【正文】 ? ? ?? ? ? ??????? ? ???? ???????? 下面討論序列離散時間傅里葉變換的對稱性，從兩個方面進行分析。 πj j j j j ( )π11( e ) ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) d2 π 2 πpX P X P X?? ??? ? ? ? ??? ? ? ?()ptj 2 π( e ) ( )skPkN ?????? ? ? ??∞∞將 代入上面兩式可得： 這可看作是一個信號的調(diào)制過程，即： 與上一節(jié)沖激序列 的傅里葉變換的推導(dǎo)類似，有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )pkkx n x n p n x n n k N x N k n k N????? ? ? ?? ? ? ? ???∞ ∞∞ ∞2πs N?? 則對應(yīng)的頻域形式為： 離散時間信號抽樣頻譜 ()pxn()xn2()02sjsNHe ???????? ?? ????≤j221( ) e d s in2 π π 2ssn sNh n N nn???????? ? ??????? ? ? ?( ) ( ) * ( ) s inπ 2 srpkNx n x n h n x k N n k N T nn???? ? ??? ??? ? ? ??? ???? ???? ???∞∞? ? ? ?s in ( ) ( )π 2 s rkkNx k N n k N x k N h n k Nn? ? ? ????? ? ? ???????∞ ∞∞ ∞ 在離散時間抽樣序列信號 的頻譜沒有混疊失真的情況下，用一個理想低通濾波器就可恢復(fù)出原信號 ，如下圖所示。頻譜延拓 利用時域卷積性質(zhì)可求其理想抽樣信號 的頻譜 ()axtsf mf2smff≥sf 下圖 在理想抽樣中，為了使平移后的頻譜不產(chǎn)生“混疊”失真，應(yīng)要求抽樣頻率足夠高。 ? ()axt( ) ( )Tp t t??sf()axt 當(dāng) t→0 的極限情況，此時抽樣脈沖序列 變成沖激函數(shù)序列 ，就是理想抽樣情況，下圖為理想抽樣和實際抽樣。 ()ht? ? /21 j j/211( ) ( ) ( ) e d e2 π 2 π ssttah t H H T d????? ? ? ????? ? ? ???∞∞Fπsin sinπ 2 π2 ()π2sassttT StTTttT?????? ? ? ????? 其 中 ，? ? ? ? ? ?πsin ( )d ( )π()aannt n TTx h t n T x n Tt n TT? ? ? ? ??? ? ? ????????? ? ? ? ?????∞ ∞∞∞∞ ∞? ? ? ? ? ??( ) ( ) ( ) ( ) d da a a any t x t x h t x n T h t? ? ? ? ? ? ? ??? ????? ? ? ? ? ????????∞∞ ∞∞ ∞ ∞對應(yīng)理想低通濾波器的沖激響應(yīng) 為： 則理想低通濾波器的輸出為： 上式就是從抽樣信號恢復(fù)原信號的抽樣內(nèi)插公式，說明輸出等于原信號抽樣點的值與內(nèi)插函數(shù)乘積和。 **( ) ( )x n x n? ? ? 若序列滿足： ()xn? ? * j * j j11D TF T R e [ ( ) ] D TF T ( ) ( ) e ) e ) e )22 ex n x n x n X X X? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ????? （ （ （? ? * j * j j11D T F T I m [ ( ) ] D T F T ( ) ( ) e ) e ) e )22 oj x n x n x n X X X? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ????? （ （ （()xn? ? * j * j j11D T F T ( ) D T F T ( ) ( ) e ) e ) R e e )22ex n x n x n X X X? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????? （ （ （? ? * j * j j11D T F T ( ) D T F T ( ) ( ) e ) e ) I m e )22ox n x n x n X X j X? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????? （ （ （ （ 1）對于復(fù)數(shù)序列 ，其實部和虛部的傅里葉變換，有 （ 2）對于復(fù)數(shù)序列 ，其共軛對稱序列和共軛反對稱序列的離散時間傅里葉變換，有 上兩式表明，復(fù)數(shù)序列共軛對稱分量的離散時間傅里葉變換是序列離散時間傅里葉變換的實數(shù)部分，復(fù)數(shù)序列共軛反對稱分量的離散時間傅里葉變換是序列離散時間傅里葉變換的虛數(shù)部分。 對于單位樣值響應(yīng)為 的 系統(tǒng)，其系統(tǒng)頻率響應(yīng)為 離散時間 LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng) j j j je ( ) e e ( e )n k nkh k H?? ? ? ? ???? ? ??∞∞10( ) ( ) ( )NMkkkky n a y n k b x n k??? ? ? ??? 與連續(xù)時間 LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)類似，離散時間 LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)也可以通過差分方程來定義。 注意 H( )je ? 離散周期序列通過系統(tǒng)響應(yīng)的頻域分析 ()xn()xn2 π 2 π 2 π11 j j j0011( ) ( ) e ( ) ( e ) eNN n k n n kN N Nzskky n X k T X k HNN?????????????? 由于余弦函數(shù)（可能是周期函數(shù)，也可能是非周期函數(shù)）可以表示為復(fù)指數(shù)函數(shù)的線性組合，因此系統(tǒng)的頻率響應(yīng)也可以表示成系統(tǒng)對余弦輸入的響應(yīng) . 設(shè)離散時間 LTI系統(tǒng)的輸入序列 是一個周期為 N周期序列，則根據(jù) DFS可以將周期序列 表示為： 由式（ ）及離散時間 LTI系統(tǒng)的線性特性，可得離散時間 LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)： 21 j01( ) ( ) eN nkNkx n X kN???? ?00jjjj0( ) c o s ( ) e e e e22nnAAx n A n ??? ? ? ??? ? ? ? ?02 jnjA ee? ?00jj j1 ( ) ( e ) e e2nzsAy n H ????00jj j2 ( ) ( e ) e e2nzsAy n H ?? ? ? ???02 jnjA ee? ???()hn由于 為實數(shù)，則系統(tǒng)對 零狀態(tài)響應(yīng)為 ： 設(shè) 根據(jù)式（ ），系統(tǒng)對 的零狀態(tài)響應(yīng)為： ()xn0 0 0 0j j j jjj( ) ( e ) e e ( e ) e e2nnzsAy n H H??? ? ? ? ? ????????0j 0( e ) c o s( )A H n ???? ? ? ?0a r g[ ( ) ]jHe? ?? 由上式可知，余弦信號通過頻率響應(yīng)為 的離散時間 LTI系統(tǒng)時，其輸出的零狀態(tài)響應(yīng)仍為同頻率的余弦信號 . H( )je ? () 其中， 是系統(tǒng)在頻率 Ω0處的相位響應(yīng)。周期序列在時域的相移，其對應(yīng)的頻譜將會產(chǎn)生頻移。 設(shè)