【正文】 新關閉閥門，設最后留在容器 A 內的那部分氣體與進入容器 B 中的氣體之間始終無熱量交換，求容器 B 中氣體質量與氣體總質量之比。已知： 1 摩爾理想氣體的內能為 u=CT，其中 C 是已知常量， T 為絕對溫度；一定質量的理想氣體經 歷緩慢的絕熱過程時，其壓強 p 與體積 V 滿足過程方程p CRCV? =常量 ，其中 R 為普適氣體常量。重力影響和連接管體積均忽略不計。 參考解答： 設重新關閉閥門后容器 A 中氣體的摩爾數為 1n ， B 中氣體的摩爾數為 2n ，則 氣體 總摩爾數為 12n n n?? （ 1） 把 兩 容器 中 的 氣體作為整體 考慮 ，設 重新關閉閥門后 容器 A 中氣體溫度為 1T? ， B 中氣體溫度為 2T ， 重新關閉閥門 之后與 打開閥門 之前氣體 內能的變化 可表示為 ? ? ? ?1 1 1 2 2 1U n C T T n C T T?? ? ? ? ? （ 2） 由于 容器是剛性 絕熱 的， 按熱力學第一定律 有 0U?? （ 3） 令 1V 表示容器 A 的體積 , 初始時 A 中氣體的壓強為 1p ，關閉閥門后 A 中氣體壓強為 1p? ， 由理想氣體狀態(tài)方程可知 111pVn RT? （ 4） 16 1111()pVn RT?? ? （ 5） 由以上 各式可解得 ? ? 112111 ?? ??? ?? TTT TT 由于進入 容器 B 中的氣體與仍留在容器 A 中的氣體之間沒有熱量交換，因而 在閥門打開到重新關閉的過程中 留在容器 A 中的 那部分氣體 經歷了一個絕熱過程，設這部分氣體 初始時 體積為 10V (壓強為 1p 時 )，則有 1 1 0 1 1()C R C RCCp V p V???? （ 6） 利用狀態(tài)方程可得 1 10 1111()pV pVTT?? ? （ 7） 由（ 1）至（ 7）式得，閥門重新關閉后容器 B 中氣體質量與氣體總質量之比 2 22RCC R C RRCRnn???????????? （ 8） 評分標準： 本題 15 分 . （ 1）式 1 分，（ 2） 式 3 分， （ 3） 式 2 分， （ 4） 、 （ 5） 式各 1 分， （ 6） 式 3分， （ 7）式 1 分，（ 8）式 3 分 . 七、 （ 16 分）圖中 L1為一薄凸透鏡， Q 為高等于 與光軸垂直放置的線狀物，已知 Q 經 L1成一實像，像距為 ，現于 L1 的右方依次放置薄凹透鏡 L L3 和薄凸透鏡 L4 以及屏 P，它們之間的距離如圖所示，所有的逶鏡都共軸，屏與光軸垂直， L L3 焦距的大小均為 ，已知物 Q 經上述四個透鏡最后在屏 成倒立的實像，像高為 。 L1 焦距的大小為 __________cm， L4 焦距的大小為 ___________cm。 現保持 Q、 L L4 和 P 位置不變，而沿光思平移 L2 和 L3，最后在屏上成倒立的實像，像高為 ，此時 L2到 L1的距離為 ___________cm， L3到 L4的距離為 ___________cm。 最后結果保留至小數點后一位。 答 案 與評分標準 ： 1. (4 分，填 至 的，都給 4 分 ) 17 (4 分，填 至 的，都給 4 分 ) 2. (4 分，填 至 的，都給 4 分 ) (4 分，填 至 的，都給 4 分 ) 八、 （ 18 分） 如圖所示，豎直固定平行放置的兩條相同長直導線 1 和 2 相距為 a（ a長直導線的長度），兩導線中通有方向和大小都相同的穩(wěn)恒電流，電流方向向上，導線中正離子都是靜止的，每單位長度導線中正離子的電荷量為λ；形成電流的導電電子以速度 v0 沿導線向下勻速運動，每單位長度的導線中導電電子的電荷量為 λ。已知：單位長度電荷量為 η的無限長均勻帶電直導線在距其距離為 r 處產生的電場的強度大小為e 2Ekr??，其中 ke 是常量；當無限長直導線通有穩(wěn)恒電流 I 時，電流在距導線距離為 r 處產生磁場的磁感應強度大小為m2IEkr?，其中 km 是常量。試利用狹義相對論中的長度收縮公式求常量 ke 和 km 的比值。 提示：忽略重力；正離子和電子的電荷量與慣性參考系的選取無關；真空中的光速為 c。 參考解答： 在 相對于 正離子靜止的參考系 S 中，導線中的正離子不動，導電電子以速度 0v 向下勻速運動；在 相對于 導電電子靜止的參考系 S? 中，導線中導電電子不動，正離子以速度 0v 向上勻速運動 .下面分四步進行分析 . 第一步，在參考系 S? 中，考慮導線 2 對導線 1 中正離子施加電場力的大小和方向 .若 S 系中一些正離子所占據的長度為 l ，則在 S? 系中這些正離子所占據的長度變?yōu)?l?? ，由相對論中的長度收縮公式有 2021?? ??llcv （ 1） 設在參考系 S 和 S? 中， 每 單位長度導線 中 正離子電荷量分別為 ? 和 ??? ， 由于離子的電荷量與慣性參 考 系的選取無關，故 ll??????? （ 2） 由（ 1）和（ 2）式得 2021???? ? ?cv （ 3） 2 1 18 設 在 S 系中一些導電電子所占據的長度 為 l ，在 S? 系中這些導電電子所占據的長度 為 l?? ， 則 由相對論中的長度收縮公式有 2021????ll cv （ 4） 同理， 由于電子電荷量的值與慣性參考系的選取無關，便有 2021?? ????? cv （ 5） 式中， ?? 和 ??? 分別為在參考系 S 和 S? 中單位長度導線中導電電子的電荷量 . 在參照系 S? 中，導線 2 單位長度帶的電荷量為 22002200( ) 111??? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ? ???ccccvvvv （ 6） 它在導線 1 處產生的電場強度的大小為 2e e 022 02221???? ???kkEa cacvv （ 7） 電場強度方向水平向左 .導線 1 中電荷量為 q 的正離子受到的電場力的大小為 2e0e 22 0221???????kqf q Eca cvv （ 8） 電場力方向水平向左 . 第二步，在參 考 系 S? 中，考慮導線 2 對導線 1 中正離子施加磁場力的大小和方向 .在參 考 系 S? 中，以速度 0v 向上運動的正離子形成 的 電流為 002021????????Icvvv （ 9） 導線 2 中的電流 I? 在導線 1 處產生 磁場的 磁感應強度大小為 m0m202221??? ???kkIBa acvv （ 10） 磁感應強度方向垂直紙面向外 .導線 1 中電荷量為 q 的正離子所受到的磁場力的大小為 2m0m 020221???????kqf q Ba cvvv （ 11） 19 方向水平向右，與正離子所受到的電場力的方向相反 . 第三步，在參 考 系 S 中，考慮導線 2 對導線 1 中正離子 施加電場力和磁場力的大小和方向 .由題設條件，導線 2 所帶的正電荷與負電荷的和為零，即 ( ) 0??? ? ? （ 12） 因而，導線 2 對導線 1 中正離子施加電場力為零 e 0f?? （ 13） 注意到在 S 系中，導線 1 中正離子不動 1+ 0?v （ 14） 導線 2 對導線 1 中正離子施加磁場力為零 m 1+ 0? ??f q Bv （ 15） 式中， B 是在 S 系中導線 2 的電流在導線 1 處產生的磁感應強度的大小 .于是，在 S 系中，導線 2 對導線 1 中正離子施加電場力和磁場力的合力為零 . 第四步，已說明在 S 系中導線 2 對導線 1 中正離子施加電場力和磁場力的合力為零，如果導線 1 中正離子 還受到其他力的作用，所有其它 力的合力必 為零 (因為正離子靜止 ).在 S? 系中，導線 2 對導線 1 中正離子施加 的 電場力和磁場力的合力的大小為 mef f f??? ? ??? (16) 因為相對 S? 系 ， 上述可能存在 的其它 力的合力仍應為 零 ，而正離子仍處在勻速運動狀態(tài)，所以 (16)式應等于 零 ，故 meff????? （ 17） 由（ 8）、（ 11）和（ 17）式得 2emk ck ? （ 18） 評分標準： 本題 18 分 . （ 1） 至 （ 18）式各 1 分 .?