【正文】 xx NiNiiNi ???當 i = 1 021 ?? 11 NN Fx ??? 21121 tFxNN ?當 1?i 解為： ? ???? tiiNiiNiNi tFdtFx0 21 )c os1()(s i n1 ??????mkmkmk )22(2)22(0 24232221 ?????? ???? ，，? ? ? ?TTNNNNN mFFFFF 01014321 ??F?????????????????????????????02/)c o s1(0324321ktmtmFxxxxNNNNN?X矩陣形式： 多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的受迫振動 ?????????????????????????????02/)c o s1(0324321ktmtmFxxxxNNNNN?XNN XΦX ?原系統(tǒng)響應： ???????????????????????kmttkmttkmttkmttmF/)c o s1(/)c o s1(/)c o s1(/)c o s1(432323232????多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的受迫振動 教學內(nèi)容 ? 多自由度系統(tǒng)的動力學方程 ? 多自由度系統(tǒng)的自由振動 ? 頻率方程的零根和重根情形 ? 多自由度系統(tǒng)的受迫振動 ? 有阻尼的多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)振動 ? 有阻尼的多自由度系統(tǒng) ? 多自由度系統(tǒng)的阻尼 ? 一般粘性阻尼系統(tǒng)的響應 多自由度系統(tǒng)振動 / 有阻尼的多自由度系統(tǒng) ? 多自由度系統(tǒng)的阻尼 ? 任何實際的機械系統(tǒng)都不可避免的存在著阻尼因素 材料的結(jié)構(gòu)阻尼，介質(zhì)的粘性阻尼等 ? 由于各種阻尼力機理復雜，難以給出恰當?shù)臄?shù)學表達。 ? 在阻尼力較小時，或激勵遠離系統(tǒng)的固有頻率時，可以忽略阻尼力的存在，近似地當作無阻尼系統(tǒng)。 ? 當激勵的頻率接近系統(tǒng)的固有頻率，激勵時間又不是很短暫的情況下，阻尼的影響是不能忽略的。 ? 一般情況下，可將各種類型的阻尼化作等效粘性阻尼。 多自由度系統(tǒng)振動 / 有阻尼的多自由度系統(tǒng) 有阻尼的 n 自由度系統(tǒng)的強迫振動方程為： )( tFKXXCXM ??? ??? nR?X阻尼矩陣 元素 cij 阻尼影響系數(shù) 物理意義：是使系統(tǒng)僅在第 j 個廣義坐標上產(chǎn)生單位速度而相應于第 i 個坐標上所需施加的力 阻尼力為廣義速度的線性函數(shù) 表示為： jnjijdi xcQ ?????1阻尼矩陣一般是正定或半正定的對稱矩陣 多自由度系統(tǒng)振動 / 有阻尼的多自由度系統(tǒng) 有阻尼的 n 自由度系統(tǒng)的強迫振動方程為： )( tFKXXCXM ??? ??? nR?XΦ Λ假定已經(jīng)得到無阻尼系統(tǒng)下的模態(tài)矩陣 及譜矩陣 做坐標變換： ΦYX ?)( tY TTTT FΦK ΦΦYC ΦΦYM ΦΦ ??? ???有： 即： )( tppp QYKYCYM ??? ???C ΦΦC Tp ?其中： 模態(tài)阻尼矩陣 雖然主質(zhì)量矩陣與主剛度矩陣是對角陣，但阻尼矩陣一般非對角陣，因而主坐標 Y下的強迫振動方程仍然存在耦合。 多自由度系統(tǒng)振動 / 有阻尼的多自由度系統(tǒng) ?????????????111102111Φ???????????00000000cC????????????????cccccccccTP C ΦΦC???????????mmm000000M???????????mmmT300020006M ΦΦ???????????????kkkkkkk30203K???????????kkkT1200060006K ΦΦ 非對角 例如：三自由度系統(tǒng) c 2k m m m k 2k k x1 x2 x3 多自由度系統(tǒng)振動 / 有阻尼的多自由度系統(tǒng) 若 非對角，則前面在無阻尼系統(tǒng)中介紹的主坐標方法或正則坐標方法都不再適用，振動分析將變得十分復雜。 PC為了能沿用無阻尼系統(tǒng)中的分析方法，工程中常采用下列近似處理方法 。 ???????????pnpPcc?1C(1) 忽略 矩陣中的全部非對角元素 PC第 i 階主振型的阻尼系數(shù) Pic第 i 階振型阻尼或模態(tài)阻尼 )( tFKXXCXM ??? ??? nR?XnitQykycym iPiPiiPi ~1),( ???? ???做變換： ΦYX ?n 自由度系統(tǒng)： iiPiPi mc ??2/ ?令： )(12 2 tQmyyy iPiiiiiii ??? ??? ???i?第 i 階振型阻尼比或模態(tài)阻尼比 多自由度系統(tǒng)振動 / 有阻尼的多自由度系統(tǒng) （ 2） 將矩陣 C 假設為比例阻尼 假定 C 有下列形式： KMC ba ?? a, b：為常數(shù) 代入 C ΦΦCTp ?中 ppTp baba KMΦKMΦC ???? )(對角陣 )(2122 iipiipipipiipii bambkammc ????? ?????相對阻尼系數(shù)： （ 3）由實驗測定 n 階振型阻尼系數(shù) i? )~1( ni ?多自由度系統(tǒng)振動 / 有阻尼的多自由度系統(tǒng) ? 一般粘性阻尼系統(tǒng)的響應 ? 當阻尼矩陣 C 不允許忽略非對角元素，以上近似方法不成立 ? 須用 復模態(tài) 進行求解 )( tFKXXCXM ??? ??? nR?Xn 自由度系統(tǒng)： 設有特解： te ?φ?X特征值問題： 0KCM ??? φ)( 2 ??φ 有非零解的充要條件 ： 02 ??? KCM ??一般粘性阻尼系統(tǒng)的特征方程 n221 ??? ，， ?2n 個特征值： 多自由度系統(tǒng)振動 / 有阻尼的多自由度系統(tǒng) 實數(shù)或復數(shù) 02 ??? KCM ??一般粘性阻尼系統(tǒng)的特征方程 : n221 ??? ，， ?2n 個特征值： 實數(shù)或復數(shù) 因為特征方程的系數(shù)都是實的 所以特征值為復數(shù)時，必定以共軛形式成對出現(xiàn) 。 相應地，特征向量也是共軛成對的復向量 復模態(tài) 或 復振型 這是一種具有相位關系的振型，不再具有原來主振型的意義。 當特征值為具有負實部的復數(shù)時，每一對這樣的共軛特征值對應系統(tǒng)中具有特定的頻率和衰減系數(shù)的自由衰減振動 。 相對應， 2n 個特征向量 : )2()2()1( nφφφ ，， ? )( 1)( ?? ni Rφ多自由度系統(tǒng)振動 / 有阻尼的多自由度系統(tǒng) )( tFKXXCXM ??? ??? nR?Xn 自由度系統(tǒng)： 補充下列方程 ： 0XMXM ?? ??有 ： )(??? tFYKYM ???其中 ： nR 2????????XXY ?nnR 22? ?????????CMM0M nnR 22? ?????????? K0 0MK12)()(? ????????? nRtt F0F討論自由振動 00 XX ?，初始條件： 0YKYM ?? ?? ?方程： 代入以下形式的解： te?ψY ?得特征值問題： 0ψMK ?? )??( ?)( 12 ?? nRψ多自由度系統(tǒng)振動 / 有阻尼的多自由度系統(tǒng) 0YKYM ?? ?? ?方程： 特解： te?ψY ?特征值問題： 0ψMK ?? )??( ?0KXXCXM ??? ??? nR?X方程： 特解： te ?φ?X特征值問題： 0KCM ??? φ)( 2 ??nR 2????????XXY ?ψ φ與 之間關系： ???????φφ?ψ)( 12 ?? nRψ)( 1?? nRφ多自由度系統(tǒng)振動 / 有阻尼的多自由度系統(tǒng) 0YKYM ?? ?? ?方程： nR2?Y特征值問題： 0ψMK ?? )()??( ii?piijjTi m?? )()( ??ψMψpiijjTi k?? )()( ??ψKψ可得正交性條件： nimk piipi 2~1?/? ????特征值： 0MK ?? )(2 )( ii φ?與無阻尼系統(tǒng)特征值問題 形式相同 ??????? CMM0M????????? K0 0MK?對稱矩陣 又因： )( 12)( ?? ni Rψ多自由度系統(tǒng)振動 / 有阻尼的多自由度系統(tǒng) 0YKYM ?? ?? ?方程： nR2?Y特征值問題： 0ψMK ?? )()??( ii?正交性 nimk piipi 2~1?/? ????特征值： 相對應， 2n 個特征向量 : )2()2()1( nψψψ ，， ? )( 12)( ?? ni Rψ組成矩陣： nnn R 22)2()2()1( ][ ??? ψψψΨ ，， ?正交性： nnpT R 22?? ??? MΨMΨ nnpT R 22?? ??? KΨKΨ)??(? )2(1 nppp mmd i a g ， ??M )??(?)2(1 nppp kkd i a g ， ??KpiijjTi m?? )()( ??ψMψpiijjTi k?? )()( ??ψKψ復特征值列為對角陣： nnn Rd i a g 2221 )( ??? ?? ， ?Λ多自由度系統(tǒng)振動 / 有阻尼的多自由度系統(tǒng) 0YKYM ?? ?? ? nR2?Y)( 12)( ?? ni Rψ nnn R 22)2()2()1( ][ ??? ψψψΨ ，， ?nnpT R 22?? ??? MΨMΨ nnpT R 22?? ??? KΨKΨnnn Rd i a g 2221 )( ??? ?? ， ?Λ)( tFKXXCXM ??? ??? nR?Xn 自由度系統(tǒng)： te?φ?X 0KCM ??? φ)( 2 ??n221 ??? ，， ?2n 個特征值： 2n 個特征向量 : )2()2()1( nφφφ ，， ? )( 1)( ?? ni Rφ組成矩陣： nnn R 2)2()2()1( ][ ??? φφφ ，， ?Φ多自由度系統(tǒng)振動 / 有阻尼的多自由度系統(tǒng) 0YKYM ?? ?? ? nR2?Y)( 12)( ?? ni Rψ nnn R 22)2()2()1( ][ ??? ψψψΨ ，， ?nnn Rd i a g 2221 )( ??? ?? ， ?Λ)( tFKXXCXM ??? ??? nR?X)( 1)( ?? ni Rφψ φ與 之間關系： ???????φφ?ψnnn R 2)2()2()1( ][ ??? φφφ ，， ?Φ???????ΦΦΛΨΨ Φ與 之間關系： 多自由度系統(tǒng)振動 / 有阻尼的多自由度系統(tǒng) 0KXXCXM ??? ??? nR?Xn 自由度系統(tǒng)： 補充下列方程 ： 0XMXM ?? ??有 ： 0YKYM ?? ?? ? nR 2???????? XXY?00 XX ?，作變換 ： ΨZY ? ???????ΦΦΛΨ得 ： 0ΨZKΨZΨMΨ ?? ?? TT ?piijjTi m?? )()( ??ψMψpiijjTi k?? )()( ??ψKψnizkzm iipiip 2~10?? ??? ，?0?? iii zz ??tii ieztz ?)0()( ?初始條件： )0()0( 1YΨZ ?? 可求得 )2~1( nizi ?即 Z 利用 ΨZY ? 得 Y