信號(hào)與系統(tǒng)chappt課件-閱讀頁(yè)
2025-01-29 07:23本頁(yè)面
【正文】 得到周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)變換對(duì)的常用表示法： ()Xk2 π1 j0( ) ( ) eN knNnX k x n k? ??? ? ? ?? ∞ ∞2 πje NNW??2101( ) ( )N j n kNkx n X k eN???? ?()xn10( ) D F S [ ( ) ] ( ) ,N knNnX k x n x n W k??? ? ? ? ?? ∞ ∞101( ) I D F S [ ( ) ] ( ),N knNnx n X k X k W kN ? ??? ? ? ? ?? ∞ ∞ n和 k均為離散變量。第二式表示的是頻域到時(shí)域的變換，稱為 DFS的反變換。 解 : 故幅頻特性為： πj42 π π73 4j j8 4πj0041e( ) ( ) e ( ) e1kkn knknnX k x n x ne??? ?????? ? ????π π πj j j 3 π2 2 2 j8π π πj j j8 8 8πsine ( e e )2eπsine ( e e )8k k kkk k kkk?????????s in2()s in8kXkk??? 離散傅里葉級(jí)數(shù)的性質(zhì) 1．線性特性 1()xn 2()xn1 1 2 2( ) D F S [ x ( n) ] , ( ) D F S [ ( ) ]X k X k x n??若 3 1 1 2 2( ) ( ) ( )x n a x n a x n??3 1 1 2 2 1 1 2 2( ) D F S [ ( ) ( ) ] ( ) ( )X k a x n a x n a X k a X k? ? ? ?則 設(shè)周期序列 和 都是周期為 N的周期序列，它們的 DFS的系數(shù)分別為 周期序列 的波形及幅頻特性 如下圖所示 ()xn ()Xk周期序列 的波形圖 ()xn 幅頻特性 ()Xk2．時(shí)移特性和頻域特性 ( ) DF S [x( n)]Xk ?D F S [ ( ) ] ( )mkNx n m W X k??[ ( ) ] ( )mnNDF S W x n X k m?? 上面兩式表明，周期序列在時(shí)域中的位移，其對(duì)應(yīng)的頻譜將會(huì)產(chǎn)生附加相移。 設(shè) 則 3．周期卷積特性 設(shè)周期序列 和 都是周期為 N的周期序列，它們的 DFS的系數(shù)分別為 1()xn 2()xn111 1 2 200( ) x ( ) , ( ) x ( )NNm k r kNNmrX k m W X k r W????????設(shè) 12( ) ( ) ( )Y k X k X k??則 11 2 1 20( ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) * ( )Nmy n I D F S Y k x m x n m x n x n??? ? ? ? ?? 上式表示的是兩個(gè)周期序列的卷積，稱為周期卷積。周期卷積滿足交換律，故又可表示為 。 ~~121 ( ) * ( )X n X nN? 離散時(shí)間 LTI系統(tǒng)的頻域分析 ()hn( ) ( )j j nnH e h n e?? ? ???? ?∞∞ 與連續(xù)時(shí)間 LTI系統(tǒng)類(lèi)似，離散時(shí)間 LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)就是系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)的傅里葉變換，即 DTFT。 離散時(shí)間 LTI系統(tǒng)在時(shí)域可以用 n階常系數(shù)線性差分方程來(lái)描述，即： 則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為 j ( )( ) ( ) ( ) ( ) e nkzskky n h k x n k h k????? ? ? ?? ? ???∞ ∞∞ ∞ 在零狀態(tài)條件下， 對(duì)上式兩邊進(jìn)行離散時(shí)間傅里葉變換，并利用離散時(shí)間傅里葉變換的時(shí)域位移特性，可得 其中 為輸入信號(hào) 的離散時(shí)間傅里葉變換， 為零狀態(tài)響應(yīng) 的離散時(shí)間傅里葉變換，它們分別反映輸入信號(hào)與輸出信號(hào)的頻率特性。 H( )je ? 與連續(xù)時(shí)間情況相同，在離散時(shí)間 LTI系統(tǒng)分析中，頻率響應(yīng) 所起的作用與其原信號(hào) ── 單位脈沖響應(yīng) 的起的作用是等價(jià)的。 H ( )je ?()hn 由 DTFT的時(shí)域位移特性，對(duì)差分方程兩邊時(shí)行 DTFT，可得： j j 2 j j j31( 1 e e ) ( e ) ( 4 3 e ) ( e )48 ZSYX? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?j jj ZSjj j 2 j jY ( e ) 4 3 e 20 16H ( e )3 1 1 1X ( e ) 1 e e 1 e 1 e4 8 2 4? ????? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 只有當(dāng)離散系統(tǒng)是 LTI系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的 和 之間是離散時(shí)間傅里葉變換對(duì)的關(guān)系。 H( )je ? ()hn因此有： 對(duì)上式進(jìn)行 IDTFT，即得： 11( ) 2 0 ( ) ( ) 1 6 ( ) ( )24nnh n u n u n??解： 離散非周期序列通過(guò)系統(tǒng)的頻域分析 ()zsynH( )je ? ()xn()xn()zsynj j j( e ) ( e ) ( e )ZSY X H? ? ?? () 設(shè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)情況相同，求解離散非周期序列通過(guò)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的一般思路是：通過(guò)卷積性質(zhì)求得輸出序列 的頻譜，然后對(duì)該頻譜作反變換求得時(shí)域解 。 3( ) ( )4nx n u n??? ???? 由 DTFT的時(shí)移特性，對(duì)差分方程兩邊時(shí)行 DFTF，可得 則 j j 2 j j j31( 1 e e ) ( e ) ( 4 3 e ) ( e )48 ZSYX? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?jj j jZSj j 2 j4 3 e 1Y ( e ) H ( e ) X ( e )3 1 31 e e 1 e4 8 4??? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ?? ? ?jjjjj j j4 3 e 1 8 40 361 1 31 1 3 1 e 1 e 1 e1 e 1 e 1 e4244 2 4??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?j jj ZSjj j 2Y ( e ) 4 3 eH ( e )31X ( e ) 1 e e48? ????? ? ? ?????? 解： 對(duì)上式進(jìn)行 IDTFT，即得 1 1 3( ) 8 ( ) 4 0 ( ) 3 6 ( )4 2 4n n nzsy n u n u n u n? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 只有離散時(shí)間 LTI系統(tǒng)頻率響應(yīng) 以及輸入序列的 DTFT都存在，才可以通過(guò)頻域求解離散時(shí)間 LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。 因此，系統(tǒng)對(duì) 零狀態(tài)響應(yīng)為 設(shè)一個(gè)因果的線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)為： 1( ) 2 ( ) ( )2nh n u n n???? ? ?????（ 3）求系統(tǒng)對(duì)輸入為 的零狀態(tài)響
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