【正文】 例如，柔性航天結(jié)構(gòu) 下面討論如何求出系統(tǒng)固有頻率出現(xiàn)重根時(shí)的相互正交的主振型問(wèn)題 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 頻率方程的零根和重根情形 假使 是 r 重根 21? 22221 r??? ??? ?即有： 其余的 都是單根 221 , nr ?? ??0MK ?? φ)( 21?212 ?? ?將 代入特征值問(wèn)題表達(dá)式： ][ 21 MK ??特征矩陣 的秩： rnr a n k ??? ][ 21 MK ?即： n 個(gè)方程中只有 n r 個(gè)是獨(dú)立的 例如當(dāng) 是單根時(shí)， r=1 21? n 個(gè)方程中只有 n – 1 個(gè)是獨(dú)立的 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 頻率方程的零根和重根情形 即 r = 2 為簡(jiǎn)單計(jì)，令： 21 ?? ?1?則計(jì)算 對(duì)應(yīng)的模態(tài)時(shí)， 中有 2個(gè)是不獨(dú)立的方程 0MK ?? φ)( 21?將 的最后兩個(gè)元素 的有關(guān)項(xiàng)移至等號(hào)右端 ： φnn ?? 、1???????????????????????????????????????????????nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnmkmkmkmkmkmkmkmk????????????????)()( ))( )()( )()(,221,211,2211,222,2212,211,2211,2,121,111,121,122,1212,11112111???0MK ?? φ)( 21?任意給定 兩組線性獨(dú)立的值 )1()1(1 nn ?? 、? )2()2( 1 nn ?? 、?和 nn ?? 、1?例如： ????????????? ? 01)1()1(1nn??????????????? ? 10)2()2(1nn??可解出其余 n–2個(gè) （ i=1~n2， j=1,2） 的兩組解 )( ji? )2()1(ii φφ 、多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 頻率方程的零根和重根情形 ????????????? ?01)1()1(1nn??????????????? ?10)2()2(1nn?? )2()1( ii φφ 、第 第 2 階模態(tài) ： ???????TnTn]10[]01[)2(2)2(2)2(1)2()1(2)1(2)1(1)1(????????φφ（不是唯一的） 為保證它們之間滿足正交性條件 （不正交） 令： )1()2()2( φφφ c????????????????????????????????????????????????nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnmkmkmkmkmkmkmkmk????????????????)()( ))( )()( )()(,221,211,2211,222,2212,211,2211,2,121,111,121,122,1212,11112111???)2(φ 也是如下方程的解： 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 頻率方程的零根和重根情形 要正交，需滿足： )2()1( φφ 、 0)2()1( ?φφ MT0)( )1()2()1( ?? φφφ cT M即： 解得待定系數(shù) c 為： )2()1(1)1()1()2()1( 1φφφφ φφ MMM TpTTmc ????c 得到后，即可得到相互正交的 )2()1( φφ 、多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 頻率方程的零根和重根情形 ????????????? ?01)1()1(1nn??????????????? ?10)2()2(1nn?? )2()1( ii φφ 、第 第 2 階模態(tài) ： ???????TnTn]10[]01[)2(2)2(2)2(1)2()1(2)1(2)1(1)1(????????φφ（不是唯一的） 為保證它們之間滿足正交性條件 （不正交） 令： )1()2()2( φφφ c??相互正交 )2()1( φφ 、又分別與 相互正交 )2()1( φφ 、 )~3()( njj ?φ ？ 模態(tài)矩陣： nnn R ??? ],[ )()3()2()1( φφφφ ?Φ可使質(zhì)量矩陣及剛度矩陣同時(shí)對(duì)角化 pT MM ΦΦ ? pT KK ΦΦ ?即： 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 頻率方程的零根和重根情形 例：四自由度系統(tǒng) 求：系統(tǒng)模態(tài)矩陣 x1 m m m m k k k k k k k k k x2 x3 x4 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 頻率方程的零根和重根情形 解： 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程： 0KXXM ?????????????????mmmm000000000000M???????????????????????kkkkkkkkkkkkkk304034K?????????????4321xxxxXmk?21? mk322 ?? mk52423 ?? ??21 ??、對(duì)應(yīng)于 的主振型： T]1111[)1( ?φ T]1010[)2( ??φ02 ?? MK ?由 0MK ?? φ)( 2?由 x1 m m m m k k k k k k k k k x2 x3 x4 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 頻率方程的零根和重根情形 mk52423 ?? ??對(duì)于 得到： 0MK ?? φ)( 2?代入 ???????????????????????????????????????????????????000021011111012111114321????第 3 個(gè)方程顯然不獨(dú)立，第四個(gè)方程可由第一個(gè)方程乘以 2 再減去第二個(gè)方程得到，故也不獨(dú)立 劃去后兩個(gè)方程，將前兩個(gè)方程寫為： ???????????????????????????????????????00011121114321???????????????? ???????????????????????????????????? ?4343121102101112111??????解得： ?????????????????? ???????????????43432110011021??????則有： 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 頻率方程的零根和重根情形 ?????????????????? ???????????????43432110011021??????T]1111[)1( ?φ T]1010[)2( ??φ)3(φ )4(φ對(duì)應(yīng) 2423 ?? ? 的主振型 不難驗(yàn)證 都關(guān)于 M 和 K 相互正交 )3(φ )4(φ)1(φ )2(φ但 、 之間不正交 )3(φ )4(φ 02)4()3( ?? mT φφ M010)4()3( ?? kT φφ K)4()3( φφ 、 )4()3( φφ 、為從 得到相互正交的 )3()3( φφ ?選取 )4()3()4()3()4( φφφφφ ???? cc并令 MT)3(φ左乘 133)4()3(???? φφ φφ MMTTc解得： T]1111[)4()3()4( ?????? φφφ于是，有： 0)4()3( ?φφ MT（注： ） 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 頻率方程的零根和重根情形 ? ???????????????????1011110110111101)4()3()2()1( φφφφΦ?????????????mmmmT4000020000200004M ΦΦ?????????????kkkkT202200100000600004K ΦΦ模態(tài)矩陣： 可以驗(yàn)證，有： T]1111[)1( ?φ T]1010[)2( ??φT]1111[)4( ???φT]0101[)3( ??φ多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 頻率方程的零根和重根情形 教學(xué)內(nèi)容 ? 多自由度系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程 ? 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) ? 頻率方程的零根和重根情形 ? 多自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng) ? 有阻尼的多自由度系統(tǒng) 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) ? 多自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng) ? 系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的響應(yīng) ? 動(dòng)力吸振器 ? 模態(tài)疊加法 ? 系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)力的響應(yīng) 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng) 回顧： 單自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng) ? 系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的響應(yīng) tieFkxxcxm ?0??? ???tF ?cos0x 為復(fù)數(shù)變量，分別與 和 相對(duì)應(yīng) tF ?sin0設(shè)： tiexx ??0)( FHx ????? icmkH ??? 21)(復(fù)頻響應(yīng)函數(shù) kmc2??引入： 0???s???? ieksssisk??????? 1])2()1(21[12222222 )2()1(1)(sss?????2112)(sstgs??? ??)(0 ??? ?? tiekFx系統(tǒng)響應(yīng)： 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng) ? 系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧力激勵(lì)的響應(yīng) 多自由度系統(tǒng)受到外力激勵(lì)所產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)為 受迫運(yùn)動(dòng) 設(shè) n 自由度系統(tǒng)沿各個(gè)廣義坐標(biāo)均受到頻率和相位相同的廣義簡(jiǎn)諧力的激勵(lì) 系統(tǒng)受迫振動(dòng)方程： tie ?0FKXXM ????nR?XnnR ??KM ，nR?0FTnFFF ][ 002022 ???F實(shí)部和虛部分別為余弦或正旋激勵(lì)的響應(yīng) ? 為激勵(lì)頻率 0F 為廣義激勵(lì)力的幅值列陣 X 為復(fù)數(shù)列陣 多自由度系統(tǒng)振動(dòng) / 多自由度系統(tǒng)的受迫振動(dòng) 系統(tǒng)受迫振動(dòng)方程：