【正文】 ? ?A y B y 0sin c o s c o s c o s sinJ l m l l m l m l? ? ? ? ?? ? ? ?v v v （ 4） 因?yàn)檫B結(jié)小球的桿都是剛性的，故小球沿連結(jié)桿的速度分量相等，故有 Ax Bx?vv （ 5） C y B y B xsin sin c os? ? ???v v v （ 6） A x A y C yc os sin sin? ? ?? ? ?v v v （ 7） （ 7） 式中 ? 為桿 AB 與連線 AC 的夾角 . 由幾何關(guān)系有 22 coscos 1 3 cos?? ?? ? （ 8） 2sinsin 1 3 cos?? ?? ? （ 9） 解以上各式得 20 (1 2 cos )Jm ???v （ 10） 2Ax 0 sin ??vv （ 11） Ay 0 sin cos???vv （ 12） 2Bx 0 sin ??vv （ 13） By 0?v （ 14） C y 0 sin cos????vv （ 15） 按題意，自球 C 與 擋板 碰撞結(jié)束到球 A (也可能球 B )碰撞擋板 墻前 ，整個(gè)系統(tǒng)不受外力作用，系統(tǒng)的質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng) . 若以質(zhì)心為參考系，則相對(duì)質(zhì)心參考系，質(zhì)心是靜止不動(dòng)的， A 、 B 和 C 三球構(gòu)成的剛性系統(tǒng)相對(duì)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)是繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng) . 為了求出轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，可考察球 B 相對(duì)質(zhì)心的速度 .由 (11)到 (15)各式，在球 C 與 擋板 碰撞剛結(jié)束時(shí)系統(tǒng)質(zhì)心 P 的速度 A B CC ? O x y Ayv Axv Bxv Byv Cyv P 圖 1 10 2A x B x C xP x 02 s in33m m mm ?????v v vvv （ 16） A y B y C yPy 03m m mm??v v vv （ 17） 這時(shí)系統(tǒng)質(zhì)心的坐標(biāo)為 P cosxl??? （ 18） P 1 sin3yl??? （ 19） 不難 看 出，此時(shí)質(zhì)心 P 正好在球 B 的正下方，至球 B 的距離 為 Py ， 而球 B 相對(duì)質(zhì)心的速度 2B P x B x P x 01 s in3 ?? ? ?v v v v （ 20） BPy 0?v （ 21） 可見此時(shí)球 B 的速度正好垂直 BP ，故整個(gè)系統(tǒng) 對(duì) 質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度 0 sinBPxPyl?? ??vv （ 22） 若使 球 A 先于球 B 與 擋板 發(fā)生碰撞，則在球 C 與 擋板碰撞 后，整個(gè)系統(tǒng)至少應(yīng)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)過 π/2 角，即桿 AB 至少轉(zhuǎn)到沿 y 方向，如圖 2 所示 . 系統(tǒng)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)過 π/2 所需時(shí)間 1π2t ?? （ 23） 在此時(shí)間內(nèi)質(zhì)心沿 x 方向 向 右移動(dòng)的距離 Pxxt??v （ 24） 若 PPy x x??? （ 25） 則球 B 先于球 A 與 擋板碰撞 . 由以上有關(guān)各式得 3arctan1? ? ?? （ 26） 即 ?36?? (27) 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)： 本題 25 分 . （ 2） 、 （ 3） 、 （ 4） 、 （ 5） 、 （ 6） 、 （ 7）式 各 2 分 ， （ 10） 、 （ 22） 式 各 3 分 ， （ 23）式 1 分，（ 24） 、 （ 25） 式各 2 分， （ 26） 或 (27)式 2 分 . x O P A C B 圖 2 y 11 四 、 （ 21 分）如圖所示，虛線小方框是由2n 個(gè)電容器聯(lián)成的有限網(wǎng)絡(luò)；虛線大方框是并聯(lián)的兩 個(gè) 相同的 無限網(wǎng)絡(luò)。桿 AB 延長(zhǎng)線與擋板垂直。 m2討論該衛(wèi)星從脫落時(shí)刻起， 在 012 小時(shí)及 1224 小時(shí)兩個(gè)時(shí)間段內(nèi)被太空電梯回收的可能性。 gb?? ?? (10) 在 (8)和 (9)式中 A 和 ? 分別 是振幅 和 初相位，由初始條件決定 . 在物塊剛被釋放時(shí)，即 0t? 時(shí)刻 有 x=0 ，由 (5)式得 (0)Xb????? (11) (0) 0V ? (12) 由 (8)至 (12)式可求得 Ab???? (13) ??? (14) 將 (10)、 (13)和 (14)式 分別代人 (8)和 (9)式 得 ? ?( ) co sX t b t? ???? ? ? (15) ? ?( ) s inV t g b t? ???? ? ? ? (16) 由 (15)式可知，物塊再次返回到初始位置 時(shí)恰好完成一個(gè) 振動(dòng)周期 ； 但物塊的運(yùn)動(dòng)始終由 (15)表示是有條件的，那就是在運(yùn)動(dòng)過程中物塊始終 沒 有完全浸沒在 湖水 中 . 若物塊 從 某時(shí)刻 起 全部浸沒在 湖水 中，則 湖水 作用于物塊的浮力變成恒力，物塊此后的運(yùn)動(dòng)將不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，物塊再次返回到初始位置所需的時(shí)間也就不再全由振動(dòng)的周期決定 . 為此，必須研究物塊 可能 完全浸沒在 湖水 中的 情 況 . 顯然，在 x 系中看 ， 物塊 下底面坐標(biāo)為 b 時(shí)，物塊 剛好 被完全 浸沒 ； 由 (5)式知在 X 系中這一臨界坐標(biāo)值為 b 1X X b?????? ? ????? （ 17）即物塊剛好完 全 浸沒在 湖水中 時(shí)，其 下 底 面 在平衡位置以下 bX 處 . 注意到 在振動(dòng)過程中，物塊 下 底 面 離平衡位置的最大距離等于振動(dòng)的振蝠 A ， 下面分兩 種情況討論： I． bAX? . 由 (13)和 (17)兩式得 ?? ??2 (18) 在這 種 情況下，物塊在運(yùn)動(dòng)過程中 至多剛好 全部浸沒在 湖水 中 . 因而， 物塊從初始位置起，經(jīng)一個(gè)振動(dòng)周期，再次返回 至 初始位置 . 由 (10)式得振動(dòng)周期 3 2 2 bTg?????? ? ? (19)物塊 從初始 位置 出發(fā)往返一次 所需的時(shí)間 I 2 btT g???? ? ? (20) II． bAX? . 由 (13)和 (17)兩式得 2???? (21) 在這 種 情況下，物塊在運(yùn)動(dòng)過程中會(huì) 從某時(shí)刻起 全部浸沒在 湖水表面之下 . 設(shè)從初始位置起，經(jīng)過時(shí)間 1t 物塊 剛好 全部浸入 湖水中 ，這時(shí) ? ?1bX t X? . 由 (15)和 (17)式 得 ? ?1co s 1t?????? ? ? ? (22) 取合理值，有 1 a r c c o s 1bt g?????? ??? ? ?????????? (23) 由 上式和 (16)式 可求得 這時(shí)物塊的速度 為 21( ) 1 1V t g b??? ??? ? ?????? (24) 此后，物塊在液體內(nèi)作勻減速運(yùn)動(dòng)，以 a? 表示加速度 的大小 ，由牛頓定律有 ag??? ???? ? (25) 設(shè)物塊 從 剛好完全浸入 湖水 到速度為零時(shí)所用的時(shí)間為 2t ，有 ? ?120V t a t??? (26) 由 (24)(26)得 22 11() bt g? ? ?? ? ? ??? ??? ? ???? ?? (27) 物塊 從初始 位置 出發(fā)往返一次 所需的時(shí)間 為 2I I 1 2 22 ( ) 2 a r c c o s 1 1 1()bbt t t gg? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ?