全國中學(xué)生物理競賽——復(fù)賽模擬卷-資料下載頁
2025-04-04 02:06本頁面
【正文】 分析和作出邊界光線是解決問題的關(guān)鍵。邊界光線是隨著具體問題的不同而改變的，要注意針對具體問題靈活把握。，今有兩束相距為2d(d≤R)對稱地（即兩光束與球的一條直徑平行并且分別與其等距離）射到球上，試就球的折射率n的取值范圍進(jìn)行討論（1）n取何值時兩束光一定在球內(nèi)相交？（2）n取何值時兩束光一定在球外相交？圖33123（3）如果n、d、R均已給定，如何判斷此時兩束光的交點是在球內(nèi)還是在球外。分析：設(shè)當(dāng)球的折射率為n0時，兩束光剛好交于球面上，如圖33123所示。令光線射入球中時的入射角為i，折射角為r，則由圖中的幾何關(guān)系有 又由折射定律有 由上兩式解得 又由圖中的幾何關(guān)系可以得到 由上式可見，對于某一個確定的比值，為使兩光線剛好交于球面，球的折射率有一個確定的值n0與之對應(yīng)。這樣，我們可以假想，若球的實際折射率n不等于n0時，則兩光線進(jìn)入球內(nèi)時的情況與前面圖示的情況有所不同，即兩光線不是交于球面上。當(dāng)時，兩光線將比圖示情況偏折得更厲害（圖中角r將更小），兩光線的交點必在球內(nèi)；當(dāng)時，兩光線將比圖示情況偏折得少一些（圖中的角r將大一些），兩光線的交點必在球外。若以作為一個變量來討論上述問題，由于，故由此確定的n0的范圍是。解：（1）當(dāng)時，對于任何來說，都有，即不管球的半徑和兩光線間的距離如何，兩光線都必定在球內(nèi)相交。（2）當(dāng)時，對于任何來說，都有，即不管球的半徑和兩光線間的距離如何，兩光線都必定在球外相交。（3）對于任意給定的n、R和d，則只需比較n與n0的大小即可確定兩光線的交點是在球內(nèi)還是在球外：當(dāng)時，兩光線的交點在球內(nèi)；當(dāng)時，兩光線的交點在球面上；圖4185（a）當(dāng)時，兩光線的交點在球外；14．一點電荷+q和半徑為a的接地導(dǎo)體的球心相距為h，求空間的電勢分布。分析：此處是電荷與導(dǎo)體上的感應(yīng)電荷共同作用的情況，此處導(dǎo)體是一導(dǎo)體球，而非平板。我們自然地猜想，球上的感應(yīng)電荷可否用像電荷等效替代？若可以，該電荷應(yīng)在何處？解：在導(dǎo)體球面上，電力線與球面正交，從電力線會聚的趨勢（如圖4185（a））來看，感應(yīng)電荷與電荷相當(dāng)。據(jù)對稱性，應(yīng)在z軸上，設(shè)其距球心。如圖4185（b）。點電荷+q與像電荷在P點的電勢為 由球面上U=0，即r=a處。U=0，有 上式含有參量與，因而問題化成能否找到兩個參量和，使上式對于任意的都能滿足。兩邊平方 要使此式對任意都成立，必須圖4185（b） 得出和 其中第一組解像電荷在球內(nèi)，其對球外空間作用與感應(yīng)電荷相同。第二組解像電荷就在q處，其對球內(nèi)空間作用與感應(yīng)電荷相同（第二組解并非其他書上所說的毫無意義，這一結(jié)果有很好的應(yīng)用。雖然它看起來顯而易見）。球外空間電勢為 球內(nèi)空間電勢為零。討論：若導(dǎo)體球絕緣，并且原來不帶電，則當(dāng)導(dǎo)體球放在點電荷q的電場中時，球?qū)⒏袘?yīng)等量的正負(fù)電荷，球外空間的電場由點電荷q及球面上的感應(yīng)正負(fù)電荷共同產(chǎn)生。這時感應(yīng)電荷的貢獻(xiàn)，除了負(fù)電荷根據(jù)上面的討論可由球內(nèi)Z軸上的象代替外，還應(yīng)有一個感應(yīng)正電荷的像，為了保持球面等勢，這個像的位置位于球心。那么 對于球面上任意一點 而，所以 從上式可以看出球面的電勢相當(dāng)于單獨的一個點電荷q在球心的電勢。實際上，由于球表面帶電總量為零，這一點是顯而易見的。如果q移到無限遠(yuǎn)，即，同時增大q，使在球心處的電場保持有限。這時，像電荷的無限趨近球心，但保持有限，因而像電荷和在球心形成一個電偶極子，其偶極矩為 。無限遠(yuǎn)的一個帶無限多電量的點電荷在導(dǎo)體附近產(chǎn)生的電場可看作是均勻的。因此一個絕緣的金屬球在勻強電場中受到感應(yīng)后，它的感應(yīng)電荷在球外空間的作用相當(dāng)于一個處在球心，電偶極矩為的偶極子。15．電荷q均勻分布在半球面ACB上，球面的半徑為R，CD為通過半球頂點C與球心O的軸線，如圖4191。P、Q為CD軸線上在O點兩側(cè)，離O點距離相等的兩點，已知P點的電勢為Up，試求Q點的電勢UQ。分析：本題關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化為空間對稱情形，而后用電勢疊加原理求解。解：設(shè)想一勻勻帶電、帶電量也是q的右半球，與題中所給的左半球組成一個完整的均勻帶電球面，由對稱性可知，右半球在P點的電勢等于左半球在Q點的電勢，即 (1)所以 (2)而正是兩個半球同時存在時P點的電勢。因為均勻帶電球殼內(nèi)部各處電勢都相等，其值等于，k為靜電力恒量，所以得 (3)由(2)、(3)兩式得 做在本子上 20
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