【正文】 6 .0 2 0rr? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?112 1 0 11 154 2 0 7 304 8 3 0 10 0r? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?； .000206338402401221 ??????????????????????????r把它們分別代入 ()，并注意 ，就可得到： 2?in.202206)307(03)1511(0)(2 ???????????? xxxxxxxexeeeexeexx?把以上結果代入 ()式，可得到一個基解矩陣 通解為： 21 2 30 11 15 3( ) 0 7 30 61 10 0 20x x xxy x C C e C x e C ex? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?是任意常數(shù)。和，其中 321 CCCC.942105520225ydxdy???????? ?例 求解方程組 21 2 3d e t( ) ( 5 ) ( 4 5 ) , 5 , 2A E i? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，由 此 得 到 一 個 基 解 矩 陣 ：解： ????????????????xixixxixixixixeeeeieieieiex)2()2(5)2()2()2()2(522)2()2(0)3()3(2)(?????????????????xixixxixixixixxexeeexxexxexxexxex)2()2(5)2()2()2()2(5s i n2c o s2)s i n2c o s()s i nc o s2(0)s i n3(c o s)s i nc o s3(2)(~?()第 二 或 三 列 取 實 , 虛 部 ， 與 第 一 列 合 并 , 得 一 個 實 基 解 矩 陣 ：,)(~ Cxy ??通解為： C為三維的任意常數(shù)列向量。 021120132)0(~d e t??可直接驗證下式不等于零： .200110022ydxdy?????????例 求解方程組 ,2 33 ydxdy ?解： 由第三個方程 ,2122 xeCydxdy ??把 y3 代入到第二個方程，得到： ,213 xeCy ?.31 2122 xx eCeCy ?? 將 y2代入第一個方程，得到： ,22 2132211 xx eCeCydxdy ??? 2 21 3 232213xxxy C e C eC x e??方程組的通解 ： ,00101123322231321xxx eCeCexCy??????????????????? ???????????? 是任意常數(shù)。和，其中 321 CCC第三節(jié) 高階線性微分方程 ),()()()( 1)1(1)( xfyxayxayxay nnnn ?????? ? () 僅含一個未知函數(shù) y=y(x)的 n階線性微分方程： 1 ( ) , , ( ) ( )( ) 0na x a x f x a x bfx??? 其 中 和 都 是 區(qū) 間 : 上 的 連 續(xù) 函 數(shù) 。非 齊 次 線 性 微 分 方 程 ； 相 應 的 齊 次 線 性 微 分 方 程I,0)()()( 1)1(1)( ?????? yxayxayxay nnnn ? () ( 1 )12 , , , nny y y y y y ?? ? ? () 引入 ),()( xfyxAdxdy ?? () 則方程 ()等價于一階線性微分方程組 ??????????????????????????)(000)(,21xfxfyyyyn???。)()()()(100001000010)(121 ????????????? xaxaxaxaxAnnn ?????????????????????????????????????????????)(000)(,21xfxfyyyyn???),()( xfyxAdxdy ?? () *** 微分方程 ()滿足初值條件 ,)(,)(,)( )1(00)1(0000 ????? nn yxyyxyyxy ?上存在而且唯一。的解在區(qū)間 bxa ?? () .)( yxAdxdy ?() 齊次方程 12 ( ) , ( ) , , ( ) ( 3 . 4 6 )( 3 . 4 2 ) ( 3 . 4 3 ) ( 3 . 4 5 )nx x xnnj j j設 函 數(shù) 組 ：為 的 個 解 。 由 式 得 到 的 個 相 應 解 ：.)()()(,)()()(,)()()()1()1(222)1(111??????????????????????????????????????? xxxxxxxxxnnnnnn jjjjjjjjj???? () Wronsky 行列式 )()()()()()()()()()()1()1(2)1(12121xxxxxxxxxxWnnnnnn????jjjjjjjjj?????????????????() 高階線性微分方程的一般理論 ,0)()()( 1)1(1)( ?????? yxayxayxay nnnn ? () 12( 1 ), nny y y yyy ????() 10 ()10( ) ( ) , ( ) ( ) ,x a s d sxtr A x a x W x W x e a x b ?? ? ? ? ?對于 () ,0)()()( 1)1(1)( ?????? yxayxayxay nnnn ? () 1 1 2 2121. )( ) ( ) ( ), , ,3. ( ) 0 ,nnnny C x C x C xC C CW x a x bj j j? ? ? ?? ? ? ? ?注 ： （ 的 個 線 性 無 關 解 一 個 基 本 解 組2. 一 個 基 本 解 組 構 成 通 解 ：任 意 常 數(shù)一 個 解 組 是 線 性 無 關 的 （ 即 基 本 解 組 ）( ) ( ) ( ) 0y x y p x y q x yj ?? ?? ? ? ?例 設 是() ( ) , ( ) , . ( 3 .5 0 )p x q x C a x b? ? ? ?的 一 個 非 零 解 ， 則 方 程 的 通 解()1 2 1 221( ) [ ] ,()p x d sy x C C e d x C C Rxj j ?? ? ?? ，() ( ) ( 0)y y x?證 明 ： 設 是 的 任 一 解 ， 由 劉 維 爾 公 式 ():() 0)p x d xy C e Cyjj ????? ,( .)(???? dxxpCeyy jj()221 p x d xd y C edxj j j?? ??? ????以 上 式 :積分可得出 () 證明： ( 1 ) ( ) ( 7 )x? 取 的 基 解 矩 陣 由 向 量 函 數(shù) 組 作 為 列 向 量 組 成00012111* * ( ) 0* * ( )()( ) ( )0()* * ( ) ()()( ) ( )**()()()**xxxxnnxxnWsWsxs f s ds dsWsWs fsWsxxfsdsWsWs??jj?? ???? ??????? ??????????????????????????? ?????即得結論 *1 1 1( ) ( ) ( ) , , ,n n ny C x C x x C C Rj j j? ? ? ? ? ?() ???? ? xx knk k dssfsW sWxx 0 )()( )()()( 1* jj () 17 ( ) , , ( ) ( 3 . 4 2 )( 3 . 4 1 )nx x a x bjj ??定 理 設 是 齊 次 方 程 在 區(qū) 間 上 的一 個 基 本 解 組 ， 則 非 齊 次 方 程 的 通 解 為列元素的代數(shù)余字式。行中第是而行列式，的是的一個特解，是knxWxWW r o n s k yxxxWkn)()( )(,),()()( 1 jj ?其中 )()()( xfyxqyxpy ?????? () 例 若已知二階線性微分方程 試求它的通解。，與線性無關的特解的相應齊次方程的二個 )()( 21 xyxy jj ??解 直接由公式 ()和 ()得通解為： ,)()()()()( )()()()()()( 0122121212211 dssfsssssxxsxCxCy xx? ????? jjjjjjjjjj () 12,C C R??也可以用常數(shù)變易法推導 ()式。 ),()( 2211 xCxCy jj ??與 ()相對應的齊次方程的通解為： ),()()()( 2211 xxCxxCy jj ?? () 假設 ()也有如上形式的解： ).()()()()()()()( 22112211 xxCxxCxxCxxCy jjjj ???? ?????求導得： ,0)()()()( 2211 ?? ?? xxCxxC jj () 在上式中令： ).()()()( 2211 xxCxxCy ?? ??? jj () 則有 )()()()()( 2211 xfxxCxxC ?? ???? jj () 再次求導后，由 ()可以推出： .)( )()()(,)( )()()( 1221 xW xfxxCxW xfxxC jj ?? ??聯(lián)立式 ()和 ()，可以解出 積分上式，再代回到 ()式中，整理后就得到 ()式。 ).()()()()()()()( 22112211 xxCxxCxxCxxCy jjjj ???? ?????求導得： 常系數(shù)高階線性微分方程 () () ),(1)1(1)( xfyayayay nnnn ?????? ?,01)1(1)( ?????? yayayay nnnn ?N 階線性常系數(shù)微分方程 相應的齊次線性方程 1 , , ( )na a f x a x b? ? ? ?R ； 是 區(qū) 間 上 的 實 值 連 續(xù) 函 數(shù) 。0 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 0 11 2 2 1, Aa a a a an nndyAydx? ?????????() () 化成方程組： 1 0 0 00 1 0 01de t ( ) 0110 0 0 11 2 2 1nnE A a a a