【正文】 點(diǎn) ， 而此時(shí) 太空 電梯已轉(zhuǎn)過此點(diǎn)，這說明在此前衛(wèi)星尚未追上 太空 電梯 .由此推斷 在 衛(wèi)星脫落后的 012 小時(shí)內(nèi)二者不可能相遇 ； 而在衛(wèi)星脫落后 1224 小時(shí)內(nèi)衛(wèi)星將完成兩個(gè)多周期的運(yùn)動(dòng)，同時(shí) 太空 電梯完成一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期，所以在 1224 小時(shí)內(nèi)二者必相遇 ，從 而 可以 實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星回收 . ，衛(wèi)星軌道與地球赤道相切點(diǎn)和衛(wèi)星在太空電梯上的脫離點(diǎn)分別為其軌道的近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn) .在脫離處的總能量為 2xx x e1 ()2 G M m G M mmR R R R? ? ? ? ? （ 11） 此式可化為 6 3xx23ee 21 eRR GMR R R?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? (12) 這是關(guān)于 xR 的四次方程，用數(shù)值方法求解可得 10 kmRR? ? ? （ 13） 【 xR 亦可用開普勒第二定律和能量守恒定律求得 .令 ev 表示衛(wèi)星與赤道相切點(diǎn)即近地點(diǎn)的速率，則有 2e e xRR??v 和 22exex11 ()22G M m G M mm m RRR?? ? ?v 由上兩式聯(lián)立可 得到方程 53x x x2 3 2 3e e e22 0eeR R RG M G MR R R R R??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 其中除 xR 外其余各量均已知 , 因此這是關(guān)于 xR 的五次方程 . 同樣可以用數(shù)值方法解得 xR .】 衛(wèi)星從脫離太空電梯到與地球赤道相切經(jīng)過了半個(gè)周期的時(shí)間，為了求出衛(wèi)星運(yùn)行的周期 T? ，設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸為 a? ，半短軸為 b? ，有 xe2RRa ??? (14) 22 xe2RRba ??????????? (15) 因?yàn)槊娣e速度可表示為 2sx12R???? (16) 所以衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)周期為 sabT ?????? ? (17) 代入相關(guān)數(shù)值可得 ?? h (18) 衛(wèi)星與地球赤道第一次相切時(shí)已在太空中運(yùn)行了半個(gè)周期，在這段時(shí)間內(nèi)，如果地球不轉(zhuǎn)動(dòng)，衛(wèi)星沿地球自轉(zhuǎn)方向運(yùn)行 180 度 ， 落到西經(jīng) (180 110 )?? ? 處與赤道相切 . 但由于地球自轉(zhuǎn)，在這期間地球同時(shí)轉(zhuǎn)過了 /2T?? 角度 ， 地球自轉(zhuǎn) 角速度 3 6 0 / 2 4 h 1 5 / h? ? ? ? ?，因此衛(wèi)星與地球赤道相切點(diǎn)位于赤道的經(jīng)度為 西經(jīng) 1 8 0 1 1 0 1 2 12T?? ?? ? ? ? ? ? ? （ 19） 7 即衛(wèi)星著地點(diǎn)在赤道上約西經(jīng) 121 度處 . 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)： 本題 23 分 . 第 1 問 16 分，第 i 小問 8 分， (1)、 (2)式各 2 分， （ 4） 式 2 分， （ 5）式 和 結(jié)論 共 2 分 .第 ii 小問 8 分， （ 9） 、 （ 10）式 各 2 分， 說出在 012 小時(shí)時(shí)間段內(nèi)衛(wèi)星不可能與太空電梯相遇并給出正確理由共 2 分，說出在 1224 小時(shí)時(shí)間段內(nèi)衛(wèi)星 必與 太空電梯相遇并給出正確理由共 2 分 . 第 2 問 7 分， (11)式 1 分， (13)式 2 分，（ 18） 式 1 分， （ 19） 式 3 分 . （數(shù) 值結(jié)果允許有 5% 的相對(duì)誤差） 三、 （ 25 分） 如圖所示，兩根剛性輕工桿 AB 和 BC 在 B 端牢固粘接在一起， AB 延長(zhǎng)線與 BC 的夾角α為銳角，桿 BC 長(zhǎng)為 l,桿 AB 長(zhǎng)為 lcosα，在桿的 A、 B 和 C 三 點(diǎn)各固連一質(zhì)量均為 m的小球，構(gòu)成一剛性系統(tǒng)。 m2提示：此問要用數(shù)值法求解高次議程。討論該衛(wèi)星從脫落時(shí)刻起， 在 012 小時(shí)及 1224 小時(shí)兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)被太空電梯回收的可能性。 。 gb?? ?? (10) 在 (8)和 (9)式中 A 和 ? 分別 是振幅 和 初相位，由初始條件決定 . 在物塊剛被釋放時(shí)，即 0t? 時(shí)刻 有 x=0 ，由 (5)式得 (0)Xb????? (11) (0) 0V ? (12) 由 (8)至 (12)式可求得 Ab???? (13) ??? (14) 將 (10)、 (13)和 (14)式 分別代人 (8)和 (9)式 得 ? ?( ) co sX t b t? ???? ? ? (15) ? ?( ) s inV t g b t? ???? ? ? ? (16) 由 (15)式可知，物塊再次返回到初始位置 時(shí)恰好完成一個(gè) 振動(dòng)周期 ； 但物塊的運(yùn)動(dòng)始終由 (15)表示是有條件的，那就是在運(yùn)動(dòng)過程中物塊始終 沒 有完全浸沒在 湖水 中 . 若物塊 從 某時(shí)刻 起 全部浸沒在 湖水 中，則 湖水 作用于物塊的浮力變成恒力，物塊此后的運(yùn)動(dòng)將不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，物塊再次返回到初始位置所需的時(shí)間也就不再全由振動(dòng)的周期決定 . 為此，必須研究物塊 可能 完全浸沒在 湖水 中的 情 況 . 顯然，在 x 系中看 ， 物塊 下底面坐標(biāo)為 b 時(shí)，物塊 剛好 被完全 浸沒 ； 由 (5)式知在 X 系中這一臨界坐標(biāo)值為 b 1X X b?????? ? ????? （ 17）即物塊剛好完 全 浸沒在 湖水中 時(shí)，其 下 底 面 在平衡位置以下 bX 處 . 注意到 在振動(dòng)過程中，物塊 下 底 面 離平衡位置的最大距離等于振動(dòng)的振蝠 A ， 下面分兩 種情況討論： I． bAX? . 由 (13)和 (17)兩式得 ?? ??2 (18) 在這 種 情況下，物塊在運(yùn)動(dòng)過程中 至多剛好 全部浸沒在 湖水 中 . 因而， 物塊從初始位置起，經(jīng)一個(gè)振動(dòng)周期，再次返回 至 初始位置 . 由 (10)式得振動(dòng)周期 3 2 2 bTg?????? ? ? (19)物塊 從初始 位置 出發(fā)往返一次 所需的時(shí)間 I 2 btT g???? ? ? (20) II． bAX? . 由 (13)和 (17)兩式得 2???? (21) 在這 種 情況下，物塊在運(yùn)動(dòng)過程中會(huì) 從某時(shí)刻起 全部浸沒在 湖水表面之下 . 設(shè)從初始位置起，經(jīng)過時(shí)間 1t 物塊 剛好 全部浸入 湖水中 ，這時(shí) ? ?1bX t X? . 由 (15)和 (17)式 得 ? ?1co s 1t?????? ? ? ? (22) 取合理值，有 1 a r c c o s 1bt g?????? ??? ? ?????????? (23) 由 上式和 (16)式 可求得 這時(shí)物塊的速度 為 21( ) 1 1V t g b??? ??? ? ?????? (24) 此后，物塊在液體內(nèi)作勻減速運(yùn)動(dòng)，以 a? 表示加速度 的大小 ，由牛頓定律有 ag??? ???? ? (25) 設(shè)物塊 從 剛好完全浸入 湖水 到速度為零時(shí)所用的時(shí)間為 2t ，有 ? ?120V t a t??? (26) 由 (24)(26)得 22 11() bt g? ? ?? ? ? ??? ??? ? ???? ?? (27) 物塊 從初始 位置 出發(fā)往返一次 所需的時(shí)間 為 2I I 1 2 22 ( ) 2 a r c c o s 1 1 1()bbt t t gg? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ??? (28) 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) ： 本題 17 分 .（ 6） 式 2 分，（ 10）（ 15）（ 16）（ 17） （ 18） 式 各 1 分，（ 20） 式 3 分，（ 21）式 1 分 ， （ 23） 式 3 分，（ 27） 式 2 分 ， （ 28） 式 1 分 . 4 二 、 （ 23 分）設(shè)想在地球赤道平面內(nèi)有一垂直于地面延伸到太空的輕質(zhì)電梯 ，電梯項(xiàng)端可超過地球的同步衛(wèi)星的高度 R（從地心算起）延伸到太空深處，這種所謂的太空電梯可用于低成本地發(fā)射人造衛(wèi)星，其發(fā)射方法是將衛(wèi)星通過太空電梯勻速地提升到某高度，然后啟動(dòng)推進(jìn)裝置將衛(wèi)星從太空電梯發(fā)射出去。在只考慮物塊受重力和液體浮力作用的情況下，求物塊從初始位置出發(fā)往返一次所需的時(shí)間。有數(shù)值計(jì)算的題，答案中必須明確寫出數(shù)值和單位。 1 第 29 屆全國(guó)中學(xué)生奧林匹克物理競(jìng)賽復(fù)賽試卷 題號(hào) 一 二 三 四 五 六 七 八 總分 得分 閱卷 復(fù)核 本卷共 8 題，滿分 160 分 填空題把答案填在題中的橫線上或題給的表格中，只要給出結(jié)果，不需寫出求解過程。 計(jì)算題的解答應(yīng)寫出改要的文字說明、方程式和重要的演算步驟，只寫出最后結(jié)果的不能得 分。 一、 （ 17 分）設(shè)有一湖水足夠深的咸水湖，湖面寬闊而平靜，初始時(shí)將一體積很小的勻質(zhì)正立方體物塊在湖面上由靜止開始釋放，釋放時(shí)物塊的下底面和湖水表面恰好相接觸，已知湖水密度為ρ；物塊邊長(zhǎng)為 b，密度為ρ ， 且ρ ， ρ。 由于湖面足夠?qū)掗煻飰K體積很小，所以湖面的絕對(duì)高度在物塊運(yùn)動(dòng)過程中始終保持不變，因此，可選湖面為坐標(biāo)原點(diǎn)并以豎直向下方向?yàn)檎较蚪⒆鴺?biāo)系，以下簡(jiǎn)稱 x 系 . 設(shè) 物塊 下 底 面的坐標(biāo)為 x ， 在物塊未完全浸沒 入湖水時(shí)，其所 受到的浮力為 2