【正文】 系統(tǒng)的微分特性和積分特性 本課程重點討論線性時不變系統(tǒng) (Linear TimeInvariant)，簡稱 LTI系統(tǒng)。 ① 微分特性： 若 f (t) → yf(t) ， 則 f ’(t) → y ’ f (t) ② 積分特性： 若 f (t) → yf(t) ， 則 ?? ???? ?tt xxyxxf d)(d)(f湖南科技學院計算機系 57 2022/6/3 6. 因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng) 零狀態(tài)響應不會出現(xiàn)在激勵之前的系統(tǒng)，稱為 因果系統(tǒng) 。 即對因果系統(tǒng)，當 t t0 ， f(t) = 0時，有 t t0 ， yf(t) = 0。 如下列系統(tǒng)均為 因果系統(tǒng) ： ? ??? t xxfty d)()(fyf(t) = 3f(t – 1) 而下列系統(tǒng)為 非因果系統(tǒng) ： (1) yf(t) = 2f(t + 1) (2) yf(t) = f(2t) 因為，令 t=1時，有 yf(1) = 2f(2) 因為，若 f(t) = 0， t t0 ，有 yf(t) = f(2t)=0, t t0 。 湖南科技學院計算機系 58 2022/6/3 例 110 某 LTI因果連續(xù)系統(tǒng)，起始狀態(tài)為 x(0–)。已知，當 x(0–) =1，輸入因果信號 f1(t)時，全響應 y1(t) = e –t + cos(πt)， t0； 當 x(0) =2，輸入信號 f2(t)=3f1(t)時，全響應 y2(t) = 2e –t +3 cos(πt)， t0； 求輸入 f3(t) = +2f1(t1)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應y3f(t) 。 t tfd )(d 1解 設當 x(0–) =1，輸入因果信號 f1(t)時，系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應分別為 y1x(t)、 y1f(t)。當 x(0) =2，輸入信號 f2(t)=3f1(t)時，系統(tǒng)的零輸入響應和零狀態(tài)響應分別為 y2x(t)、 y2f(t)。 湖南科技學院計算機系 59 2022/6/3 由題中條件，有 y1(t) =y1x(t) + y1f(t) = e –t + cos(πt)， t0 （ 1） y2(t) = y2x(t) + y2f(t) = –2e –t +3 cos(πt)， t0 （ 2） 根據(jù)線性系統(tǒng)的齊次性， y2x(t) = 2y1x(t)， y2f(t) =3y1f(t)，代入式（ 2）得 y2(t) = 2y1x(t) +3 y1f(t) = 2e –t +3 cos(πt)， t0 （ 3） 式 (3)– 2 式 (1)，得 y1f(t) = –4et + cos(πt)， t0 由于 y1f(t) 是因果系統(tǒng)對因果輸入信號 f1(t)的零狀態(tài)響應，故當 t0， y1f(t)=0；因此 y1f(t)可改寫成 y1f(t) = [–4et + cos(πt)]ε(t) (4) 湖南科技學院計算機系 60 2022/6/3 f1(t) →y 1f(t) = [–4et + cos(πt)]U(t) 根據(jù) LTI系統(tǒng)的微分特性 ttyttfd)(dd)(d 1f1 ? = –3δ(t) + [4et –πsin(πt)]U(t) 根據(jù) LTI系統(tǒng)的時不變特性 f1(t–1) →y 1f(t – 1) ={ –4e(t1) + cos[π(t–1)]}U(t–1) 由線性性質，得：當輸入 f3(t) = +2f1(t–1)時， ttfd)(d 1y3f(t) = + 2y1(t–1) = –3δ(t) + [4et–sin(πt)]U(t) + 2{–4e(t1) + cos[π(t–1)]}U(t–1) ttyd)(d 1湖南科技學院計算機系 61 2022/6/3 7. 穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng) 一個系統(tǒng)，若對有界的激勵 f(.)所產生的零狀態(tài)響應 yf(.)也是有界時，則稱該系統(tǒng)為 有界輸入有界輸出穩(wěn)定 ，簡稱 穩(wěn)定 。即 若 │f(.)│∞，其 │yf(.)│∞ 則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 如 yf(k) = f(k) + f(k1)是穩(wěn)定系統(tǒng)；而 ? ??? t xxfty d)()(f是不穩(wěn)定系統(tǒng)。 因為，當 f(t) =ε(t)有界， ? ?? ?t ttxx )(d)( ?? 當 t →∞ 時，它也 →∞ ，無界。 湖南科技學院計算機系 62 2022/6/3 LTI系統(tǒng)分析概述 系統(tǒng)分析研究的 主要問題 ：對給定的具體系統(tǒng)，求出它對給定激勵的響應。 具體地說：系統(tǒng)分析就是建立表征系統(tǒng)的數(shù)學方程并求出解答 。 系統(tǒng)的 分析方法 ： 輸入輸出法（外部法） 狀態(tài)變量法 （內部法）（ ) 外部法 時域分析（ ,) 變換域法 連續(xù)系統(tǒng) —頻域法 (4)和 復頻域法 (5) 離散系統(tǒng) —z域法 （ chp6) 系統(tǒng)特性 ： 系統(tǒng)函數(shù) （ ) 湖南科技學院計算機系 63 2022/6/3 （ 1）把 零輸入響應 和 零狀態(tài)響應 分開求。 （ 2）把復雜信號分解為眾多基本信號之和，根據(jù)線性系統(tǒng)的可加性： 多個基本信號作用于線性系統(tǒng)所引起的響應等于各個基本信號所引起的響應之和。 求解的 基本思路 ： 采用的數(shù)學工具： （ 1）卷積積分與卷積和 （ 2）傅里葉變換 （ 3）拉普拉斯變換 （ 4） Z變換 湖南科技學院計算機系 64 2022/6/3 例 11 右圖所示系統(tǒng)已知： 則對下圖所示系統(tǒng)， )()()( 11 tytUtf ???)()2()()( ????? tytUtUtf)(tx)2()1(2)()(1 ????? tUtUtUty)2(5)1(4)( ????? tUtUtU)6()5(4)4(5 ?????? tUtUtU解： 對所示的級聯(lián)系統(tǒng)，有 )2()()( 11 ??? tytytx)4()3(2)1(2)( ??????? tUtUtUtU)2()()( 11 ??? tftftf)4()3(2)1(2)()( 1111 ??????? tytytytyty65 2022/6/3 例 12： 已知： f1(t) 作用于某線性時不變系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為 y1(t)，如圖所示。求 f2(t) 作用于該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為 y2(t)。 y2(t)=y1(t) y1(t1) +y1(t2) 解 : f2(t)=f1(t) f1(t1) +f1(t2) 湖南科技學院計算機系 66 2022/6/3 例 3： 已知某線性時不變系統(tǒng)， 當激勵 f(t)=U(t)，初始狀態(tài) x1(0)=1， （ 1） 激勵 f(t)=0，初始狀態(tài) x1(0)=1， x2(0)=2時的響應 y3(t)=？ （ 2）激勵 f(t)=2U(t)，初始狀態(tài)為零時的響應 y4(t)=？ x2(0)=2時，響應 y1(t)=6e2t 5e3t； 當激勵 f(t)=3U(t)，初始狀態(tài)保持不變時，響應 y2(t)=8e2t 7e3t。 求： 解 : 當激勵 f(t)=U(t)，初始狀態(tài) x1(0)=1， x2(0)=2時，響應 )t(y)t(y)t(y fx1 ?? =6e2t 5e3t 當激勵 f(t)=3U(t)，初始狀態(tài)保持不變時，響應 )t(y3)t(y)t(y fx2 ?? =8e2t 7e3t 可得 yf(t) =e2t e3t yx(t) =5e2t 4e3t 所以， 響應 y3(t)=yx(t) =5e2t 4e y4(t) =2yf(t) =2e2t 2e3t 67 2022/6/3 解： 例 13： 圖示系統(tǒng)，求 f1(t)、 f2(t)和 y(t)的波形。 )()()( ???? tUtUtx )]()([s in)(1 ???? tUtUttf)]}()([{ c o s)()( 2122 ????? tUtUtdtddt tfdtf)()()]()([s in ???? ??????? tttUtUt?? dftyt???? )()( 1??????????????????????????????tdttdtt2s in0c os1s in00湖南科技學院計算機系