【正文】 ，則 作用 于離散時間 LTI系統的零狀態(tài)響應 的頻譜為： ()zsyn31( ) ( 1 ) ( 2 ) 4 ( ) 3 ( 1 )48y n y n y n x n x n? ? ? ? ? ? ?()zsyn 已知描述某穩(wěn)定的離散時間 LTI系統的差分方程為 若系統的輸入序列 ，求系統的零狀態(tài)響應 。 j( ) e nxn ??π π( ) c os24x n n????????（ 1）求輸入為 時系統的零狀態(tài)響應； （ 2）求系統的頻率響應； j j ( ) j011( ) ( ) * ( ) 2 ( ) ( ) ( ) * e 2 e e22kn n n k nzsky n h n x n u n n? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ??∞jjjjjj11e2e2ee111 e 1 e22nnn?????? ? ? ??? ? ???( ) ( )j n jzsy n e H e????jj11e2()11e2jHe????????解： （ 1）由題有 ： （ 2）由 有： （ 3）當 時 2??? πj2πj2πj211e2( e ) 111e2H??????π π πjj2 2 21 1 1a r g ( e ) a r c tg 1 e a r c tg 1 e 2 a r c tg2 2 2sH ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? 由式（ ），可得 jj π π 1( ) ( e ) c o s a r g [ ( e ) ] c o s 2 a r c t g2 4 2zsy n H n H n??? ?? ????? ? ? ? ? ? ? ??????????。 注意 H( )je ? 離散周期序列通過系統響應的頻域分析 ()xn()xn2 π 2 π 2 π11 j j j0011( ) ( ) e ( ) ( e ) eNN n k n n kN N Nzskky n X k T X k HNN?????????????? 由于余弦函數（可能是周期函數，也可能是非周期函數）可以表示為復指數函數的線性組合，因此系統的頻率響應也可以表示成系統對余弦輸入的響應 . 設離散時間 LTI系統的輸入序列 是一個周期為 N周期序列，則根據 DFS可以將周期序列 表示為： 由式（ ）及離散時間 LTI系統的線性特性，可得離散時間 LTI系統的零狀態(tài)響應： 21 j01( ) ( ) eN nkNkx n X kN???? ?00jjjj0( ) c o s ( ) e e e e22nnAAx n A n ??? ? ? ??? ? ? ? ?02 jnjA ee? ?00jj j1 ( ) ( e ) e e2nzsAy n H ????00jj j2 ( ) ( e ) e e2nzsAy n H ?? ? ? ???02 jnjA ee? ???()hn由于 為實數，則系統對 零狀態(tài)響應為 ： 設 根據式（ ），系統對 的零狀態(tài)響應為： ()xn0 0 0 0j j j jjj( ) ( e ) e e ( e ) e e2nnzsAy n H H??? ? ? ? ? ????????0j 0( e ) c o s( )A H n ???? ? ? ?0a r g[ ( ) ]jHe? ?? 由上式可知，余弦信號通過頻率響應為 的離散時間 LTI系統時，其輸出的零狀態(tài)響應仍為同頻率的余弦信號 . H( )je ? () 其中， 是系統在頻率 Ω0處的相位響應。對于因果不穩(wěn)定的離散時間LTI系統，盡管其脈沖響應存在，但其頻率響應不存在。 令 : ( ) ( )zsy n y n?j j j jZS101 e Y ( e ) e X ( e )NMkkkkkkab? ? ? ? ? ?????????????()xn jY (e )ZS ?()zsynjj j j ( 1 ) jj Z S 0 0 1 1 Mj j j ( 1 ) jj 1 1 N1eY ( e ) e e eH ( e )X ( e ) 1 e e e1eMkMMkkMN NNk Nkkbb b b ba a aa??? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ?? ? ?? ? ? ????()jXe? 上式表明， 為離散時間 LTI系統在零狀態(tài)下輸出響應與輸入激勵的頻譜函數之比，稱為離散系統的頻率響應。 12 1 2 10( ) ( ) ( ) ( ) * ( )Nmy n x m x n m x n x n??? ? ? ??4．頻域卷積特性 若 12( ) ( ) ( )y n x n x n?則 1~ ~ ~ ~ ~1 2 1 201( ) ( ) ( ) ( ) ( )NlY k D F S x n x n X l X k lN????? ? ? ? ????? ? 上式表明，兩個周期序列在時域的乘積，對應其頻譜在頻域的周期卷積。周期序列在時域的相移，其對應的頻譜將會產生頻移。如果將 n當作時間變量， k當作頻率變量，則第一式表示的是時域到頻域的變換，稱為 DFS的正變換 。 7．帕塞瓦爾（ Parseval）定理 若 則 ( ) DT F T [ ( )]jX e x n? ?π 22 jπ1( ) ( e ) d2 πn x n X?? ??? ? ? ??? ? 上式表明，序列能量具有時域和頻域的一致性。共軛反對稱序列的實部是奇函數，虛部是偶函數，有 ()oxn()xn()xn**1( ) ( ) ( )21( ) ( ) ( )2eox n x n x nx n x n x n? ??? ? ?? ? ???? ??? ? ????? 若序列滿足： 則稱序列 為共軛對稱序列，用 來表示。 設 ，若 j( ) D T F T [ ( ) ] , H ( e ) D T F T [ ( ) ]jX e x n h n????πj j j j j ( )π11( e ) ( e ) ( e ) ( e ) ( e )2 π 2 πY X H X H d?? ?? ? ? ? ??? ? ? ?5．頻域卷積特性 6．對稱特性 上式表明，兩信號在時域的乘積，其對應的頻譜在頻域將為周期卷積。 ()xn ()un解： 由離散時間傅里葉變換的定義，有 則 1 1 c o s j s i nX ( )1 c o s s i n ( 1 c o s j s i n ) ( 1 c o s j s i n )jaaea j a a a a a?? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12