【正文】 t11 2nCC? （ 1） 即 t1 2CC n? （ 2） 式中 4SC kd?? （ 3） 虛線大方框中無限網(wǎng)絡(luò)的等效電容 t2C 滿足下式 t21 1 1 12 2 4 8C C C C??? ? ? ? ??????? （ 4） 即 t2 2CC ? （ 5） 整個電容網(wǎng)絡(luò) 的等效 電容為 t 1 t 2tt 1 t 22 4CC CC C C n???? （ 6） 等效 電容 器 帶的電量（即與電池正極連接的電容 器 極板上電量之和） 12 tt ( 4 )2SqC n kd?? ??? ? （ 7） 當(dāng) 電容器 a 兩極板的距離變?yōu)?2d 后， 2n 個平行板電容器聯(lián)成 的網(wǎng)絡(luò) 的 等效 電容 t1C? 滿足下式 t11 1 223nC C C???? （ 8） 由此得 t1 631CC n? ? ? （ 9） 整個電容網(wǎng)絡(luò) 的等效 電容為 t1 t 2tt1 t 263 1 3CC CC C C n?? ??? ?? （ 10） 整個電容網(wǎng)絡(luò) 的等效 電容 器 帶的電 荷 量為 tt 3(3 1 3 ) 2SqC n k d?? ????? ? （ 11） 在 電容器 a 兩極板的距離 由 d 變 為 2d 后，等效 電容 器所帶 電 荷 量的改變?yōu)? t t t ( 3 1 3 ) ( 4 ) 2Sq q q n n k d? ??? ? ? ? ? ?? （ 12） 電容器儲能變化 為 ? ? 222tt12 2 ( 3 1 3 ) ( 4 ) 2SU CC n n k d??? ?? ? ? ?? ? ?? （ 13） 在此 過程中，電池所做的功為 2t ( 3 1 3 ) ( 4 ) 2SAq n n k d?? ?? ? ? ? ?? （ 14） 外力所做的功為 22 ( 3 1 3 ) ( 4 ) 2SA U A n n k d? ?? ? ? ? ? ?? （ 15） a 后， a 的 左極板 所 帶電 荷量 為 q? ，金屬薄板左側(cè)帶電 荷量 為 q?? ，右側(cè)帶電 荷量 為 ()qQ?? ， a 的 右極板帶電 荷量 為 ()qQ???，與 a 并聯(lián)的 電容器 左右兩極板帶電 荷量 分別為 q?? 和 q??? .由于 電容器 a 和與其并聯(lián)的電容器 兩極板電壓相同， 所以 有 ()4 4 ( 2 )q q q QSSCk x k d x???? ? ????? （ 16） 由（ 2）式和上式得 23 dxq q q Qd?? ?? ?? ? ? （ 17） 上式表示 電容器 a 左極板和與其并聯(lián)的電容器 左極板所帶電 荷 量 的 總 和 ，也是虛線大方框中無限網(wǎng)絡(luò)的等效電容 t2C 所帶電 荷 量（ 即 與電池正極連接的電容 器 的極板上電 荷 量之和） . 整個電容網(wǎng) 絡(luò) 兩端的電壓等于 電池 的電動勢 ， 即 t2 ( 1 ) 2q q q q qnc C C ?? ?? ? ?? ????? ? ? ? （ 18） 13 將（ 2） 、 （ 5）和（ 17）式代入（ 18）式得電容器 a 左極板帶電 荷 量 ( 5 ) ( 2 )( 3 1 3 ) 2 ( 3 1 3 )S n d xqQn k d n d? ? ??? ???? （ 19） 評分標(biāo)準(zhǔn)： 本題 21 分 . 第 1 問 13 分，（ 2） 式 1 分， （ 5） 式 2 分， （ 6） 、 （ 7） 、 （ 10） 、 （ 11） 、 （ 12）式各 1 分 ， （ 13） 式 2 分 ,（ 14） 式 1 分， （ 15） 式 2 分 . 第 2 問 8 分， （ 16） 、 （ 17） 、 （ 18） 、 （ 19） 式各 2 分 . 五、 （ 25 分）如圖所示，兩個半徑不等的用細(xì)金屬導(dǎo)線做成的同心圓環(huán)固定在水平的桌面上。 在電容器 a 兩極板的距離變?yōu)?2d 后，再將一塊與電容器 a 的極板形狀相同、面積也為 S、帶電荷量為 Q（ Q0）的金屬薄板沿平行于 a 的極板方向全部插入到電容器 a 中，使金屬薄板距電容器 a 左極板的距離為 x。忽略電容器的邊緣效應(yīng)，靜電力常量 k 已知。網(wǎng)絡(luò)中的所有電容器都是完全相同的平行板真空電容器，其極板面積為 S，極板間距為 d（ dS2）。 解法一 如圖 1 所示， 建 直角坐標(biāo) Oxy ， x 軸與 擋板 垂直， y 軸與 擋板 重合 . 碰撞前 體系 質(zhì)心的速度為 0v ，方向沿 x 軸正方向 ，以 P表示系統(tǒng)的質(zhì)心 ， 以 Pxv 和Pyv表示碰撞后質(zhì)心的速度 分量 ， J 表示墻作用于 小 球 C 的沖量的大小 . 根據(jù)質(zhì)心運動定理有 Px 033J m m? ? ?vv （ 1） Py0 3 0m??v （ 2） 由 （ 1）和 （ 2） 式得 0Px 3 3mv Jm??v （ 3） Py 0?v （ 4） 可在質(zhì)心參考系中考察系統(tǒng)對質(zhì)心的角動量 . 在球 C 與 擋板碰撞 過程中，質(zhì)心的坐標(biāo)為 P cosxl??? （ 5） P 1 sin3yl??? （ 6） 球 C 碰 擋板 前，三小球相對 于 質(zhì)心靜止，對質(zhì)心的角動量為 零 ；球 C 碰 擋板 后，質(zhì)心相對質(zhì)心參考系仍是靜止的，三小球相對質(zhì)心參考系的運動是繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，若轉(zhuǎn)動角速度為 ? ，則三小球?qū)|(zhì)心 P 的角動量 2 2 2A P B P CPL m l m l m l? ? ?? ? ? （ 7）式中 APl 、 BPl 和 CPl 分別是 A 、 B 和 C 三球到質(zhì)心 P 的距離，由圖 1 可知 2 2 2 2 2AP 1c o s s in9l l l???? （ 8） 2 2 2BP 1 sin9ll?? （ 9） 2 2 2 2 2CP 4c o s s in9l l l???? （ 10） 由 （ 7） 、 （ 8） 、 （ 9） 和 （ 10） 各式得 A B C ? O x y P CPl ? 圖 1 8 222 (1 2 c o s )3L m l ???? （ 11） 在碰撞過程中，質(zhì)心有加速度，質(zhì)心參考系是非慣 性 參考系，在質(zhì)心參考系中考察動力學(xué)問題時，必須引入慣性力 . 但作用于質(zhì)點系的慣性力的 合力通過質(zhì)心，對質(zhì)心的力矩等于 零 ，不影響質(zhì)點系對質(zhì)心的角動量，故在質(zhì)心參考系中，相對質(zhì)心角動量的變化仍取決于作用于球 C 的沖量 J 的沖量矩，即有 2 sin3J l L?? （ 12）【也可以始終在慣性參考系中考察問題，即把桌面上與體系質(zhì)心重合的那一點作為角動量的參 考點，則對該參考點 (12)式也成立】 由（ 11） 和 （ 12）式得 2sin(1 2 cos )Jml ?? ?? ? (13) 球 C 相對 于 質(zhì)心參考系的速度分量分別為 （ 參考圖 1） C P x C P Psi n ( si n | |)l l y? ? ? ?? ? ? ? ?v (14) C P y C P c os c osll? ? ? ?? ? ? ?v (15) 球 C 相對固定參考系速度的 x 分量為 Cx CPx Px??v v v （ 16） 由 （ 3） 、 （ 6） 、 （ 13） 和 （ 16） 各式得 C x 02(1 2 c o s )Jm ?? ? ??vv （ 17） 根據(jù)題意有 0Cx?v （ 18）由 （ 17） 和 （ 18） 式得 20 (1 2 cos )Jm ???v （ 19） 由 （ 13） 和 （ 19） 式得 0 sinl ???v （ 20） 球 A 若先于球 B 與 擋板 發(fā)生碰撞，則在球 C 與 擋板碰撞 后，整個系統(tǒng)至少應(yīng)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)過 ??? 角，即桿 AB 至少轉(zhuǎn)到沿 y方向，如圖 2 所示 . 系統(tǒng)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)過 ??? 所需時間 12t ??? （ 21） 在此時間內(nèi)質(zhì)心沿 x 方向 向 右移動的距離 Pxxt??v （ 22） 若