【正文】 m， ∴ 第三邊是 7cm． 故答案為： 7cm． 【點評】 此題主要考查了等腰三角形的性質，關鍵是分情況討論時，分出的兩種情況，都要滿足三角形的三邊關系． 17．已知 a+ =3，則 a2+ 的值是 7 ． 【考點】 完全平方公式． 【分析】 把已知條件兩邊平方，然后整理即可求解．完全平方公式：（ a177。 b） 2=a2177。 2ab+b2． 【解答】 解： ∵ a+ =3， ∴ a2+2+ =9， ∴ a2+ =9﹣ 2=7． 故答案為： 7． 【點評】 本題主要考查了完全平方公式，利用公式把已知條件兩邊平方是解題的關鍵． 18．如圖， ∠ AOB=60176。， OC 平分 ∠ AOB，如果射線 OA 上的點 E 滿足 △ OCE 是等腰三角形，那么 ∠ OEC 的度數(shù)為 120176?；?75176。或 30176。 ． 【考點】 等腰三角形的判定． 【分析】 求出 ∠ AOC，根據(jù)等腰得出三種情況， OE=CE， OC=OE， OC=CE，根據(jù)等腰三角形性質和三角形內角和定理求出即可． 【解答】 解： ∵∠ AOB=60176。， OC 平分 ∠ AOB， ∴∠ AOC=30176。， ① 當 E 在 E1 時， OE=CE， ∵∠ AOC=∠ OCE=30176。， ∴∠ OEC=180176。﹣ 30176。﹣ 30176。=120176。； ② 當 E 在 E2 點時， OC=OE， 則 ∠ OCE=∠ OEC= （ 180176。﹣ 30176。） =75176。； ③ 當 E 在 E3 時， OC=CE， 則 ∠ OEC=∠ AOC=30176。； 故答案為： 120176?；?75176。或 30176。． 【點評】 本題考查了角平分線定義，等腰三角形性質，三角形的內角和定理的應用，用了分類討論思想． 三、計算題（本大題共 3 小題，共 24 分） 19．（ 1）（ ab2） 2?（﹣ a3b） 3247。 （﹣ 5ab）； （ 2）（ x+1） 2﹣（ x+2）（ x﹣ 2）． 【考點】 整式的混合運算． 【分析】 （ 1）原式先計算乘方運算，再計算乘除運算即可得到結果； （ 2）原式利用完全平方公式，以及平方差公式計算即可得到結果． 【解答】 解：（ 1）原式 =a2b4?（﹣ a9b3） 247。 （﹣ 5ab） = a10b6； （ 2）原式 =x2+2x+1﹣ x2+4=2x+5． 【點評】 此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵． 20．化簡： （ 1） + 247。 ． （ 2） 247。 （ x+2﹣ ）． 【考點】 分式的混合運算． 【分析】 （ 1）原式先計算除法運算，再計算加減運算即可得到結果； （ 2）原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則計算，約分即可得到結果． 【解答】 解：（ 1）原式 = ﹣ ? = ﹣ == ； （ 2）原式 =﹣ ? =﹣ ． 【點評】 此題考查了實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵． 21．分解因式： （ 1） 3x﹣ 12x3； （ 2） 3m（ 2x﹣ y） 2﹣ 3mn2． 【考點】 提公因式法與公式法的綜合運用． 【分析】 （ 1）直接提取公因式 3x，再利用平方差公式分解因式； （ 2）直接提取公因式 3m，再利用平方差公式分解因式． 【解答】 解：（ 1） 3x﹣ 12x3 =3x（ 1﹣ 4x2） =3x（ 1+2x）（ 1﹣ 2x）； （ 2）原式 =3m[（ 2x﹣ y） 2﹣ n2] =3m（ 2x﹣ y+n）（ 2x﹣ y﹣ n）； 【點評】 此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運用公式是解題關鍵． 四、解答題（本大題共 4 小題，共 22 分） 22．（ 2022 秋 ?天津期末）如右圖，已知 DE⊥ AC， BF⊥ AC，垂足分別是 E、 F，AE=CF， DC∥ AB， （ 1）試證明： DE=BF； （ 2）連接 DF、 BE，猜想 DF 與 BE 的關系？并證明你的猜想的正確性． 【考點】 全等三角形的判定與性質． 【分析】 （ 1）求出 AF=CE， ∠ AFB=∠ DEC=90176。，根據(jù)平行線的性質得出 ∠ DCE=∠ BAF，根據(jù) ASA 推出 △ AFB≌△ CED 即可； （ 2）根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質得出即可． 【解答】 （ 1）證明： ∵ AE=CF， ∴ AE+EF=CF+EF， ∴ AF=CE， ∵ DE⊥ AC， BF⊥ AC， ∴∠ AFB=∠ DEC=90176。， ∵ DC∥ AB， ∴∠ DCE=∠ BAF， 在 △ AFB 和 △ CED 中 ∴△ AFB≌△ CED， ∴ DE=EF； （ 2） DF=BE， DF∥ BE， 證明： ∵ DE⊥ AC， BF⊥ AC， ∴ DE∥ BF， ∵ DE=BF， ∴ 四邊形 DEBF 是平行四邊形， ∴ DF=BE， DF∥ BE． 【點評】 本題考查了全等三角形的性質和判定，平行線的性質，平行四邊形的性質和判定的應用，注意：全等三角形的判定定理有 SAS， ASA， AAS， SSS， HL，全等三角形的對應邊相等，對應角相等． 23．（ 2022 秋 ?天津期末）如圖、已知 ∠ AOB=30176。， OC 平分 ∠ AOB， P 為 OC 上任意一點， PD∥ OA 交 OB 于 D， PE⊥ OA 于 E．如果 OD=4cm，求 PE 的長． 【考點】 含 30 度角的直角三角形；角平分線的性質． 【分析】 過 P 作 PF⊥ OB 于 F，根據(jù)角平分線的定義可得 ∠ AOC=∠ BOC=15176。，根據(jù)平行線的性質可得 ∠ DPO=∠ AOP=15176。，從而可得 PD=OD，再根據(jù) 30 度所對的邊是斜邊的一半可求得 PF 的長，最后根據(jù)角平分線的性質即可求得 PE 的長． 【解答】 解：過 P 作 PF⊥ OB 于 F， ∵∠ AOB=30176。， OC 平分 ∠ AOB， ∴∠ AOC=∠ BOC=15176。， ∵ PD∥ OA， ∴∠ DPO=∠ AOP=15176。， ∴∠ BOC=∠ DPO， ∴ PD=OD=4cm， ∵∠ AOB=30176。， PD∥ OA， ∴∠ BDP=30176。， ∴ 在 Rt△ PDF 中， PF= PD=2cm， ∵ OC 為角平分線， PE⊥ OA， PF⊥ OB， ∴ PE=PF， ∴ PE=PF=2cm． 【點評】 此題主要考查：（ 1）含 30176。度的直角三角形的性質：在直角三角形中，30176。角所對的直角邊等于斜邊的一半． （ 2）角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等． 24．（ 2022?貴陽模擬）在一次 “手拉手 ”捐款活動中，某同學對甲．乙兩班捐款的情況進行統(tǒng)計，得到如下三條信息： 信息一．甲班共捐款 120 元，乙班共捐款 88 元； 信息二．乙班平均每人捐款數(shù)比甲班平均每人捐款數(shù)的 倍； 信息三．甲班比乙班多 5 人． 請你根據(jù)以上三條信息，求出甲班平均每人捐款多少元？ 【考點】 分式方程的應用． 【分析】 設甲班平均每人捐款為 x 元，根據(jù)甲班比乙班多 5 人，以人數(shù)做為等量關系可列方程求解，從而求出結果． 【解答】 解：設甲班平均每人捐款為 x 元， 依題意得 整理得： 4x=8，解之得 x=2 經檢驗， x=2 是原方程的解． 答：甲班平均每人捐款 2 元 【點評】 本題考查理解題意的能力，關鍵是以人數(shù)做為等量關系，列方程可求出解． 25．（ 2022 秋 ?安圖縣期末）已知 △ ABC 為等邊三角形，點 D 為直線 BC 上的一動點（點 D 不與 B、 C 重合），以 AD 為邊作等邊 △ ADE（頂點 A、 D、 E 按逆時針方向排列），連接 CE． （ 1）如圖 1，當點 D 在邊 BC 上時，求證： ① BD=CE， ② AC=CE+CD； （ 2）如圖 2，當點 D 在邊 BC 的延長線上且其他條件不變時，結論 AC=CE+CD 是否成立？若不成立，請寫出 AC、 CE、 CD 之間存在的數(shù)量關系，并說明理由； （ 3）如圖 3，當點 D 在邊 BC 的反向延長線上且其他條件不變時，補全圖形，并直接寫出 AC、 CE、 CD 之間存在的數(shù)量關系． 【考點】 全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質． 【分析】 （ 1）根據(jù)等邊三角形的性質及等式的性質就可以得出 △ ABD≌△ ACE，從而得出結論； （ 2）根據(jù)等邊三角形的性質及等式的性質就可以得出 △ ABD≌△ ACE，就可以得出 BD=CE，就可以得出 AC=CE﹣ CD； （ 3）先根據(jù)條件畫出圖形，根據(jù)等邊三角形的性質及等式的性質就可以得出 △ABD≌△ ACE，就可以得出 BD=CE，就可以得出 AC=CD﹣ CE． 【解答】 解：（ 1） ∵△ ABC 和 △ ADE 都是等邊三角形， ∴ AB=AC=BC， AD=AE， ∠ BAC=∠ DAE=60176。． ∴∠ BAC﹣ ∠ CAD=∠ DAE﹣ ∠ CAD，即 ∠ BAD=∠ CAE． 在 △ ABD 和 △ ACE 中， ， ∴△ ABD≌△ ACE（ SAS）， ∴ BD=CE． ∵ BC=BD+CD， AC=BC， ∴ AC=CE+CD； （ 2） AC=CE+CD 不成立， AC、 CE、 CD 之間存在的數(shù)量關系是： AC=CE﹣ CD． 理由： ∵△ ABC 和 △ ADE 都是等邊三角形， ∴ AB=AC=BC， AD=AE， ∠ BAC=∠ DAE=60176。． ∴∠ BAC+∠ CAD=∠ DAE+∠ CAD， ∴∠ BAD=∠ CAE 在 △ ABD 和 △ ACE 中， ∴△ ABD≌△ ACE（ SAS） ∴ BD=CE ∴ CE﹣ CD=BD﹣ CD=BC=AC， ∴ AC=CE﹣ CD； （ 3）補全圖形（如圖） AC、 CE、 CD 之間存在的數(shù)量關系是： AC=CD﹣ CE． 理由： ∵△ ABC 和 △ ADE 都是等邊三角形， ∴ AB=AC=BC， AD=AE， ∠ BAC=∠ DAE=60176。． ∴∠ BAC﹣ ∠ BAE=∠ DAE﹣ ∠ BAE， ∴∠ BAD=∠ CAE 在 △ ABD 和 △ ACE 中， ∴△ ABD≌△ ACE（ SAS） ∴ BD=CE． ∵ BC=CD﹣ BD， ∴ BC=CD﹣ CE， ∴ AC=CD﹣ CE． 【點評】 本題考查了等邊三角形的性質的運用，等式的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．