【正文】 D， ∴∠ FAD=∠ D， ∵ GB⊥ AB， ∴∠ GAB+∠ G=∠ D+∠ DCB=90176。， ∴∠ DCB=∠ G， ∵∠ DCB=∠ GCF， ∴∠ GCF=∠ G ， ∴ FC=FG； （ 2）連接 AC，如圖所示： ∵ AB⊥ BG， ∴ AC 是 ⊙ O 的直徑， ∵ FD 是 ⊙ O 的切線，切點為 C， ∴∠ DCB=∠ CAB， ∵∠ DCB=∠ G， ∴∠ CAB=∠ G， ∵∠ CBA=∠ GBA=90176。， ∴△ ABC∽△ GBA， ∴ = ， ∴ AB2=BC?BG． 24．如圖，在平面直角坐標系中，點 O 為坐標原點，拋物線 y=ax2+bx+5 經(jīng)過點 M（ 1， 3）和 N（ 3， 5） （ 1）試判斷該拋物線與 x 軸交點的情況； （ 2）平移這條拋物線，使平移后的拋物線經(jīng)過點 A（﹣ 2， 0），且與 y 軸交于點 B，同時滿足以 A、 O、 B 為頂點的三角形是等腰直角三角形，請你寫出平移過程，并說明理由． 第 21 頁（共 25 頁） 【考點】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）把 M、 N 兩點的坐標代入拋物線解析式可求得 a、 b 的值，可求得拋物線解析式，再根據(jù)一元二次方程根的判別式，可判斷拋物線 與 x 軸的交點情況； （ 2）利用 A 點坐標和等腰三角形的性質(zhì)可求得 B 點坐標，設(shè)出平移后的拋物線的解析式，把 A、 B 的坐標代入可求得平移后的拋物線的解析式，比較平移前后拋物線的頂點的變化即可得到平移的過程． 【解答】 解： （ 1）由拋物線過 M、 N 兩點， 把 M、 N 坐標代入拋物線解析式可得 ，解得 ， ∴ 拋物線解析式為 y=x2﹣ 3x+5， 令 y=0 可得 x2﹣ 3x+5=0， 該方程的判別式為 △ =（﹣ 3） 2﹣ 415=9﹣ 20=﹣ 11＜ 0， ∴ 拋物線與 x 軸沒有交點； （ 2） ∵△ AOB 是等腰直角三角形， A（﹣ 2， 0），點 B 在 y 軸上， ∴ B 點坐標為（ 0， 2）或（ 0，﹣ 2）， 可設(shè)平移后的拋物線解析式為 y=x2+mx+n， ①當拋物線過點 A（﹣ 2， 0）， B（ 0， 2）時，代入可得 ，解得 ， ∴ 平移后的拋物線為 y=x2+3x+2， ∴ 該拋物線的頂點坐標為（﹣ ，﹣ ），而原拋物線頂點坐標為（ ， ）， ∴ 將原拋物線先向左平移 3 個單位，再向下平移 3 個單位即可獲得符合條件的拋物線； ②當拋物線過 A（﹣ 2， 0）， B（ 0，﹣ 2）時，代入可得 ，解得 ， ∴ 平移后的拋物線為 y=x2+x﹣ 2， ∴ 該拋物線的頂點坐標為（﹣ ，﹣ ），而原拋物線頂 點坐標為（ ， ）， ∴ 將原拋物線先向左平移 2 個單位，再向下平移 5 個單位即可獲得符合條件的拋物線． 25．問題提出 （ 1）如圖 ①，已知 △ ABC，請畫出 △ ABC 關(guān)于直線 AC 對稱的三角形． 第 22 頁（共 25 頁） 問題探究 （ 2）如圖 ②，在矩形 ABCD 中， AB=4， AD=6， AE=4， AF=2，是否在邊 BC、 CD 上分別存在點 G、 H，使得四邊形 EFGH 的周長最??？若存在，求出它周長的最小值；若不存在，請說明理由． 問題解決 （ 3）如圖 ③，有一矩形板材 ABCD， AB=3 米， AD=6 米，現(xiàn)想從此板材中裁出一個面積盡可能大的四邊形 EFGH 部件，使 ∠ EFG=90176。， EF=FG= 米， ∠ EHG=45176。，經(jīng)研究，只有當點 E、 F、 G 分別在邊 AD、 AB、 BC 上，且 AF＜ BF，并滿足點 H 在矩形 ABCD 內(nèi)部或邊上時，才有可能裁出符合要求的部件，試問能否裁得符合要求的面積盡可能大的四邊形EFGH 部件？若能，求出裁得的四邊形 EFGH 部件的面積；若不能，請說明理由． 【考點】 四邊形綜合題． 【分析】 （ 1）作 B 關(guān)于 AC 的對稱點 D，連接 AD， CD， △ ACD 即為所求； （ 2）作 E 關(guān)于 CD 的對稱點 E′，作 F 關(guān)于 BC 的對稱點 F′，連接 E′F′，得到此時四邊形 EFGH的周長最小，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到 BF′=BF=AF=2， DE′=DE=2， ∠ A=90176。，于是得到 AF′=6，AE′=8，求出 E′F′=10， EF=2 即可得到結(jié)論； （ 3）根據(jù)余角的性質(zhì)得到 1=∠ 2，推出 △ AEF≌△ BGF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 AF=BG，AE=BF，設(shè) AF=x，則 AE=BF=3﹣ x 根據(jù)勾股定理列方程得到 AF=BG=1， BF=AE=2，作 △ EFG關(guān)于 EG 的對稱 △ EOG，則四邊形 EFGO 是正方形， ∠ EOG=90176。，以 O 為圓心，以 EG 為半徑作 ⊙ O，則 ∠ EHG=45176。的點在 ⊙ O 上，連接 FO， 并延長交 ⊙ O 于 H′，則 H′在 EG 的垂直平分線上，連接 EH′GH′，則 ∠ EH′G=45176。，于是得到四邊形 EFGH′是符合條件的最大部件，根據(jù)矩形的面積公式即可得到結(jié)論． 【解答】 解：（ 1）如圖 1， △ ADC 即為所求； （ 2）存在，理由：作 E 關(guān)于 CD 的對稱點 E′， 作 F 關(guān)于 BC 的對稱點 F′， 連接 E′F′，交 BC 于 G，交 CD 于 H，連接 FG， EH， 則 F′G=FG， E′H=EH，則此時四邊形 EFGH 的周長最小， 由題意得： BF′=BF=AF=2， DE′=DE=2， ∠ A=90176。， ∴ AF′=6， AE′=8， ∴ E′F′=10， EF=2 ， ∴ 四邊形 EFGH 的周長的最小值 =EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=2 +10， ∴ 在邊 BC、 CD 上分別存在點 G、 H， 使得四邊形 EFGH 的周長最小， 最小值為 2 +10； （ 3）能裁得， 理由： ∵ EF=FG= ， ∠ A=∠ B=90176。， ∠ 1+∠ AFE=∠ 2+AFE=90176。， ∴∠ 1=∠ 2， 第 23 頁（共 25 頁） 在 △ AEF 與 △ BGF 中， ， ∴△ AEF≌△ BGF， ∴ AF=BG， AE=BF，設(shè) AF=x，則 AE=BF=3﹣ x， ∴ x2+（ 3﹣ x） 2=（ ） 2，解得： x=1， x=2（不合題意，舍去）， ∴ AF=BG=1， BF=AE=2， ∴ DE=4， CG=5， 連接 EG， 作 △ EFG 關(guān)于 EG 的對稱 △ EOG， 則四邊形 EFGO 是正方形， ∠ EOG=90176。， 以 O 為圓心，以 EG 為半徑作 ⊙ O， 則 ∠ EHG=45176。的點在 ⊙ O 上， 連接 FO，并延長交 ⊙ O 于 H′，則 H′在 EG 的垂直平分線上， 連接 EH′GH′，則 ∠ EH′G=45176。， 此時，四邊形 EFGH′是要想裁得符合要求的面積最大的， ∴ C 在線段 EG 的垂直平分線設(shè)， ∴ 點 F， O， H′， C 在一條直線上， ∵ EG= ， ∴ OF=EG= ， ∵ CF=2 ， ∴ OC= ， ∵ OH′=OE=FG= ， ∴ OH′＜ OC， ∴ 點 H′在矩形 ABCD 的內(nèi)部， ∴ 可以在矩形 ABCD 中，裁得符合條件的面積最大的四邊形 EFGH′部件， 這個部件的面積 = EG?FH′= （ + ） =5+ ， ∴ 當所裁得的四邊形部件為四邊形 EFGH′時，裁得了符合條件的最大部件，這個部件的面積為（ 5+ ） m2． 第 24 頁（共 25 頁） 第 25 頁（共 25 頁） 2022年 7月 12日