【文章內容簡介】 ( ) a r c ta n ( )??? ???44 () tf t e ??? 222( ) ( 3 . 4 9 )Fj ???????45 10s g n ( )10ttt???? ???)sgn(t11?t)(1 tf1tte??te ??1?)()()( tuetuetf tt ?? ????)()()s gn()()(1tuetuettftftt ?? ??????)(tf1tte ??te?110022( ) [ ( ) ]()2t j t t j tF j f te e dt e e dtj? ? ? ??????? ? ????? ? ?????? F46 2212)(ΩΩΩ????jjF102( ) l im ( ) ( 3 .4 12)F j F jj??? ??? ? ?2()Fj ???02()02???????????? ?? ???)( ΩjFΩ()??2?2??Ω47 ( ) ( ) 1 ( 3 . 4 1 5 )jtF j t e d t??? ? ???? ? ?? 單位沖激函數(shù)的頻譜等于常數(shù)，也就是說，在整個頻率范圍內頻譜是均勻的。這種頻譜常常被叫做“均勻譜”或“白色頻譜” (1）沖激函數(shù)的傅里葉變換 )(1 tf?/12/?2/?? t)(t?t)1(1 1)( ?ΩjFΩ0??0??演示 48 (2）沖激函數(shù)的傅里葉逆變換 )()(1 ΩΩ ??jFΩ)1(?21)(1tft1)(2 tft)(2)(2 ΩΩ ???jFΩ)2( ?1 11( ) [ ( ) ] ( ) ( 3 . 4 1 7 )22jtf t e d?? ? ? ? ???????? ? ? ??F或 1[ ] ( ) ,2 ??? ?F [1 ] 2 ( )?? ??F49 )(1 tf12/?2/?? t)(tft1??? )2(?)(2)( ΩΩ ???jFΩ1)]2()2([lim ?????????tutu?或： Sa ( ) 22 d??? ? ???? ??()??[ 1 ] l im Sa ( ) l im Sa ( ) 22 2 2?? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? ? ?F 2 ( )?? ?????演示 50 （ 3）沖激偶的傅里葉變換 即： 1()2jtt e d???????? ?上式兩邊對 t 求導得： 1( ) ( )2jtd t j e ddt?? ? ?????? ?,1)]([ ?t?? F39。[ ( ) ] ( 3 . 4 2 3 )tj??? ? ?F同理： ()[ ( ) ] ( )nntj?? ?F51 )s g n (2121)( ttu ???1( ) ( 3 .4 25 )j? ? ??? ? ?)(Ω?2?2??Ω)( ΩjFΩ)(?11( ) [ ( ) ] [ ] [ s g n ( ) ]22F j u t t?? ? ? ?F F F52 傅里葉變換的基本性質 1. 線性 2. 對稱性 設 ()( ) ( ) ( ) ( )jF j F j e R j X??? ? ? ?? ? ?其中 22 ()( ) ( ) ( ) , ( ) a r c ta n()XF j R XR?? ? ? ? ??? ? ?若 11[ ( ) ] ( ) ,f t F j?? 22[ ( ) ] ( ) ,f t F j??則 1 1 2 2 1 1 2 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( 3 . 5 1 )()a f t a f t a F j a F j??? ???FFF若 [ ( ) ] ( )f t F j??則 [ ( ) ] ( ) ( 3 . 5 6 )f t F j ?? ? ? ?**[ ( ) ] ( ) ( 3 . 5 7 )f t F j ?? ? ?**[ ( ) ] ( ) ( 3 . 5 8 )f t F j ?? ? ?FFFF53 如： 1[ ( ) ]te u tj???? ??F1[ ( ) ]te u tj???? ? ? ?F又如： 1[ ( ) ] ( )utj? ? ? ???F11[ ( ) ] ( ) ( )utjj? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?F54 兩種特定關系： 1. 若 f(t)是 實函數(shù) ，或 虛函數(shù) [f(t)= j g(t)]，則 是 偶函數(shù) , ()Fj?()?? 是 奇函數(shù) 。 例如： () tf t e ???222()Fj ????? ?（實偶） （實偶） 0()0ttetftet???? ??? ?????222() jFj ???????（實奇） （虛奇） 2. 若 f(t)是 t 的 實偶函數(shù) ，則 必為 的 實偶函數(shù) ,即 ()Fj?( ) ( )F j R???? 若 f(t)是 t 的 實奇函數(shù) ，則 必為 的 虛奇函數(shù) ， 即 ( ) ( )F j j X???()Fj? ?55 [ ,( ) ] ( )f t F j?? [ ( ) ] 2 ( ) ( 3 . 5 1 1 )F j t f??? ??若 則 F F若 f(t)為實偶函數(shù)，則 ( ) ( ) ( )F j R R? ? ?? ? ?對偶性為： [ ( ) ] 2 ( )R t f???F0 (2π) t R(t)=1 0 1 0 1 例如： 0 (1) t ( ) ( )f t t?? ( ) ( ) 1F j R????2 ( )f????56 ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) Sa ( )2 2 2f t E u t u t R E? ? ? ???? ? ? ? ? ?( ) Sa ( ) [ ( ) ] 2 [ ( ) ( ) ]2 2 2tR t E R t E u u? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?F又如： )(tfE2/?2/?? tF()R ??)(2 Ωf?E?22/?2/?? ΩF()Rt?Sa ( ) [ ( ) ( ) ]c c cct u u?? ? ? ? ??? ? ? ?57 例： 求 F 1t??????因為 2[ sg n ( ) ] ,tj??解： F2 2 s g n ( ) 2 s g n ( )jt? ? ? ??? ? ? ? ?????所以 F這樣 F 1 sg n ( )jt???? ??????58 利用傅里葉變換的對偶性，可以將求傅里葉逆變換的問題轉化為求傅里葉變換來進行。 [ ( ) ] 2 ( )F j t f ????[ ( ) ] ( )f t F j??若 則 即 1( ) [ ( ) ]2f F jt????F1( ) [ ( ) ( 3 . 5 1 4 )]2 tf t F jt ?? ?? ???F59 解： )s gn()( tjjtF ???1 2 1[]2 t t???? ??? ? ?例 ： 求 1 [ sgn( ) ]j???F22[ ( )]F j t jj??????F1 1[ s g n ( ) ] [ ( ) ]2 tj F j t ??? ??????F F60 例 已知信號的傅里葉變換為 2 / 2( j )0 / 2AF ?????????? ??試求其逆變換 。 ()ft()F jtt2?2??2 A?解： 2 , / 2( j )0 , / 2A tFtt??????? ??? ?( j ) 2 S a 2F t A ??? ???? ????F? ?11( ) ( j ) 2 S a S a2 2 2 2t ttf t F t A A? ?? ? ????? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ? ???F觀察法 61 位移性包括時移性和頻移性。 （ 1） 時移特性 [ ( ) ] ( ) ,f t F j??若 則 F? ? 0j0( ) ( j ) e ( 3 .5 15 )tf t t F ?? ?? ? ?F同理 ? ?0j0( ) ( j ) e ( 3 .5 16 )tf t t F ??? ? ?F例 求題圖所示的單邊矩形脈沖信號的頻譜函數(shù) 。 )(tfE? t解： 因為對稱矩形脈沖信號 的傅里葉變換為 ()Gt( ) Sa ( )2G j E ?????62 j2( j ) S a e2FE?????????? ????幅度譜保持不變，相位譜產生附加相移 /2??? ?? Ω()?????2/?Ω?( ) Sa ( )2G j E ?????63 （ 2）頻移特性（調制定理 ) 若 , ? ?( ) ( j )f t F ??F0j 0( ) e j ( ) ( 3 . 5 1 7 )tf t F? ???? ??? ? ?????F則 同理 0j 0( )e j ( ) ( 3 . 5 1 8 )tf t F? ????? ??? ? ?????F因為 ， 00jj01c o s ( e e )2ttt ??? ??? 00jj01s i n (e e )2jttt ??? ???所以 ? ?0 0 01( ) c o s j ( ) j ( )2f t t F F? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?F? ?0 0 0j( ) s i n j ( ) j ( )2f t t F F? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?F64 例 求 , 及 的頻譜。 0je t?0cos t? 0sin t?解： ? ?1 2 ( )????F因為 ，再根據(jù)頻移性可得 0j 0[ e ] 2 ( ) ( 3 . 5 2 1 )t? ? ? ?? ? ? ?F0 0 0c o s ( ) ( ) ( 3 . 5 2 2 )t? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?F0 0 0s i n j ( ) ( ) ( 3 . 5 2 3 )t? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?F65 例 求矩形脈沖調幅信號的頻譜， 已知 f(t)=G(t) cosΩ 0t ，其中 G(t)為矩形脈沖，脈幅為 E, 脈寬為 τ。 ( j ) S a 2GE ???? ??? ????? ?00001( j ) j( ) j( )2Sa ( ) Sa ( )2 2 2 2F G GEE? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?0 2????66 若 , ? ?( ) ( j )f t F ??F則 ? ? 1( ) j ( 3 .5 2 4 )