【正文】 系統(tǒng) ? 穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng) ?常用分類方法： ? 系統(tǒng)的特性 ? 線性性質(zhì) ? 時不變性 ? 因果性 ? 穩(wěn)定性 第 91 頁 1. 線性 y(t):系統(tǒng)的響應(yīng)、 f(t):系統(tǒng)的激勵 ⑴ 線性性質(zhì)： 齊次性 和 可加性 可加性： 齊次性 ： f() → y() 系 統(tǒng)Tf ( ) y ( )y() = T[ f ()] f () → y() a f() → a y() f1() → y1() f2() → y2() f1() +f2() → y1()+y2() af1() +bf2() → ay1()+by2() 綜合 ， 線性性質(zhì)： 第 92 頁 線性系統(tǒng)的條件 ⑴ 動態(tài)系統(tǒng) 響應(yīng) 不僅與激勵 { f () }有關(guān)，而且與 可分解性 零狀態(tài)線性 y () = T [{ f () }, {x(0)}] yzi()=T[{0}， {x(0)}]， yzs() = T [{ f () }, {0}] 零輸入線性 ⑵ 動態(tài)系統(tǒng) 是線性系統(tǒng)，要滿足下面 3個條件： 系統(tǒng)的 初始狀態(tài) {x(0)}有關(guān) , 初始狀態(tài)也稱“ 內(nèi)部激勵 ”。 第 93 頁 線性系統(tǒng)的條件 ① 可分解性： y () = yzi()+ yzs() ② 零狀態(tài)線性： T[{af1(t) +bf2(t) }, {0}] = aT[{ f1 () }, {0}] +bT[{ f2 () }, {0}] y () = T [{ f () }, {x(0)}] yzi()=T[{0}， {x(0)}]， yzs() = T [{ f () }, {0}] ③ 零輸入線性： T[{0},{ax1(0) +bx2(0)} ]= aT[{0},{x1(0)}] +bT[{0},{x2(0)}] 舉例 1 舉例 2 線性 系統(tǒng)（連續(xù)、離散） 線性 微分（差分）方程 第 94 頁 判斷線性 系統(tǒng)舉例 例 1： 判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？ （ 1） y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1 （ 2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)| （ 3） y (t) = x2(0) + 2 f (t) 解 ： （ 1） yzs(t) = 2 f (t) +1， yzi(t) = 3 x(0) + 1 顯然， y (t) ≠ yzs(t) ＋ yzi(t) 不滿足可分解性，故為非線性 （ 2） yzs(t) = | f (t)|， yzi(t) = 2 x(0) y (t) = yzs(t) + yzi(t) 滿足可分解性； 由于 T[{a f (t) }, {0}] = | af (t)| ≠ a yzs(t) 不滿足零狀態(tài)線性。故為非線性系統(tǒng)。 （ 3） yzi(t) = x2(0)， T[ {0},{a x(0) }] =[a x(0)]2 ≠a yzi(t)不滿足零輸入線性。故為非線性系統(tǒng)。 第 95 頁 例 2：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？ xxfxxty tt d)()si n ()0(e)( 0??? ?解： xxfxtyxty tzstzi d)()s i n ()(),0(e)( 0??? ?y (t) = yzs(t) + yzi(t) ， 滿足可分解性； T[{a f1(t)+ b f2(t) }, {0}] xxfxxxfxxxfxfx ttt d)()s i n (bd)()s i n (ad)](b)() [ as i n ( 0 20 10 21 ??? ????= aT[{f1(t)}, {0}] +bT[{ f2(t) }, {0}]， 滿足零狀態(tài)線性； T[{0},{ax1(0) + bx2(0)} ] = et[ax1(0) +bx2(0)] = aetx1(0)+ betx2(0) = aT[{0},{x1(0)}] +bT[{0},{x2(0)}], 滿足零輸入線性； 所以， 該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。 第 96 頁 2. 時不變性 ? 時不變系統(tǒng) ： 系統(tǒng)參數(shù)不隨時間變化 線性系統(tǒng) 時不變 常系數(shù)微分方程 時變 變系數(shù)微分方程 線性時不變系統(tǒng)： yzs() = T [{ f () }, {0}] yzs( ttd) = T [{ f (ttd) }, {0}] yzs(kkd) = T [{ f (kkd) }, {0}] 第 97 頁 時不變性 )(tf t tTO O )( tyzstO)( 0tty zs ?0t f(t td) → yzs(t td) )( 0ttf ?O0t Tt ?0 f(t ) → yzs(t ) 舉例 第 98 頁 判斷時不變系統(tǒng)舉例 例： 判斷下列系統(tǒng)是否為時不變系統(tǒng)？ （ 1） yzs(k) = f (k) f (k –1) （ 2） yzs (t) = t f (t) （ 3） y zs(t) = f (– t) 解 (1) 令 g (k) = f(k –kd) T[{0}， g (k)] = g(k) g (k –1) = f (k –kd) f (k–kd –1 ) 而 yzs (k –kd) = f (k –kd) f (k–kd –1) 顯然 T[{0}， f(k –kd)] = yzs (k –kd) 故該系統(tǒng)是時不變的。 (2) 令 g (t) = f(t –td) T[{0}， g (t)] = t g (t) = t f (t –td) 而 yzs (t –td)= (t –td) f (t –td) 顯然 T[{0}， f(t –td)] ≠ yzs (t –td) 故該系統(tǒng)為時變系統(tǒng) 第 99 頁 (3) yzs(t) = f (– t) 令 g (t) = f(t –td) , T[{0}， g (t) ] = g (– t) = f(– t –td) 而 yzs (t –td) = f [–( t – td)] 顯然 T[{0}， f(t –td)] ≠ yzs (t –td) 故該系統(tǒng)為時變系統(tǒng) 直觀判斷方法： 若 f ()前出現(xiàn)變系數(shù)，或有反轉(zhuǎn)、展縮變換，則系統(tǒng)為時變系統(tǒng)。 第 100 頁 LTI系統(tǒng)的微分特性和積分特性 本課程重點(diǎn)： 討論線性時不變系統(tǒng) 。 （ 2）微分特性 ： 證明 (Linear TimeInvariant)，簡稱 LTI系統(tǒng)。 （ 1）線性性質(zhì)： 齊次性和可加性 (3) 積分特性 ： 若 f (t) → yzs(t) f ’ (t) → y’ zs (t) 若 f (t) → yzs(t) ? ??? ???t t zs dxxydxxf )()(第 101 頁 3. 因果性 ? 因果系統(tǒng)： 即因果系統(tǒng) : 激勵是原因，響應(yīng)是結(jié)果，響應(yīng)是不 輸出不超前于輸入 。 ? 判斷方法： 舉例 綜合舉例 指零狀態(tài)響應(yīng)不會出現(xiàn)在激勵之前的系統(tǒng)。 有 t t0 ， yzs(t) = 0 t =t0時 f(t)加入： 可能在激勵施加之前出現(xiàn)的。 第 102 頁 因果系統(tǒng)判斷舉例 如下列系統(tǒng)均為 因果系統(tǒng)： ? ??? t xxfty zs d)()(yzs(t) = 3f(t – 1) 而下列系統(tǒng)為 非因果系統(tǒng)： (1) yzs(t) = 2f(t + 1) (2) yzs(t) = f(2t) 因?yàn)?，?t=1時，有 yzs(1) = 2f(2) 因?yàn)?，?f(t) = 0， t t0 ，有 yzs(t) = f(2t)=0, t t0 。 第 103 頁 因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng) ? 實(shí)際的物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)均為因果系統(tǒng) 非因果系統(tǒng)的概念與特性也有實(shí)際的意義，如信號的壓縮、擴(kuò)展，語音信號處理等。 若信號的自變量不是時間，如位移、距離、亮度等為變量的物理系統(tǒng)中研究因果性顯得不很重要 。 ? 因果信號 ( ) ( ) ( )f t f t t?? 0 , ( ) 0t f t??可表示為： t = 0接入系統(tǒng)的信號稱為因果信號。 第 104 頁 4. 穩(wěn)定性 一個系統(tǒng)，若對有界的激勵 f(.)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng) yzs(.)也是有界時，則稱該系統(tǒng)為 有界輸入有界輸出穩(wěn)定 ，簡稱 穩(wěn)定 。即 若 │f(.)│∞，其 │yzs (.)│∞ 則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 如： yzs(k) = f(k) + f(k1)是穩(wěn)定系統(tǒng)； 因?yàn)椋?f(t) =ε(t)有界， ( ) d ( )t x x t t???? ?? 當(dāng) t →∞ 時，它也 →∞ ，無界。 ? ??? tzs dxxfky )()( 是不穩(wěn)定系統(tǒng)； 第 105 頁 二 . LTI系統(tǒng)分析概述 系統(tǒng)分析 ：對給定的具體系統(tǒng)，求出它對給定激勵的響應(yīng)。 具體地說：系統(tǒng)分析就是建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程并求出解答。 系統(tǒng)的分析方法： 輸入輸出法（外部法） 狀態(tài)變量法（內(nèi)部法）（ ) 外部法 時域分析（ 3) 變換域法 連續(xù)系統(tǒng) —頻域法 (4)和復(fù)頻域法 (5) 離散系統(tǒng) —頻域法 (4)和 z域法 (6) 系統(tǒng)特性： 系統(tǒng)函數(shù)（ 7) 第 106 頁 求解的基本思路： ? 把 零輸入響應(yīng) 和 零狀態(tài)響應(yīng) 分開求。 ? 把復(fù)雜信號分解為眾多基本信號之和，根據(jù)線性系統(tǒng)的可加性： 多個基本信號作用于線性系統(tǒng)所引起的響應(yīng)等于各個基本信號所引起的響應(yīng)之和。 采用的數(shù)學(xué)工具： ? 時 域： 卷積積分與卷積和 ? 頻 域： 傅里葉變換 ? 復(fù)頻域： 拉普拉斯變換與 Z變換