【文章內容簡介】 107. 信號積分 上午 6時 58分 38 ? 信號與系統(tǒng)分析中，常遇到函數本身有不連續(xù)點（跳變點）或其導數與積分有不連續(xù)點的情況，這類函數稱為奇異函數或奇異信號。 ? 通常將實際信號按某種條件理想化，即可運用理想模型進行分析。 ? 奇異信號分類： （ 1）斜變信號 （ 2） 階躍信號 （重要） （ 3） 沖激信號 （重要） （ 4）沖激偶信號 167。 奇異信號 上午 6時 58分 39 ? 斜變信號也稱斜坡信號或斜升信號。 ? 它是從某一時刻開始隨時間正比例增長的信號。 ? 如果增長的變化率是 1，就稱為單位斜變信號。 ??????000)(ttttf如果將起始點移至 t0,則可寫成 ????????00000)(ttttttttft)(tf110t)( 0ttf ?0t10 10 ?t(1)單位斜變信號 上午 6時 58分 40 (2)截平的斜變信號 ? 在時間 ?以后斜變波形被切平，如圖所示信號波形。 ???????????tkttfktf )()(1t)(1 tf?k0上午 6時 58分 41 (3)三角形脈沖信號 ? 三角形脈沖信號也可用斜變信號表示。 ???????????tttfktf0)()(2t)(2 tf?k0上午 6時 58分 42 ? 單位階躍信號的波形如圖所示，通常以符號 u(t)表示。 ??????0100)(tttu? 在跳變點 t=0處，函數值未定義，或 t=0處規(guī)定函數值 21)0( ?u單位階躍函數 的物理背景：在 t=0(或 t0)時刻對某一電路接入單位電源（直流電壓源或直流電流源），并且無限持續(xù)下去。 1)(tut0??V11)( 0ttu ?t0 0t單位階躍信號 延時的單位階躍信號 (1)單位階躍信號 上午 6時 58分 43 (2)矩形脈沖信號 ? 矩形脈沖信號可用階躍及其延時信號之差表示。 )()()( TtututR T ???t)(tRTT10下標 T表示矩形脈沖出現在 0到 T時刻之間。 ? 如果矩形脈沖對于縱坐標左右對稱，則可用 GT(t)表示。 )2()2()( TtuTtutG T ????下標 T表示其矩形脈沖寬度。 t)(tGT2T12T? 0門信號與其他信號相乘，只留下門內部分。 上午 6時 58分 44 (３ )描述各種信號的接入特性 ? 階躍信號鮮明地表現信號的單邊特性。即信號在某接入時刻 t0以前的幅度為零。 )(s i n)(1 tuttf ??)]()([)( 02 ttutuetf t ??? ?t)(1 tfT101?例子： t)(2 tf0t10t)(3 tfTE0 ? ??T T2????????03 )]()([)(nnTtunTtuEtf ???????14 )()()(nnTtuEttuTEtft)(4 tfTE0 T3T2上午 6時 58分 45 (４ )符號函數（ signum) ? 簡寫作 sgn(t),可用階躍信號表示。 ???????0101)s g n (tttt)sgn(t101? 與階躍函數類似，對于符號函數在跳變點也可不予定義，或規(guī)定 sgn(0)=0。 顯然，階躍信號來表示符號函數： 1)(2)s g n ( ?? tut上午 6時 58分 46 ? 某些物理現象需要用一個時間極短，但取值極大的函數模型來描述。 ? 例如：力學中瞬間作用的沖擊力，電學中的雷擊電閃，數字通信中的抽樣脈沖 …… 等等。單位沖激函數：記作?(t)，又稱為“ ?函數”。 ３ .單位沖激信號 t)(t?0 沖激函數的表示：用箭頭表示。表明，?(t)只在 t=0點有一 “ 沖激 ” ，在 t=0點以外各處，函數值都是零。 廣義函數！ (1) 上午 6時 58分 47 ????????????)0(0)(1)(ttdtt當??狄拉克（ Dirac)給出的 ?函數定義： 也稱 ?函數 為 狄拉克 (Dirac)函數 。 t)(t?0描述在任一點 t=t0處出現的沖激，可定義 ?(tt0)函數： ??????????????)(0)(1)(000ttttdttt當??t)( 0tt ??0 0t1上午 6時 58分 48 )0()()0()0()()()(fdttfdtftdttft???????????????????函數的性質 單位沖激信號 ?(t)與一個在 t=0點連續(xù)（且處處有界）的信號 f(t)相乘 ，則其乘積僅在 t=0處得到 f(0)?(t),其余各點之乘積均為零。故 t)(tf0)0(f對于延遲 t0的單位沖激信號有 )()()()()(0000tfdttfttdttftt??????????????t)(tf0)(0tf0t a)抽樣特性（篩選特性） ??????)()()()()0()()()(00 tfttfttfttft????上午 6時 58分 49 )0()()0()()()()()()(fdfdfdttft??????????????????????????證明： )()( tt ?? ?? b) ?(t)是 偶函數 )0()()0()( fdf ?? ? ??? ???上午 6時 58分 50 ? ?? ?t tud )()( ???得 ???????????????tttdtd0,0)(0,1)(?????? c) 沖激函數的積分是階躍函數 反之， 階躍函數的微分應等沖激函數 )()( tdt tdu ??t)(t?0)(tu0 t積分 t0t)(tu0微分 )(t?由于 上午 6時 58分 51 ??? ???????????????????adttadttaadaada1)(1)(1)()(1)(????????證明： )(1)( taat ?? ?（ d) 沖激函數的尺度變換 ? ???? ??? ?? aadaada 1)()(1)( ??????若 a0, 若 a0, 而 ? ???? ??? ?? adada 1)()(1)(1 ??????根據 廣義函數相等的準則 ，得證！ 變量替換 上午 6時 58分 52 ? ?0)(39。)(),...,2,1()()(39。1)(1???? ??iiniiitfntfnittttftf且個互不相等的實根的是其中??(e) ?(t)沖激函數的復合函數的性質 (教材 P77) )( 22 at ??例子：化簡 22)( attf ??解： 有二個實根分別位于 t1=a和 t2=a，則有 attf at 22)(39。 11 ??? ?? attf at 22)(39。 22 ?? ?? ?)()(2 1)( 22 atataat ?????? ???上午 6時 58分 53 )]2()2([)()(????????tutucdttdvcti cc電流 ic(t)為： ???????????????????????21222120)(??????tttttvc從物理方面理解 ?函數的意義。電路圖如下： 電壓源 vc(t)接向電容元件Ｃ，假定 vc(t)是斜變信號。 ??)(tvc )(ticctt)(tvc01)(tic0?c0t212??2?2??2?上午 6時 58分 54 )()]2()2([l i m)(l i m)(00tctutucdttdvcticc??????????????????????????如果取 ??0的極限，則vc(t)成為階躍信號，它的微分 —— 電流 ic(t)是沖激函數其表達式為 ： t)(tic0?c0t2??2?t)()( tctic ??0??0 t)(tvc01212??2???0 )()( tutv c ?0 t1上午 6時 58分 55 結論 ? 若要在無限短時間內使電容兩端建立一定的電壓， 那么必須在無限短時間內提供足夠的電荷， 所以，需要一個 沖激電流 ，或者說，由于沖激電 流的出現，允許電容兩端電壓跳變。 ? 根據網絡對偶理論，可將此應用于理想電感模型。 由于