要影響脈沖的跳變沿，而低頻分量主要影響脈沖的幅度。 ()ft25 典型周期信號的頻譜 周期矩形脈沖信號 (1) 周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù) ??t)(~tf2?2?? 21T21T? 1T1T?E1220 001 1 122 ()T Ea f t d t E d tT T T? ?? ? ???0?nb112211001 1 14 4 2( ) c o s c o s Sa ( )2TnnnEa f t n td t E n td t cT T T? ?????? ? ? ???26 周期矩形脈沖信號 111112( ) S a ( ) c o s ( 3 . 2 4 )2nnEEf t n tTT???? ???? ? ?? 所以，三角形式傅里葉級數(shù)為 所以，指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)為 111( ) S a ( ) ( 3 . 2 6 )2 j n tnnEf t eT?????? ? ????1111( ) S a ( )2 2 2n n n nnEF a j b aT???? ? ? ? 因?yàn)? 27 周期矩形脈沖信號 （ 2）頻譜圖 112 S a ( )2nnEcT???? 11S a ( )2n nEF T ????114T? ?28 周期矩形脈沖信號 若 411?T?則 )2(4142211 ????? ???TΩ因此，第一個(gè)零值點(diǎn)之內(nèi)或兩個(gè)相鄰的零值點(diǎn)之間有 3根譜線。 11( 2 / )T??? 1T 1T2/?? ? ? 1T? ?1T31 對稱周期矩形脈沖信號 1()ft2/E2/E?t1T1T?41T41T?111112( ) S a ( ) c o s ( 3 . 2 4 )2nnEEf t n tTT???? ???? ? ??令 ， 則有 ?2,010 ?? Ta1111 1 1( ) S a ( ) c os22 1 1( c os c os 3 c os 5 )35nnf t E n tEt t t??????? ? ? ? ? ? ??32 對稱周期矩形脈沖信號 1 1 1 12 1 1( ) ( c o s c o s 3 c o s 5 )35Ef t t t t?? ? ? ? ? ? ?ncE?1?13?15?17?nc?1?13? 15?E17?1? 13? 15? 17???n?33 周期鋸齒脈沖信號 1111( ) ( 1 ) s i nnnEf t n tn ??????? ? 周期鋸齒脈沖信號的頻譜只包含正弦分量，諧波的幅度以 1/n的規(guī)律收斂。 36 周期全波余弦信號 1 1 12 4 1 1 1( ) c o s c o s 2 c o s 33 1 5 3 5EEf t t t t? ? ???? ? ? ? ????? ??2/1 n 周期全波余弦信號的頻譜包含直流分量及 的各次諧波分量。這種頻譜常常被叫做“均勻譜”或“白色頻譜” (1）沖激函數(shù)的傅里葉變換 )(1 tf?/12/?2/?? t)(t?t)1(1 1)( ?ΩjFΩ0??0??演示 48 (2）沖激函數(shù)的傅里葉逆變換 )()(1 ΩΩ ??jFΩ)1(?21)(1tft1)(2 tft)(2)(2 ΩΩ ???jFΩ)2( ?1 11( ) [ ( ) ] ( ) ( 3 . 4 1 7 )22jtf t e d?? ? ? ? ???????? ? ? ??F或 1[ ] ( ) ,2 ??? ?F [1 ] 2 ( )?? ??F49 )(1 tf12/?2/?? t)(tft1??? )2(?)(2)( ΩΩ ???jFΩ1)]2()2([lim ?????????tutu?或： Sa ( ) 22 d??? ? ???? ??()??[ 1 ] l im Sa ( ) l im Sa ( ) 22 2 2?? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? ? ?F 2 ( )?? ?????演示 50 （ 3）沖激偶的傅里葉變換 即： 1()2jtt e d???????? ?上式兩邊對 t 求導(dǎo)得： 1( ) ( )2jtd t j e ddt?? ? ?????? ?,1)]([ ?t?? F39。 ()ft()F jtt2?2??2 A?解： 2 , / 2( j )0 , / 2A tFtt??????? ??? ?( j ) 2 S a 2F t A ??? ???? ????F? ?11( ) ( j ) 2 S a S a2 2 2 2t ttf t F t A A? ?? ? ????? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ? ???F觀察法 61 位移性包括時(shí)移性和頻移性。 ( j ) S a 2GE ???? ??? ????? ?00001( j ) j( ) j( )2Sa ( ) Sa ( )2 2 2 2F G GEE? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?0 2????66