【正文】 函數(shù)，利用一次函數(shù)的性質解決問題，屬于中考?？碱}型． 23．（ 10 分）（ 2022?恩施州）如圖，在 ⊙ O 中，直徑 AB 垂直弦 CD 于 E，過點A 作 ∠ DAF=∠ DAB，過點 D 作 AF 的垂線，垂足為 F，交 AB 的延長線于點 P，連接 CO 并延長交 ⊙ O 于點 G，連接 EG，已知 DE=4， AE=8． （ 1）求證： DF 是 ⊙ O 的切線； （ 2）求證： OC2=OE?OP； （ 3）求線段 EG 的長． 【考點】 圓的綜合題． 【分析】 （ 1）連接 OD，由等腰三角形的性質得 出 ∠ DAB=∠ ADO，再由已知條件得出 ∠ ADO=∠ DAF，證出 OD∥ AF，由已知 DF⊥ AF，得出 DF⊥ OD，即可得出結論； （ 2）由射影定理得出 OD2=OE?OP，由 OC=OD，即可得出 OC2=OE?OP； （ 3）由垂徑定理得出 DE=CE=4， ∠ OEC=90176。，由相交弦定理得出 DE2=AE BE，求出 BE=2，得出直徑 CG=AB=AE+BE=10，半徑 OC= CG=5，由三角函數(shù)的定義得出 cosC= = ，在 △ CEG 中，由余弦定理求出 EG2，即可得出 EG 的長． 【解答】 （ 1）證明：連接 OD，如圖所示： ∵ OA=OD， ∴∠ DAB=∠ ADO， ∵∠ DAF=∠ DAB， ∴∠ ADO=∠ DAF， ∴ OD∥ AF， 又 ∵ DF⊥ AF， ∴ DF⊥ OD， ∴ DF 是 ⊙ O 的切線； （ 2）證明：由（ 1）得： DF⊥ OD， ∴∠ ODF=90176。， ∵ AB⊥ CD， ∴ 由射影定理得： OD2=OE?OP， ∵ OC=OD， ∴ OC2=OE?OP； （ 3）解： ∵ AB⊥ CD， ∴ DE=CE=4， ∠ OEC=90176。， 由相交弦定理得： DE2=AE BE， 即 42=8 BE， 解得： BE=2， ∴ CG=AB=AE+BE=8+2=10， ∴ OC= CG=5， ∴ cosC= = ， 在 △ CEG 中，由余弦定理得： EG2=CG2+CE2﹣ 2 CG CE cosC=102+42﹣ 2 10 4 =52， ∴ EG= =2 ． 【點評】 本題是圓的綜合題目，考查了切線的判定、等腰三角形的性質、平行線的判定、射影定理、相交弦定理、余弦定理、三角函數(shù)等知識；本題綜合性強，有一定難度，特別是（ 3）中，需要運用相交弦定理、三角函數(shù)和余弦定理采才能得出結果． 24．（ 12 分）（ 2022?恩施州）如圖，在矩形 OABC 紙片中， OA=7， OC=5， D 為BC 邊上動點，將 △ OCD 沿 OD 折疊，當點 C 的對應點落在直線 l： y=﹣ x+7 上時，記為點 E， F，當點 C 的對應點落在邊 OA 上時，記為點 G． （ 1）求點 E， F 的坐標； （ 2）求經(jīng)過 E， F， G 三點的拋物線的解析式； （ 3）當點 C 的對應點落在直線 l 上時，求 CD 的長； （ 4）在（ 2）中的拋物線上是否存在點 P，使以 E， F， P 為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出點 P 的坐標；若不存在，請說明理由． 【考點】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）由點 E 在直線 l 上，設出點 E 的坐標，由翻折的特性可知 OE=OC，利用兩點間的距離公式即可得出關于 x 的無理方程，解 方程即可求出 x 值，在代入點 E 的坐標中即可得出點 E、 F 的坐標； （ 2）由 OG=OC 即可得出點 G 的坐標，根據(jù)點 E、 F、 G 的坐標利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式； （ 3）設點 D 的坐標為（ m， 5）（ m＞ 0），則 CD=m，利用 ED=CD， FD=CD 即可得出關于 m 的無理方程，解方程即可求出 m 的值，從而得出 CD 的長度； （ 4）假設存在，設點 P 的坐標為（ n，﹣ n2+6n﹣ 5），由兩點間的距離公式找出PE、 PF、 EF 的長，根據(jù)三個角分別為直角，利用勾股定理即可得出關于 n 的方程，解方程即可求出 n 的值，再代入點 P 坐標即可得出 結論． 【解答】 解：（ 1） ∵ 點 E 在直線 l： y=﹣ x+7 上， ∴ 設點 E 的坐標為（ x，﹣ x+7）， ∵ OE=OC=5， ∴ =5， 解得： x1=3， x2=4， ∴ 點 E 的坐標為（ 3， 4），點 F 的坐標為（ 4， 3）． （ 2） ∵ OG=OC=5，且點 G 在 x 正半軸上， ∴ G（ 5， 0）． 設經(jīng)過 E， F， G 三點的拋物線的解析式為 y=ax2+bx+c， 將 E（ 3， 4）、 F（ 4， 3）、 G（ 5， 0）代入 y=ax2+bx+c 中， 得： ，解得： ， ∴ 經(jīng)過 E， F， G 三點的拋物線的解析式為 y=﹣ x2+6x﹣ 5． （ 3） ∵ BC∥ x 軸，且 OC=5， ∴ 設點 D 的坐標為（ m， 5）（ m＞ 0），則 CD=m． ∵ ED=CD 或 FD=CD， ∴ =m 或 =m， 解得： m= 或 m= ． ∴ 當點 C 的對應點落在直線 l 上時， CD 的長為 或 ． （ 4）假設存在，設點 P 的坐標為（ n，﹣ n2+6n﹣ 5）， ∵ E（ 3， 4）， F（ 4， 3）， ∴ EF= = ， PE= ，PF= ． 以 E， F， P 為頂點的直角三角形有三種情況： ① 當 ∠ EFP 為直角時，有 PE2=PF2+EF2， 即（ n﹣ 3） 2+（﹣ n2+6n﹣ 9） 2=2+（ n﹣ 4） 2+（﹣ n2+6n﹣ 8） 2， 解得： n1=1， n2=4（舍去）， 此時點 P 的坐標為（ 1， 0）； ② 當 ∠ FEP 為直角時，有 PF2=PE2+EF2， 即（ n﹣ 4） 2+（﹣ n2+6n﹣ 8） 2=2+（ n﹣ 3） 2+（﹣ n2+6n﹣ 9） 2， 解得： n3=2， n4=3（舍去）， 此時點 P 的坐標為（ 2， 3）； ③ 當 ∠ EPF 為直角時，有 EF2=PE2+PF2， 即 2=（ n﹣ 3） 2+（﹣ n2+6n﹣ 9） 2+（ n﹣ 4） 2+（﹣ n2+6n﹣ 8） 2， 整理得：（ n﹣ 4）（ n﹣ 3）（ n2﹣ 5n+7） =0， ∵ 在 n2﹣ 5n+7 中 △ =（﹣ 5） 2﹣ 4 7=﹣ 3＜ 0， ∴ n2﹣ 5n+7≠ 0． 解得： n5=3（舍去）， n6=4（舍去）． 綜上可知：在（ 2）中的拋物線上存在點 P，使以 E， F， P 為頂點的三角形是直角三角形，點 P 的坐標為（ 1， 0）或（ 2， 3）． 【點評】 本題考查了兩點間的距離公式、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及勾股定理，解題的關鍵是：（ 1）根據(jù) OE=OC 得出關于 x 的無理方程；（ 2）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（ 3）根據(jù) ED=CD（ FD=CD）找出關于 m 的方程；（ 4）分三個角分別為直角三種情況考慮．本題屬于中檔題，難度不大，但解題過程稍顯繁瑣，解決該題型題目時，解決該題型題目時，利用 翻折的性質以及兩點間的距離公式找出方程是關鍵．