【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 107. 信號(hào)積分 上午 6時(shí) 58分 38 ? 信號(hào)與系統(tǒng)分析中，常遇到函數(shù)本身有不連續(xù)點(diǎn)（跳變點(diǎn)）或其導(dǎo)數(shù)與積分有不連續(xù)點(diǎn)的情況，這類函數(shù)稱為奇異函數(shù)或奇異信號(hào)。 ? 通常將實(shí)際信號(hào)按某種條件理想化，即可運(yùn)用理想模型進(jìn)行分析。 ? 奇異信號(hào)分類： （ 1）斜變信號(hào) （ 2） 階躍信號(hào) （重要） （ 3） 沖激信號(hào) （重要） （ 4）沖激偶信號(hào) 167。 奇異信號(hào) 上午 6時(shí) 58分 39 ? 斜變信號(hào)也稱斜坡信號(hào)或斜升信號(hào)。 ? 它是從某一時(shí)刻開(kāi)始隨時(shí)間正比例增長(zhǎng)的信號(hào)。 ? 如果增長(zhǎng)的變化率是 1，就稱為單位斜變信號(hào)。 ??????000)(ttttf如果將起始點(diǎn)移至 t0,則可寫(xiě)成 ????????00000)(ttttttttft)(tf110t)( 0ttf ?0t10 10 ?t(1)單位斜變信號(hào) 上午 6時(shí) 58分 40 (2)截平的斜變信號(hào) ? 在時(shí)間 ?以后斜變波形被切平，如圖所示信號(hào)波形。 ???????????tkttfktf )()(1t)(1 tf?k0上午 6時(shí) 58分 41 (3)三角形脈沖信號(hào) ? 三角形脈沖信號(hào)也可用斜變信號(hào)表示。 ???????????tttfktf0)()(2t)(2 tf?k0上午 6時(shí) 58分 42 ? 單位階躍信號(hào)的波形如圖所示，通常以符號(hào) u(t)表示。 ??????0100)(tttu? 在跳變點(diǎn) t=0處，函數(shù)值未定義，或 t=0處規(guī)定函數(shù)值 21)0( ?u單位階躍函數(shù) 的物理背景：在 t=0(或 t0)時(shí)刻對(duì)某一電路接入單位電源（直流電壓源或直流電流源），并且無(wú)限持續(xù)下去。 1)(tut0??V11)( 0ttu ?t0 0t單位階躍信號(hào) 延時(shí)的單位階躍信號(hào) (1)單位階躍信號(hào) 上午 6時(shí) 58分 43 (2)矩形脈沖信號(hào) ? 矩形脈沖信號(hào)可用階躍及其延時(shí)信號(hào)之差表示。 )()()( TtututR T ???t)(tRTT10下標(biāo) T表示矩形脈沖出現(xiàn)在 0到 T時(shí)刻之間。 ? 如果矩形脈沖對(duì)于縱坐標(biāo)左右對(duì)稱，則可用 GT(t)表示。 )2()2()( TtuTtutG T ????下標(biāo) T表示其矩形脈沖寬度。 t)(tGT2T12T? 0門(mén)信號(hào)與其他信號(hào)相乘，只留下門(mén)內(nèi)部分。 上午 6時(shí) 58分 44 (３ )描述各種信號(hào)的接入特性 ? 階躍信號(hào)鮮明地表現(xiàn)信號(hào)的單邊特性。即信號(hào)在某接入時(shí)刻 t0以前的幅度為零。 )(s i n)(1 tuttf ??)]()([)( 02 ttutuetf t ??? ?t)(1 tfT101?例子： t)(2 tf0t10t)(3 tfTE0 ? ??T T2????????03 )]()([)(nnTtunTtuEtf ???????14 )()()(nnTtuEttuTEtft)(4 tfTE0 T3T2上午 6時(shí) 58分 45 (４ )符號(hào)函數(shù)（ signum) ? 簡(jiǎn)寫(xiě)作 sgn(t),可用階躍信號(hào)表示。 ???????0101)s g n (tttt)sgn(t101? 與階躍函數(shù)類似，對(duì)于符號(hào)函數(shù)在跳變點(diǎn)也可不予定義，或規(guī)定 sgn(0)=0。 顯然，階躍信號(hào)來(lái)表示符號(hào)函數(shù)： 1)(2)s g n ( ?? tut上午 6時(shí) 58分 46 ? 某些物理現(xiàn)象需要用一個(gè)時(shí)間極短，但取值極大的函數(shù)模型來(lái)描述。 ? 例如：力學(xué)中瞬間作用的沖擊力，電學(xué)中的雷擊電閃，數(shù)字通信中的抽樣脈沖 …… 等等。單位沖激函數(shù)：記作?(t)，又稱為“ ?函數(shù)”。 ３ .單位沖激信號(hào) t)(t?0 沖激函數(shù)的表示：用箭頭表示。表明，?(t)只在 t=0點(diǎn)有一 “ 沖激 ” ，在 t=0點(diǎn)以外各處，函數(shù)值都是零。 廣義函數(shù)！ (1) 上午 6時(shí) 58分 47 ????????????)0(0)(1)(ttdtt當(dāng)??狄拉克（ Dirac)給出的 ?函數(shù)定義： 也稱 ?函數(shù) 為 狄拉克 (Dirac)函數(shù) 。 t)(t?0描述在任一點(diǎn) t=t0處出現(xiàn)的沖激，可定義 ?(tt0)函數(shù)： ??????????????)(0)(1)(000ttttdttt當(dāng)??t)( 0tt ??0 0t1上午 6時(shí) 58分 48 )0()()0()0()()()(fdttfdtftdttft???????????????????函數(shù)的性質(zhì) 單位沖激信號(hào) ?(t)與一個(gè)在 t=0點(diǎn)連續(xù)（且處處有界）的信號(hào) f(t)相乘 ，則其乘積僅在 t=0處得到 f(0)?(t),其余各點(diǎn)之乘積均為零。故 t)(tf0)0(f對(duì)于延遲 t0的單位沖激信號(hào)有 )()()()()(0000tfdttfttdttftt??????????????t)(tf0)(0tf0t a)抽樣特性（篩選特性） ??????)()()()()0()()()(00 tfttfttfttft????上午 6時(shí) 58分 49 )0()()0()()()()()()(fdfdfdttft??????????????????????????證明： )()( tt ?? ?? b) ?(t)是 偶函數(shù) )0()()0()( fdf ?? ? ??? ???上午 6時(shí) 58分 50 ? ?? ?t tud )()( ???得 ???????????????tttdtd0,0)(0,1)(?????? c) 沖激函數(shù)的積分是階躍函數(shù) 反之， 階躍函數(shù)的微分應(yīng)等沖激函數(shù) )()( tdt tdu ??t)(t?0)(tu0 t積分 t0t)(tu0微分 )(t?由于 上午 6時(shí) 58分 51 ??? ???????????????????adttadttaadaada1)(1)(1)()(1)(????????證明： )(1)( taat ?? ?（ d) 沖激函數(shù)的尺度變換 ? ???? ??? ?? aadaada 1)()(1)( ??????若 a0, 若 a0, 而 ? ???? ??? ?? adada 1)()(1)(1 ??????根據(jù) 廣義函數(shù)相等的準(zhǔn)則 ，得證！ 變量替換 上午 6時(shí) 58分 52 ? ?0)(39。)(),...,2,1()()(39。1)(1???? ??iiniiitfntfnittttftf且個(gè)互不相等的實(shí)根的是其中??(e) ?(t)沖激函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的性質(zhì) (教材 P77) )( 22 at ??例子：化簡(jiǎn) 22)( attf ??解： 有二個(gè)實(shí)根分別位于 t1=a和 t2=a，則有 attf at 22)(39。 11 ??? ?? attf at 22)(39。 22 ?? ?? ?)()(2 1)( 22 atataat ?????? ???上午 6時(shí) 58分 53 )]2()2([)()(????????tutucdttdvcti cc電流 ic(t)為： ???????????????????????21222120)(??????tttttvc從物理方面理解 ?函數(shù)的意義。電路圖如下： 電壓源 vc(t)接向電容元件Ｃ，假定 vc(t)是斜變信號(hào)。 ??)(tvc )(ticctt)(tvc01)(tic0?c0t212??2?2??2?上午 6時(shí) 58分 54 )()]2()2([l i m)(l i m)(00tctutucdttdvcticc??????????????????????????如果取 ??0的極限，則vc(t)成為階躍信號(hào)，它的微分 —— 電流 ic(t)是沖激函數(shù)其表達(dá)式為 ： t)(tic0?c0t2??2?t)()( tctic ??0??0 t)(tvc01212??2???0 )()( tutv c ?0 t1上午 6時(shí) 58分 55 結(jié)論 ? 若要在無(wú)限短時(shí)間內(nèi)使電容兩端建立一定的電壓， 那么必須在無(wú)限短時(shí)間內(nèi)提供足夠的電荷， 所以，需要一個(gè) 沖激電流 ，或者說(shuō)，由于沖激電 流的出現(xiàn)，允許電容兩端電壓跳變。 ? 根據(jù)網(wǎng)絡(luò)對(duì)偶理論，可將此應(yīng)用于理想電感模型。 由于