【正文】 離散時間信號與系統(tǒng)的頻域分析 信號的抽樣 離散非周期信號的頻譜 —— 離散時間傅里葉變換 離散周期信號的頻譜 —— 離散傅里葉級數(shù) 離散時間 LTI系統(tǒng)的頻域分析 信號的抽樣 連續(xù)時間信號的抽樣 信號的抽樣包括 時域抽樣 和 頻域抽樣 ，本節(jié)僅討論信號的 時域抽樣 。理想抽樣 當上圖所示的抽樣器開關(guān) S的閉合時間 t?0時，抽樣脈沖序列 變成沖激函數(shù)序列 ，即： ()pt ()T t?( ) ( ) ( )Tnp t t t n T?????? ? ??∞∞理想抽樣輸出 為： ? ()axt? ?? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a a annx t x t p t x t t n T x t t n T????? ? ? ?? ? ? ? ???∞ ∞∞ ∞化簡上式可得： ? ?? ( ) ( )aanx t x n T t n T???????∞∞? ()axt()pt ( ) ( ) esjr trnrp t t n T C ????? ? ? ?? ? ???∞ ∞∞ ∞)( txattt)(?txa)()( ttpT??10T00將 展開成傅里葉級數(shù)，得： 理想抽樣圖 167。頻率歸一化 ()xn ()axt( ) ( )ax n x n T?? ()aX ?? ? ? ?? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a a anX x t x t p t x n T t n T????? ? ???? ? ? ? ??????? ???F F F? ? j( ) ( ) ( ) e nTaannx n T t n T x n T ??? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ??? F()xnjj( e ) ( ) e nnX x n?? ? ???? ?∞∞則抽樣信號 的頻譜 為： 另一方面，離散時間序列 的傅里葉變換為 設(shè)離散時間序列 是模擬信號 通過周期抽樣得到，即 ? ()axt? ()axt2s?2()02ssTH???????? ?? ????≤ 理想低通濾波器的頻率特性 同樣從圖 ，為了從抽樣信號 中恢復出原來的模擬信號，讓抽樣信號通過一個截止頻率為 的理想低通濾波器，就可將抽樣信號中的基帶頻譜取出來。由下圖的（ c）和（ d）可以得出：在離散時間信號抽樣中，為了不發(fā)生混疊失真，抽樣頻率應滿足條件： 上式表明，離散時間抽樣序列 的傅里葉變換 是原序列 的傅里葉變換 的周期延拓，周期為抽樣頻率 。 設(shè) ，若 j( ) D T F T [ ( ) ] , H ( e ) D T F T [ ( ) ]jX e x n h n????πj j j j j ( )π11( e ) ( e ) ( e ) ( e ) ( e )2 π 2 πY X H X H d?? ?? ? ? ? ??? ? ? ?5．頻域卷積特性 6．對稱特性 上式表明，兩信號在時域的乘積，其對應的頻譜在頻域?qū)橹芷诰矸e。 7．帕塞瓦爾（ Parseval）定理 若 則 ( ) DT F T [ ( )]jX e x n? ?π 22 jπ1( ) ( e ) d2 πn x n X?? ??? ? ? ??? ? 上式表明，序列能量具有時域和頻域的一致性。周期序列在時域的相移，其對應的頻譜將會產(chǎn)生頻移。 令 : ( ) ( )zsy n y n?j j j jZS101 e Y ( e ) e X ( e )NMkkkkkkab? ? ? ? ? ?????????????()xn jY (e )ZS ?()zsynjj j j ( 1 ) jj Z S 0 0 1 1 Mj j j ( 1 ) jj 1 1 N1eY ( e ) e e eH ( e )X ( e ) 1 e e e1eMkMMkkMN NNk Nkkbb b b ba a aa??? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ?? ? ?? ? ? ????()jXe? 上式表明， 為離散時間 LTI系統(tǒng)在零狀態(tài)下輸出響應與輸入激勵的頻譜函數(shù)之比，稱為離散系統(tǒng)的頻率響應。 注意 H( )je ? 離散周期序列通過系統(tǒng)響應的頻域分析 ()xn()xn2 π 2 π 2 π11 j j j0011( ) ( ) e ( ) ( e ) eNN n k n n kN N Nzskky n X k T X k HNN?????????????? 由于余弦函數(shù)（可能是周期函數(shù)，也可能是非周期函數(shù)）可以表示為復指數(shù)函數(shù)的線性組合，因此系統(tǒng)的頻率響應也可以表示成系統(tǒng)對余弦輸入的響應 . 設(shè)離散時間 LTI系統(tǒng)的輸入序列 是一個周期為 N周期序列，則根據(jù) DFS可以將周期序列 表示為： 由式（ ）及離散時間 LTI系統(tǒng)的線性特性，可得離散時間 LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應： 21 j01( ) ( ) eN nkNkx n X kN???? ?00jjjj0( ) c o s ( ) e e e e22nnAAx n A n ??? ? ? ??? ? ? ? ?02 jnjA ee? ?00jj j1 ( ) ( e ) e e2nzsAy n H ????00jj j2 ( ) ( e ) e e2nzsAy n H ?? ? ? ???02 jnjA ee? ???()hn由于 為實數(shù)，則系統(tǒng)對 零狀態(tài)響應為 ： 設(shè) 根據(jù)式（ ），系統(tǒng)對 的零狀態(tài)響應為： ()xn0 0 0 0j j j jjj( ) ( e ) e e ( e ) e e2nnzsAy n H H??? ? ? ? ? ????????0j 0( e ) c o s( )A H n ???? ? ? ?0a r g[ ( ) ]jHe? ?? 由上式可知，余弦信號通過頻率響應為 的離散時間 LTI系統(tǒng)時，其輸出的零狀態(tài)響應仍為同頻率的余弦信號 . H( )je ? () 其中， 是系統(tǒng)在頻率 Ω0處的相位響應。 由 DTFT的時域卷積定理，若離散非周期序列 為激勵信號，存在 IDTFT，系統(tǒng)的頻率響應為 ，則 作用 于離散時間 LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應 的頻譜為： ()zsyn31( ) ( 1 ) ( 2 ) 4 ( ) 3 ( 1 )48y n y n y n x n x n? ? ? ? ? ? ?()zsyn 已知描述某穩(wěn)定的離散時間 LTI系統(tǒng)的差分方程為 若系統(tǒng)的輸入序列 ，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應 。 對于單位樣值響應為 的 系統(tǒng)，其系統(tǒng)頻率響應為 離散時間 LTI系統(tǒng)的頻率響應 j j j je ( ) e e ( e )n k n