【正文】 當 2a?? 時， 12x a x a? ? ? ?， ，從而 ()fx? 有 ()fx的定義域內(nèi)沒有零點，故 ()fx無極值 當 2a? 時， 1xa?? ， 2xa?? ， ()fx? 在 ()fx的定義域內(nèi)有兩個不同的零點，由根值判別方法知 ()fx在 12x x x x??， 取得極值． 綜上， ()fx存在極值時， a 的取值范圍為 ( 2 )?， ∞ ()fx的極值之和為 221 2 1 1 2 2( ) ( ) l n( ) l n( )f x f x x a x x a x? ? ? ? ? ? ? 21ln 1 1 ln 2 ln22ea? ? ? ? ? ? 22． A 解： （Ⅰ）證明：連結 OP OM， 因為 AP 與⊙ O 相切于點 P ，所以 OP AP? 因為 M 是⊙ O 的弦 BC 的中點，所以 OM BC? 于是 180OPA OM A? ? ? ? 176。，由圓心 O 在 PAC? 的內(nèi)部，可知四邊形 APOM的對角互補，所以 A P O M， ， ， 四點共圓 A P O M C B : ２８ （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 A P O M， ， ， 四點共圓，所以 OAM OPM? ? ? ． 由（Ⅰ）得 OP AP? 由圓心 O 在 PAC? 的內(nèi)部，可知 90OPM APM? ? ? ? 176。 所以 90OAM APM? ? ? ? 176。 B 解： 解：以極點為原點，極軸為 x 軸正半軸，建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位。 （Ⅰ） cosx ??? ， siny ??? ，由 4cos??? 得 2 4 cos? ? ?? 所以 224x y x?? 即 2240x y x? ? ? 為⊙ 1O 的直角坐標方程。 同理 2240x y y? ? ? 為⊙ 2O 的直角坐標方程。 （Ⅱ）由 22224040x y xx y y? ? ? ???? ? ???， 解得 1100xy??? ??， 2222xy??? ??? 即⊙ 1O ，⊙ 2O 交于點 (00)， 和 (2 2)?， 過交點的直線的直角坐標方程為 yx?? C 解： （Ⅰ）令 2 1 4y x x? ? ? ?，則 15213 3 4254xxy x xxx?? ? ????? ? ? ? ???? ???， ， ， ．≤≥ ．．．．．． 3 分 12? O 2y? 4 x y : ２９ 作出函數(shù) 2 1 4y x x? ? ? ?的圖象，它與直線 2y? 的交點為 ( 72)?， 和 523??????， 所以 2 1 4 2xx? ? ? ?的解集為 5( 7 )3???? ? ? ?????， ， （Ⅱ）由函數(shù) 2 1 4y x x? ? ? ?的圖像可知，當 12x?? 時， 2 1 4y x x? ? ? ?取得最小值 92? 2022 年 普通高等學校統(tǒng)一考試（寧夏卷） 數(shù)學（理科）參考答案 一、選擇題 1． B 2． B 3． D 4． C 5． A 6． B 7． C 8． D 9． A 10． D 11． A 12． C 二、填空題 13． 3 14． 3215 15． 43? 16． 1．乙品種棉花的纖維平均長度大于甲品種棉花的纖維平均長度（或：乙品種棉花的纖維長度普遍大于甲品種棉花的纖維長度）． 2．甲品種棉花的纖 維長度較乙品種棉花的纖維長度更分散．（或：乙品種棉花的纖維長度較甲品種棉花的纖維長度更集中（穩(wěn)定）．甲品種棉花的纖維長度的分散程度比乙品種棉花的纖維長度的分散程度更大）． 3．甲品種棉花的纖維長度的中位數(shù)為 307mm，乙品種棉花的纖維長度的中位數(shù)為 318mm． 4．乙品種棉花的纖維長度基本上是對稱的，而且大多集中在中間（均值附近）．甲品種棉花的纖維長度除一個特殊值（ 352）外，也大致對稱，其分布較均勻． 三、解答題 17．解： （ Ⅰ ）設 ??na 的公差為 d ，由已知條件， 11145adad???? ? ???，解出 1 3a? ， 2d?? ． 所以 1 ( 1 ) 2 5na a n d n? ? ? ? ? ?． （ Ⅱ ） 21 ( 1 ) 42n nnS n a d n n?? ? ? ? ?24 ( 2)n? ? ?． 所以 2n? 時， nS 取到最大值 4 ． 18．解： 如圖，以 D 為原點， DA 為單位長建立空間直角坐標系 D xyz? ． C D P A? B? C? D? y z H : ３０ 則 (10 0)DA? ， ，uuur ， (0 01)CC?? ， ，uuur ． 連結 BD ， BD??． 在平面 BBDD?? 中，延長 DP 交 BD??于 H ． 設 ( 1)( 0 )D H m m m??， ，uuur ， 由已知 60DH DA? ??， ouuur uuur ， 由 c o sD A D H D A D H D A D H? ? ?，u uur u u ur u uur u u ur u uur u u urg 可得 22 2 1mm??． 解得 22m? ，所以 22122DH ??? ????， ，uuur ． （ Ⅰ ）因為220 0 1 1 2c os 212D H C C ? ? ? ? ??? ?? ??，u u ur u u ur ， 所以 45DH C C ?? ??， ouuur uuur ． 即 DP 與 CC? 所成的角為 45 ． （ Ⅱ ）平面 AADD?? 的一個法向量是 (010)DC? ， ，uuur ． 因為220 1 1 0 1c os 212D H D C ? ? ? ? ?? ?? ??，u u ur u u ur ， 所以 60DH DC? ??， ouuur uuur ． 可得 DP 與平面 AADD?? 所成的角為 30 ． 19．解： （ Ⅰ ）由題設可知 1Y 和 2Y 的分布列 分別為 1 5 10 6EY ? ? ? ? ?， 221 ( 5 6) 0. 8 (10 6) 0. 2 4DY ? ? ? ? ? ? ?， 2 2 8 12 8EY ? ? ? ? ? ? ?， Y1 5 10 P Y2 2 8 12 P : ３１ 2 2 22 ( 2 8 ) 0. 2 ( 8 8 ) 0. 5 ( 12 8 ) 0. 3 12DY ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． （ Ⅱ ）12100() 1 0 0 1 0 0xxf x D Y D Y?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 22121001 0 0 1 0 0xxD Y D Y?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 2224 3 (1 0 0 )100 xx??? ? ??? 2224 ( 4 6 0 0 3 1 0 0 )100 xx? ? ? ?， 當 600 7524x ??? 時， ( ) 3fx? 為最小值． 20．解： （ Ⅰ ）由 2C ： 2 4yx? 知 2(10)F ， ． 設 11()M x y， ， M 在 2C 上，因為2 53MF?，所以1 51 3x ??， 得1 23x?，1 263y ?． M 在 1C 上，且橢圓 1C 的半焦距 1c? ， 于是 2222481931.abba? ????????， 消去 2b 并整理得 429 37 4 0aa? ? ?， 解得 2a? （ 13a? 不合題意，舍去）． 故橢圓 1C 的方程為 22143xy??． （ Ⅱ ）由 12M F M F M N??uuur uuuur uuur知四邊形 12MFNF 是平行四邊形，其中心為坐標原點 O ， 因為 l MN∥ ，所以 l 與 OM 的斜率相同， 故 l 的斜率263 623k ??． 設 l 的方程為 6( )y x m??． : ３２ 由 223 4 126 ( )xyy x m? ????????， 消去 y 并化簡得 229 16 8 4 0x m x m? ? ? ?． 設 11()Ax y， ， 22()B x y， ， 12169mxx??， 212 849mxx ??． 因為 OA OB?uur uuur ，所以 1 2 1 2 0x x y y??． 1 2 1 2 1 2 1 26( ) ( )x x y y x x x m x m? ? ? ? ? 21 2 1 27 6 ( ) 6x x m x x m? ? ? ? 2 28 4 1 67 6 699mmmm?? ? ?gg 21 (14 28) 09 m? ? ?． 所以 2m?? ． 此時 22(1 6 ) 4 9 ( 8 4 ) 0mm? ? ? ? ? ?， 故所求直線 l 的方 程為 6 2 3yx??，或 6 2 3yx??． 21．解： （ Ⅰ ）21() ()f x a xb? ?? ?， 于是212321 0(2 )a ba b? ??? ???? ?????， 解得 11ab??? ??? ， ， 或948.3ab? ????? ????， 因 ab?Z， ，故 1() 1f x x x???． （ Ⅱ ）證明：已知 函數(shù) 1yx? ，2 1y x?都是奇函數(shù)． 所以函數(shù) 1()g x x x?? 也是奇函數(shù)，其圖像是以原點為中心的中心對稱圖形． 而 1( ) 1 11f x x x? ? ? ??． : ３３ 可知，函數(shù) ()gx 的圖像按向量 (11)? ，a 平移，即得到函數(shù) ()fx的圖像，故函 數(shù) ()fx的圖像是以點 (11)， 為中心的中心對稱圖形． （ Ⅲ ） 證明：在曲線上任取一點00 01 1xx x????????，． 由0 20 1()1 ( 1)fx x? ?? ?知，過此點的切線方程為 20002022 11 ( )1 ( 1 )xxy x xxx????? ? ? ???????． 令 1x? 得 0011xy x ?? ? ，切線與直線 1x? 交點為 0011 1xx????????， ． 令 yx? 得 021yx??，切線與直線 yx? 交點為 00(2 1 2 1)xx??， ． 直線 1x? 與直線 yx? 的交點為 (11)， ． 從而所圍三角形的面積為 0000011 1 21 2 1 1 2 2 22 1 2 1x xxxx? ? ? ? ? ? ???． 所以，所圍三角形的面積為定值 2 ． 22．解： （ Ⅰ ）證明：因為 MA 是圓 O 的切線，所以 OA AM? ． 又因為 AP OM? ．在 Rt OAM△ 中 ，由射影定理知， 2OA OM OP? g ． （ Ⅱ ）證明：因為 BK 是圓 O 的切線， BN OK? ． 同（ Ⅰ ），有 2OB ON OK? g ，又 OB OA? ， 所以 O P O M O N O K?gg，即 ON OMOP OK? ． 又 NOP MOK?∠ ∠ ， 所以 ONP OMK△ ∽ △ ，故 90O K M O PN??∠ ∠ ． 23．解： （ Ⅰ ） 1C 是圓， 2C 是直線． 1C 的普通方程為 221xy??，圓心 1(00)C ， ，半 徑 1r? ． 2C 的普通方程為 20xy? ? ? ． : ３４ 因為圓心 1C 到直線 20xy? ? ? 的距離為 1， 所以 2C 與 1C 只有一個公共點． （ Ⅱ ）壓 縮后的參數(shù)方程分別為 1C? ：cos1sin2xy?????? ???， （ ? 為參數(shù)）； 2C? ：2 2224xtyt? ?????? ???，（ t 為參數(shù)）． 化為普通方程為： 1C? ： 2241xy??， 2C? ：