【正文】 沿著平 221( , ) ( )2V x y x y??面自治系統(tǒng) 33dxx y x ydtdyxydt???????? ? ? ???（ ） 的全導數(shù)。 目錄 上頁 下頁 返回 結束 解 利用公式（ ）得此函數(shù) 沿著系統(tǒng) V()得全導數(shù)為 ( 6 . 3 . 3 )d V V d x V d yd t x d t y d t??????332 2 3 4( ) ( )x x y x y y x yx x y x y x y y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例 利用 李亞普諾夫穩(wěn)定型準則 判定下面 系統(tǒng)的零解的穩(wěn)定性態(tài)。 3223( 1 )2dxx x ydtdyx y ydt?? ? ????? ? ? ???解 對于系統(tǒng)（ 1）， 構造李亞普諾夫函數(shù) 221( , )2V x y x y?? 目錄 上頁 下頁 返回 結束 則 是正定的且 ( , )V x y3 2 2 3( 1 )2 ( ) ( 2 )dV x x x y y x y ydt? ? ? ? ? ?442 xy? ? ?是 定負的 。所以由定理 （ 1）的零解 是 漸近穩(wěn)定的 。 目錄 上頁 下頁 返回 結束 332 2 3( 2 )2 4 2dxxydtdyx y x y ydt??????? ? ? ???對于系統(tǒng)（ 2），構造如（ 1）中的 函數(shù)則 V4 2 2 4 2 2 2( 3 )2 4 2 2 ( )dV x x y y x ydt? ? ? ? ?顯然 在原點鄰域是定正的，而 (3)dVdt( , )V x y 目錄 上頁 下頁 返回 結束 在原點任何鄰域有大于零的點（其實也是定正 函數(shù)），所以由定理 （ 3）的零解是 不穩(wěn)定的。 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例 構造二次型 函數(shù)證明系統(tǒng) V22dxx x ydtdyy x ydt?? ? ????? ? ? ???（ ） 的零解是漸近穩(wěn)定的。 證明 取如定理 函數(shù) V22( , )V x y a x b x y c y? ? ? 目錄 上頁 下頁 返回 結束 則 2( 6 . 3 . 8 )( 2 ) ( )dV a x b y x x ydt? ? ? ?2 2 2[ 2 ( )a x x y? ? ?2( 2 ) ( )bx c y y y x? ? ? ?2 2 22 ( ) ]c y x y??顯然若取 ，則 ， 0 , 0 , 0bac? ? ? 240ac b?? 目錄 上頁 下頁 返回 結束 因而 定正，且定負 ， ( , )V x y( 6. 3. 8 )dVdt故系統(tǒng)（ ）的零解是 漸近穩(wěn)定的 。 例題 利用 李亞普諾夫函數(shù) 討論數(shù)學擺振動 方程等價系統(tǒng) sindxydtdy gxydt l m??????? ? ? ???（ ） 目錄 上頁 下頁 返回 結束 零解的穩(wěn)定性。 解 構造 李亞普諾夫 函數(shù) 如下 V21( , ) ( 1 c o s )2gV x y y xl? ? ?顯然 在原點鄰域內是 定正的 ，且 ( , )V x y2( 5 . 5 . 1 0 )dV yd t m??? 目錄 上頁 下頁 返回 結束 若 ，則 ，由定理 0? ?( 6 . 3 . 1 0 )0dVdt?是穩(wěn)定的。 若 ，則 是常負的，但是仔細 0? ?( .10 )dVdt分析一下，式 的集合是 ， ( 6 . 3 . 1 0 )0dVdt?0y ?而在原點鄰域 不是 ()的解。 0y ? 目錄 上頁 下頁 返回 結束 除外。因而，由定理 0 , 0xy??系統(tǒng)（ ）的零解是漸近穩(wěn)定的。 定理 證明 由前一個定理知此時系統(tǒng)（ ）的零解 穩(wěn)定的，所以只需證明在此定理條件下零解還是 吸引的即可。即證明存在 使得 0 0? ? 目錄 上頁 下頁 返回 結束 當： 滿足 時從 點出發(fā)的解： 0X 00X ??0X00( ) ( , , )X t X t t X?滿足： l im ( ) 0x Xt? ? ? ?（ ） 下面證明零解的吸引性，由穩(wěn)定性知 0 0? ?必存在 使得當 時對一切 00X ?? 0tt?00( ) ( , , )X t X t t X H??有 目錄 上頁 下頁 返回 結束 由于 定正， 定負， ( 5. 5. 1 )dVdt()Vx所以 關于 單調遞減有界，因而有極限 ( ( ))V X t tl im ( ( ) )x V X t c? ? ? ?假設 ，必 ，那么對于任何的 ， 0c ? 0c ?0tt?有 ( ) 0Xt ??? 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ()dV XdtXH?所以 在 上連續(xù)，故 ()dV Xdt在 有最大值，記為： XH? ??()m a xXHd V XMdt? ???且由 的定負性知 ()dV Xdt0M ?由于 有連續(xù)的偏導數(shù)， ()Vx 目錄 上頁 下頁 返回 結束 于是對于任何 有 0tt?000( ( ) )( ( ) ) ( ) ( )ttd V X tV X t V X d t M t tdt? ? ? ??即 00( ( ) ) ( ) ( )V X t V X M t t? ? ?由上式看出當 t充分大時， 這 ( ( ) ) 0V X t ?與 定正矛盾 ，因此 ,即 ( ( ))V X t 0c ? 目錄 上頁 下頁 返回 結束 l im ( ( ) ) 0x V X t? ? ? ?（ ） 在此基礎上在證 ，即（ ） l im ( ) 0x Xt? ? ? ?式成立。 假設（ ）式不成立，則由零解的穩(wěn)定 性知解 是有界的，因而由聚點原理 必可 ()Xt抽取一個序列 ? ?( 1 , 2 , ) ,ktk ? 目錄 上頁 下頁 返回 結束 且當 時， ，而使 k ??kt ? ??*l im ( ) 0kk X t X? ? ? ??因此根據(jù) 的連續(xù)性及定正性知 ( ( ))V X t這與剛才證明的（ ）矛盾，因而（ ） 式成立。 故此時系統(tǒng)（ ）的零解是 漸近穩(wěn)定的 。