【正文】 分析： （ I）由題意，該工程施工期間降水量 X 小于 300， 700， 900 的概率分別為 ， ， ，結(jié)合某程施工期間的降水量對工期的影響，可求相應(yīng)的概率，進而可得期延誤天數(shù) Y 的均值與方差； （ Ⅱ ）利用概率的加法公式可得 P（ X≥300） =1﹣ P（ X＜ 300） =， P（ 300≤X＜ 900） =P（ X＜ 900）﹣ P（ X＜ 300） =﹣ =，利用條件概率，即可得到結(jié)論 解答： （ I）由題意， P（ X＜ 300） =， P（ 300≤X＜ 700） =P（ X＜ 700）﹣ P（ X＜ 300） =﹣ =， P（ 700≤X＜ 900） =P（ X＜ 900）﹣ P（ X＜ 700） =﹣ =， P（ X≥900） =1﹣ = Y 的分布列為 Y 0 2 6 10 P ∴ E（ Y） =0+2+6+10=3 D（ Y） =（ 0﹣ 3） 2+（ 2﹣ 3） 2+（ 6﹣ 3） 2+（ 10﹣ 3） 2= ∴ 工期延誤天數(shù) Y 的均值為 3，方差為 ； （ Ⅱ ） P（ X≥300） =1﹣ P（ X＜ 300） =， P（ 300≤X＜ 900） =P（ X＜ 900）﹣ P（ X＜ 300） =﹣ = 由條件概率可得 P（ Y≤6|X≥300） = ． 點評： 本題考查離散型隨機變量的均值與方差，考查條件概率，正確理解題意，求出概率是關(guān)鍵． 21．（ 2022?湖北）設(shè) A 是單位圓 x2+y2=1 上的任意一點， i 是過點 A 與 x 軸垂直的直線， D 是直線 i 與 x 軸的交點，點 M 在直 線 l 上，且滿足丨 DM 丨 =m 丨 DA 丨（ m＞ 0，且 m≠1）．當點 A 在圓上運動時，記點 M 的軌跡為曲線 C． （ I）求曲線 C 的方程，判斷曲線 C 為何種圓錐曲線，并求焦點坐標； （ Ⅱ ）過原點且斜率為 k 的直線交曲線 C 于 P、 Q 兩點，其中 P 在第一象限，它在 y 軸上的射影為點 N，直線 QN交曲線 C 于另一點 H，是否存在 m，使得對任意的 k＞ 0，都有 PQ⊥ PH？若存在，求 m 的值；若不存在，請說明理由． 考點 ： 直線與圓錐曲線的綜合問題；軌跡方程；圓錐曲線的軌跡問題。 專題 ： 綜合題。 分析： （ I）設(shè) M（ x， y）， A（ x0， y0）， 根據(jù)丨 DM 丨 =m 丨 DA 丨，確定坐標之間的關(guān)系 x0=x， |y0|= |y|，利用點A 在圓上運動即得所求曲線 C 的方程；根據(jù) m∈ （ 0， 1） ∪ （ 1， +∞），分類討論，可確定焦點坐標； （ Ⅱ ） ?x1∈ （ 0， 1），設(shè) P（ x1， y1）， H（ x2， y2），則 Q（ x2， y2）， N（ 0， y1），利用 P， H 兩點在橢圓 C上，可得 ，從而可得可得 ．利用 Q， N， H 三點共線，及 PQ⊥ PH，即可求得結(jié)論． 解答： 解：（ I）如圖 1，設(shè) M（ x， y）， A（ x0， y0） ∵ 丨 DM 丨 =m 丨 DA 丨， ∴ x=x0， |y|=m|y0| ∴ x0=x， |y0|= |y|① ∵ 點 A 在圓上運動， ∴ ② ①代入 ②即得所求曲線 C 的方程為 ∵ m∈ （ 0， 1） ∪ （ 1， +∞）， ∴ 0＜ m＜ 1 時，曲線 C 是焦點在 x 軸上的橢圓，兩焦點坐標分別為（ ）， m＞ 1 時，曲線 C 是焦點在 y 軸上的橢圓，兩焦點坐標分別為（ ）， （ Ⅱ ）如圖 3， ?x1∈ （ 0， 1），設(shè) P（ x1， y1）， H（ x2， y2），則 Q（ x2， y2）， N（ 0， y1）， ∵ P， H 兩點在橢圓 C 上， ∴ ①﹣ ②可得 ③ ∵ Q， N， H 三點共線， ∴ kQN=kQH， ∴ ∴ kPQ?kPH= ∵ PQ⊥ PH， ∴ kPQ?kPH=﹣ 1 ∴ ∵ m＞ 0， ∴ 故存在 ，使得在其對應(yīng)的橢圓 上，對任意 k＞ 0，都有 PQ⊥ PH 點評： 本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查代入法求軌跡方程，計算要小心． 22．（ 2022?湖北）（ I）已知函數(shù) f（ x） =rx﹣ xr+（ 1﹣ r）（ x＞ 0），其中 r 為有理數(shù)，且 0＜ r＜ 1．求 f（ x）的最小值； （ II）試用（ I）的結(jié)果證明如下命題：設(shè) a1≥0， a2≥0， b1， b2為正有理數(shù)，若 b1+b2=1，則 a1b1a2b2≤a1b1+a2b2； （ III）請將（ II）中的命題推廣到一般形式 ，并用數(shù)學歸納法證明你所推廣的命題．注：當 α為正有理數(shù)時，有求道公式（ xα） r=αxα﹣ 1． 考點 ： 數(shù)學歸納法；歸納推理。 專題 ： 綜合題。 分析： （ I）求導函數(shù)，令 f′（ x） =0，解得 x=1；確定函數(shù)在（ 0， 1）上是減函數(shù)；在（ 0， 1）上是增函數(shù)，從而可求 f（ x）的最小值； （ II）由（ I）知， x∈ （ 0， +∞）時，有 f（ x） ≥f（ 1） =0，即 xr≤rx+（ 1﹣ r），分類討論：若 a1， a2 中有一個為 0，則 a1b1a2b2≤a1b1+a2b2 成立；若 a1， a2 均不為 0， ，可得 a1b1a2b2≤a1b1+a2b2 成立 （ III）（ II）中的命題推廣到一般形式為：設(shè) a1≥0， a2≥0， …， an≥0， b1， b2， …， bn 為正有理數(shù)，若 b1+b2+…+bn=1，則 a1b1a2b2…anbn≤a1b1+a2b2+…anbn； 用數(shù)學歸納法證明：（ 1）當 n=1 時， b1=1， a1≤a1，推廣命題成立；（ 2）假設(shè)當 n=k 時，推廣命題成立，證明當 n=k+1 時，利用 a1b1a2b2…akbkak+1bk+1=（ a1b1a2b2…akbk）ak+1bk+1= ak+1bk+1，結(jié)合歸納假設(shè)，即可得到結(jié)論． 解答： （ I）解：求導函數(shù)可得： f′（ x） =r（ 1﹣ xr﹣ 1），令 f′（ x） =0，解得 x=1； 當 0＜ x＜ 1 時， f′（ x）＜ 0，所以 f（ x）在（ 0， 1）上是減函數(shù)； 當 x＞ 1 時， f′（ x）＞ 0，所以 f（ x）在（ 0， 1）上是增函數(shù) 所以 f（ x）在 x=1 處取得最小值 f（ 1） =0； （ II）解：由（ I）知， x∈ （ 0， +∞）時，有 f（ x） ≥f（ 1） =0，即 xr≤rx+（ 1﹣ r） ① 若 a1， a2中有一個為 0，則 a1b1a2b2≤a1b1+a2b2 成立； 若 a1， a2均不為 0， ∵ b1+b2=1， ∴ b2=1﹣ b1， ∴ ①中令 ，可得 a1b1a2b2≤a1b1+a2b2成立 綜上，對 a1≥0， a2≥0， b1， b2 為正有理數(shù)，若 b1+b2=1，則 a1b1a2b2≤a1b1+a2b2； ② （ III）解：（ II）中的命題推廣到一般形式為：設(shè) a1≥0， a2≥0， …， an≥0， b1， b2， …， bn為正有理數(shù)，若 b1+b2+…+bn=1，則 a1b1a2b2…anbn≤a1b1+a2b2+…anbn； ③ 用數(shù)學歸納法證明 （ 1）當 n=1 時， b1=1， a1≤a1， ③成立 （ 2）假設(shè)當 n=k 時， ③成立，即 a1≥0， a2≥0， …， ak≥0， b1， b2， …， bk為正有理數(shù)，若 b1+b2+…+bk=1，則a1b1a2b2…akbk≤a1b1+a2b2+…akbk． 當 n=k+1 時， a1≥0， a2≥0， …， ak+1≥0， b1， b2， …， bk+1 為正有理數(shù)，若 b1+b2+…+bk+1=1，則 1﹣ bk+1＞ 0 于是 a1b1a2b2…akbkak+1bk+1=（ a1b1a2b2…akbk） ak+1bk+1= ak+1bk+1 ∵ + +…+ =1 ∴ … ≤ + +…+ = ∴ ak+1bk+1≤ ?（ 1﹣ bk+1） +ak+1bk+1， ∴ a1b1a2b2…akbkak+1bk+1≤a1b1+a2b2+…akbk+ak+1bk+1． ∴ 當 n=k+1 時， ③成立 由（ 1）（ 2）可知，對一切正整數(shù)，推廣的命題成立． 點評： 本題考查導數(shù)知識的運用，考查不等式的證明，考查數(shù)學歸納法，解題的關(guān)鍵是分類討論，正確運用已證得的結(jié)論，掌握數(shù)學歸納法的證題步驟，屬于難題．