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湖北省恩施州中考數(shù)學(xué)試卷及答案解析(word版)-資料下載頁

2025-01-08 21:37本頁面
  

【正文】 函數(shù),利用一次函數(shù)的性質(zhì)解決問題,屬于中考??碱}型. 23.( 10 分)( 2022?恩施州)如圖,在 ⊙ O 中,直徑 AB 垂直弦 CD 于 E,過點(diǎn)A 作 ∠ DAF=∠ DAB,過點(diǎn) D 作 AF 的垂線,垂足為 F,交 AB 的延長線于點(diǎn) P,連接 CO 并延長交 ⊙ O 于點(diǎn) G,連接 EG,已知 DE=4, AE=8. ( 1)求證: DF 是 ⊙ O 的切線; ( 2)求證: OC2=OE?OP; ( 3)求線段 EG 的長. 【考點(diǎn)】 圓的綜合題. 【分析】 ( 1)連接 OD,由等腰三角形的性質(zhì)得 出 ∠ DAB=∠ ADO,再由已知條件得出 ∠ ADO=∠ DAF,證出 OD∥ AF,由已知 DF⊥ AF,得出 DF⊥ OD,即可得出結(jié)論; ( 2)由射影定理得出 OD2=OE?OP,由 OC=OD,即可得出 OC2=OE?OP; ( 3)由垂徑定理得出 DE=CE=4, ∠ OEC=90176。,由相交弦定理得出 DE2=AE BE,求出 BE=2,得出直徑 CG=AB=AE+BE=10,半徑 OC= CG=5,由三角函數(shù)的定義得出 cosC= = ,在 △ CEG 中,由余弦定理求出 EG2,即可得出 EG 的長. 【解答】 ( 1)證明:連接 OD,如圖所示: ∵ OA=OD, ∴∠ DAB=∠ ADO, ∵∠ DAF=∠ DAB, ∴∠ ADO=∠ DAF, ∴ OD∥ AF, 又 ∵ DF⊥ AF, ∴ DF⊥ OD, ∴ DF 是 ⊙ O 的切線; ( 2)證明:由( 1)得: DF⊥ OD, ∴∠ ODF=90176。, ∵ AB⊥ CD, ∴ 由射影定理得: OD2=OE?OP, ∵ OC=OD, ∴ OC2=OE?OP; ( 3)解: ∵ AB⊥ CD, ∴ DE=CE=4, ∠ OEC=90176。, 由相交弦定理得: DE2=AE BE, 即 42=8 BE, 解得: BE=2, ∴ CG=AB=AE+BE=8+2=10, ∴ OC= CG=5, ∴ cosC= = , 在 △ CEG 中,由余弦定理得: EG2=CG2+CE2﹣ 2 CG CE cosC=102+42﹣ 2 10 4 =52, ∴ EG= =2 . 【點(diǎn)評(píng)】 本題是圓的綜合題目,考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定、射影定理、相交弦定理、余弦定理、三角函數(shù)等知識(shí);本題綜合性強(qiáng),有一定難度,特別是( 3)中,需要運(yùn)用相交弦定理、三角函數(shù)和余弦定理采才能得出結(jié)果. 24.( 12 分)( 2022?恩施州)如圖,在矩形 OABC 紙片中, OA=7, OC=5, D 為BC 邊上動(dòng)點(diǎn),將 △ OCD 沿 OD 折疊,當(dāng)點(diǎn) C 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線 l: y=﹣ x+7 上時(shí),記為點(diǎn) E, F,當(dāng)點(diǎn) C 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊 OA 上時(shí),記為點(diǎn) G. ( 1)求點(diǎn) E, F 的坐標(biāo); ( 2)求經(jīng)過 E, F, G 三點(diǎn)的拋物線的解析式; ( 3)當(dāng)點(diǎn) C 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線 l 上時(shí),求 CD 的長; ( 4)在( 2)中的拋物線上是否存在點(diǎn) P,使以 E, F, P 為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形?若存在,求出點(diǎn) P 的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由. 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題. 【分析】 ( 1)由點(diǎn) E 在直線 l 上,設(shè)出點(diǎn) E 的坐標(biāo),由翻折的特性可知 OE=OC,利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出關(guān)于 x 的無理方程,解 方程即可求出 x 值,在代入點(diǎn) E 的坐標(biāo)中即可得出點(diǎn) E、 F 的坐標(biāo); ( 2)由 OG=OC 即可得出點(diǎn) G 的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn) E、 F、 G 的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式; ( 3)設(shè)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為( m, 5)( m> 0),則 CD=m,利用 ED=CD, FD=CD 即可得出關(guān)于 m 的無理方程,解方程即可求出 m 的值,從而得出 CD 的長度; ( 4)假設(shè)存在,設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為( n,﹣ n2+6n﹣ 5),由兩點(diǎn)間的距離公式找出PE、 PF、 EF 的長,根據(jù)三個(gè)角分別為直角,利用勾股定理即可得出關(guān)于 n 的方程,解方程即可求出 n 的值,再代入點(diǎn) P 坐標(biāo)即可得出 結(jié)論. 【解答】 解:( 1) ∵ 點(diǎn) E 在直線 l: y=﹣ x+7 上, ∴ 設(shè)點(diǎn) E 的坐標(biāo)為( x,﹣ x+7), ∵ OE=OC=5, ∴ =5, 解得: x1=3, x2=4, ∴ 點(diǎn) E 的坐標(biāo)為( 3, 4),點(diǎn) F 的坐標(biāo)為( 4, 3). ( 2) ∵ OG=OC=5,且點(diǎn) G 在 x 正半軸上, ∴ G( 5, 0). 設(shè)經(jīng)過 E, F, G 三點(diǎn)的拋物線的解析式為 y=ax2+bx+c, 將 E( 3, 4)、 F( 4, 3)、 G( 5, 0)代入 y=ax2+bx+c 中, 得: ,解得: , ∴ 經(jīng)過 E, F, G 三點(diǎn)的拋物線的解析式為 y=﹣ x2+6x﹣ 5. ( 3) ∵ BC∥ x 軸,且 OC=5, ∴ 設(shè)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為( m, 5)( m> 0),則 CD=m. ∵ ED=CD 或 FD=CD, ∴ =m 或 =m, 解得: m= 或 m= . ∴ 當(dāng)點(diǎn) C 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線 l 上時(shí), CD 的長為 或 . ( 4)假設(shè)存在,設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為( n,﹣ n2+6n﹣ 5), ∵ E( 3, 4), F( 4, 3), ∴ EF= = , PE= ,PF= . 以 E, F, P 為頂點(diǎn)的直角三角形有三種情況: ① 當(dāng) ∠ EFP 為直角時(shí),有 PE2=PF2+EF2, 即( n﹣ 3) 2+(﹣ n2+6n﹣ 9) 2=2+( n﹣ 4) 2+(﹣ n2+6n﹣ 8) 2, 解得: n1=1, n2=4(舍去), 此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為( 1, 0); ② 當(dāng) ∠ FEP 為直角時(shí),有 PF2=PE2+EF2, 即( n﹣ 4) 2+(﹣ n2+6n﹣ 8) 2=2+( n﹣ 3) 2+(﹣ n2+6n﹣ 9) 2, 解得: n3=2, n4=3(舍去), 此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為( 2, 3); ③ 當(dāng) ∠ EPF 為直角時(shí),有 EF2=PE2+PF2, 即 2=( n﹣ 3) 2+(﹣ n2+6n﹣ 9) 2+( n﹣ 4) 2+(﹣ n2+6n﹣ 8) 2, 整理得:( n﹣ 4)( n﹣ 3)( n2﹣ 5n+7) =0, ∵ 在 n2﹣ 5n+7 中 △ =(﹣ 5) 2﹣ 4 7=﹣ 3< 0, ∴ n2﹣ 5n+7≠ 0. 解得: n5=3(舍去), n6=4(舍去). 綜上可知:在( 2)中的拋物線上存在點(diǎn) P,使以 E, F, P 為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形,點(diǎn) P 的坐標(biāo)為( 1, 0)或( 2, 3). 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及勾股定理,解題的關(guān)鍵是:( 1)根據(jù) OE=OC 得出關(guān)于 x 的無理方程;( 2)利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;( 3)根據(jù) ED=CD( FD=CD)找出關(guān)于 m 的方程;( 4)分三個(gè)角分別為直角三種情況考慮.本題屬于中檔題,難度不大,但解題過程稍顯繁瑣,解決該題型題目時(shí),解決該題型題目時(shí),利用 翻折的性質(zhì)以及兩點(diǎn)間的距離公式找出方程是關(guān)鍵.
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