【正文】 和單位抽樣響應 。 H ( )je ?()hn 由 DTFT的時域位移特性，對差分方程兩邊時行 DTFT，可得： j j 2 j j j31( 1 e e ) ( e ) ( 4 3 e ) ( e )48 ZSYX? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?j jj ZSjj j 2 j jY ( e ) 4 3 e 20 16H ( e )3 1 1 1X ( e ) 1 e e 1 e 1 e4 8 2 4? ????? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 只有當離散系統(tǒng)是 LTI系統(tǒng)時，系統(tǒng)的 和 之間是離散時間傅里葉變換對的關系。對于因果不穩(wěn)定的離散時間LTI系統(tǒng)，盡管其脈沖響應存在，但其頻率響應不存在。 H( )je ? ()hn因此有： 對上式進行 IDTFT，即得： 11( ) 2 0 ( ) ( ) 1 6 ( ) ( )24nnh n u n u n??解： 離散非周期序列通過系統(tǒng)的頻域分析 ()zsynH( )je ? ()xn()xn()zsynj j j( e ) ( e ) ( e )ZSY X H? ? ?? () 設連續(xù)時間系統(tǒng)情況相同，求解離散非周期序列通過系統(tǒng)的零狀態(tài)響應的一般思路是：通過卷積性質求得輸出序列 的頻譜，然后對該頻譜作反變換求得時域解 。 由 DTFT的時域卷積定理，若離散非周期序列 為激勵信號，存在 IDTFT，系統(tǒng)的頻率響應為 ，則 作用 于離散時間 LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應 的頻譜為： ()zsyn31( ) ( 1 ) ( 2 ) 4 ( ) 3 ( 1 )48y n y n y n x n x n? ? ? ? ? ? ?()zsyn 已知描述某穩(wěn)定的離散時間 LTI系統(tǒng)的差分方程為 若系統(tǒng)的輸入序列 ，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應 。 3( ) ( )4nx n u n??? ???? 由 DTFT的時移特性，對差分方程兩邊時行 DFTF，可得 則 j j 2 j j j31( 1 e e ) ( e ) ( 4 3 e ) ( e )48 ZSYX? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?jj j jZSj j 2 j4 3 e 1Y ( e ) H ( e ) X ( e )3 1 31 e e 1 e4 8 4??? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ?jjjjj j j4 3 e 1 8 40 361 1 31 1 3 1 e 1 e 1 e1 e 1 e 1 e4244 2 4??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?j jj ZSjj j 2Y ( e ) 4 3 eH ( e )31X ( e ) 1 e e48? ????? ? ? ?????? 解： 對上式進行 IDTFT，即得 1 1 3( ) 8 ( ) 4 0 ( ) 3 6 ( )4 2 4n n nzsy n u n u n u n? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 只有離散時間 LTI系統(tǒng)頻率響應 以及輸入序列的 DTFT都存在，才可以通過頻域求解離散時間 LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。 注意 H( )je ? 離散周期序列通過系統(tǒng)響應的頻域分析 ()xn()xn2 π 2 π 2 π11 j j j0011( ) ( ) e ( ) ( e ) eNN n k n n kN N Nzskky n X k T X k HNN?????????????? 由于余弦函數(shù)（可能是周期函數(shù)，也可能是非周期函數(shù)）可以表示為復指數(shù)函數(shù)的線性組合，因此系統(tǒng)的頻率響應也可以表示成系統(tǒng)對余弦輸入的響應 . 設離散時間 LTI系統(tǒng)的輸入序列 是一個周期為 N周期序列，則根據(jù) DFS可以將周期序列 表示為： 由式（ ）及離散時間 LTI系統(tǒng)的線性特性，可得離散時間 LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應： 21 j01( ) ( ) eN nkNkx n X kN???? ?00jjjj0( ) c o s ( ) e e e e22nnAAx n A n ??? ? ? ??? ? ? ? ?02 jnjA ee? ?00jj j1 ( ) ( e ) e e2nzsAy n H ????00jj j2 ( ) ( e ) e e2nzsAy n H ?? ? ? ???02 jnjA ee? ???()hn由于 為實數(shù)，則系統(tǒng)對 零狀態(tài)響應為 ： 設 根據(jù)式（ ），系統(tǒng)對 的零狀態(tài)響應為： ()xn0 0 0 0j j j jjj( ) ( e ) e e ( e ) e e2nnzsAy n H H??? ? ? ? ? ????????0j 0( e ) c o s( )A H n ???? ? ? ?0a r g[ ( ) ]jHe? ?? 由上式可知，余弦信號通過頻率響應為 的離散時間 LTI系統(tǒng)時，其輸出的零狀態(tài)響應仍為同頻率的余弦信號 . H( )je ? () 其中， 是系統(tǒng)在頻率 Ω0處的相位響應。 因此，系統(tǒng)對 零狀態(tài)響應為 設一個因果的線性時不變系統(tǒng)的單位樣值響應為： 1( ) 2 ( ) ( )2nh n u n n???? ? ?????（ 3）求系統(tǒng)對輸入為 的零狀態(tài)響應。 j( ) e nxn ??π π( ) c os24x n n????????（ 1）求輸入為 時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應； （ 2）求系統(tǒng)的頻率響應； j j ( ) j011( ) ( ) * ( ) 2 ( ) ( ) ( ) * e 2 e e22kn n n k nzsky n h n x n u n n? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ??∞jjjjjj11e2e2ee111 e 1 e22nnn?????? ? ? ??? ? ???( ) ( )j n jzsy n e H e????jj11e2()11e2jHe????????解： （ 1）由題有 ： （ 2）由 有： （ 3）當 時 2??? πj2πj2πj211e2( e ) 111e2H??????π π πjj2 2 21 1 1a r g ( e ) a r c tg 1 e a r c tg 1 e 2 a r c tg2 2 2sH ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? 由式（ ），可得 jj π π 1( ) ( e ) c o s a r g [ ( e ) ] c o s 2 a r c t g2 4 2zsy n H n H n??? ?? ????? ? ? ? ? ? ? ?????????