【正文】 當(dāng) 2a?? 時(shí)， 12x a x a? ? ? ?， ，從而 ()fx? 有 ()fx的定義域內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，故 ()fx無(wú)極值 當(dāng) 2a? 時(shí)， 1xa?? ， 2xa?? ， ()fx? 在 ()fx的定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，由根值判別方法知 ()fx在 12x x x x??， 取得極值． 綜上， ()fx存在極值時(shí)， a 的取值范圍為 ( 2 )?， ∞ ()fx的極值之和為 221 2 1 1 2 2( ) ( ) l n( ) l n( )f x f x x a x x a x? ? ? ? ? ? ? 21ln 1 1 ln 2 ln22ea? ? ? ? ? ? 22． A 解： （Ⅰ）證明：連結(jié) OP OM， 因?yàn)?AP 與⊙ O 相切于點(diǎn) P ，所以 OP AP? 因?yàn)?M 是⊙ O 的弦 BC 的中點(diǎn)，所以 OM BC? 于是 180OPA OM A? ? ? ? 176。，由圓心 O 在 PAC? 的內(nèi)部，可知四邊形 APOM的對(duì)角互補(bǔ)，所以 A P O M， ， ， 四點(diǎn)共圓 A P O M C B : ２８ （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 A P O M， ， ， 四點(diǎn)共圓，所以 OAM OPM? ? ? ． 由（Ⅰ）得 OP AP? 由圓心 O 在 PAC? 的內(nèi)部，可知 90OPM APM? ? ? ? 176。 所以 90OAM APM? ? ? ? 176。 B 解： 解：以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 x 軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位。 （Ⅰ） cosx ??? ， siny ??? ，由 4cos??? 得 2 4 cos? ? ?? 所以 224x y x?? 即 2240x y x? ? ? 為⊙ 1O 的直角坐標(biāo)方程。 同理 2240x y y? ? ? 為⊙ 2O 的直角坐標(biāo)方程。 （Ⅱ）由 22224040x y xx y y? ? ? ???? ? ???， 解得 1100xy??? ??， 2222xy??? ??? 即⊙ 1O ，⊙ 2O 交于點(diǎn) (00)， 和 (2 2)?， 過(guò)交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為 yx?? C 解： （Ⅰ）令 2 1 4y x x? ? ? ?，則 15213 3 4254xxy x xxx?? ? ????? ? ? ? ???? ???， ， ， ．≤≥ ．．．．．． 3 分 12? O 2y? 4 x y : ２９ 作出函數(shù) 2 1 4y x x? ? ? ?的圖象，它與直線 2y? 的交點(diǎn)為 ( 72)?， 和 523??????， 所以 2 1 4 2xx? ? ? ?的解集為 5( 7 )3???? ? ? ?????， ， （Ⅱ）由函數(shù) 2 1 4y x x? ? ? ?的圖像可知，當(dāng) 12x?? 時(shí)， 2 1 4y x x? ? ? ?取得最小值 92? 2022 年 普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試（寧夏卷） 數(shù)學(xué)（理科）參考答案 一、選擇題 1． B 2． B 3． D 4． C 5． A 6． B 7． C 8． D 9． A 10． D 11． A 12． C 二、填空題 13． 3 14． 3215 15． 43? 16． 1．乙品種棉花的纖維平均長(zhǎng)度大于甲品種棉花的纖維平均長(zhǎng)度（或：乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度普遍大于甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度）． 2．甲品種棉花的纖 維長(zhǎng)度較乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度更分散．（或：乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度較甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度更集中（穩(wěn)定）．甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度的分散程度比乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度的分散程度更大）． 3．甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度的中位數(shù)為 307mm，乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度的中位數(shù)為 318mm． 4．乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度基本上是對(duì)稱的，而且大多集中在中間（均值附近）．甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度除一個(gè)特殊值（ 352）外，也大致對(duì)稱，其分布較均勻． 三、解答題 17．解： （ Ⅰ ）設(shè) ??na 的公差為 d ，由已知條件， 11145adad???? ? ???，解出 1 3a? ， 2d?? ． 所以 1 ( 1 ) 2 5na a n d n? ? ? ? ? ?． （ Ⅱ ） 21 ( 1 ) 42n nnS n a d n n?? ? ? ? ?24 ( 2)n? ? ?． 所以 2n? 時(shí)， nS 取到最大值 4 ． 18．解： 如圖，以 D 為原點(diǎn)， DA 為單位長(zhǎng)建立空間直角坐標(biāo)系 D xyz? ． C D P A? B? C? D? y z H : ３０ 則 (10 0)DA? ， ，uuur ， (0 01)CC?? ， ，uuur ． 連結(jié) BD ， BD??． 在平面 BBDD?? 中，延長(zhǎng) DP 交 BD??于 H ． 設(shè) ( 1)( 0 )D H m m m??， ，uuur ， 由已知 60DH DA? ??， ouuur uuur ， 由 c o sD A D H D A D H D A D H? ? ?，u uur u u ur u uur u u ur u uur u u urg 可得 22 2 1mm??． 解得 22m? ，所以 22122DH ??? ????， ，uuur ． （ Ⅰ ）因?yàn)?20 0 1 1 2c os 212D H C C ? ? ? ? ??? ?? ??，u u ur u u ur ， 所以 45DH C C ?? ??， ouuur uuur ． 即 DP 與 CC? 所成的角為 45 ． （ Ⅱ ）平面 AADD?? 的一個(gè)法向量是 (010)DC? ， ，uuur ． 因?yàn)?20 1 1 0 1c os 212D H D C ? ? ? ? ?? ?? ??，u u ur u u ur ， 所以 60DH DC? ??， ouuur uuur ． 可得 DP 與平面 AADD?? 所成的角為 30 ． 19．解： （ Ⅰ ）由題設(shè)可知 1Y 和 2Y 的分布列 分別為 1 5 10 6EY ? ? ? ? ?， 221 ( 5 6) 0. 8 (10 6) 0. 2 4DY ? ? ? ? ? ? ?， 2 2 8 12 8EY ? ? ? ? ? ? ?， Y1 5 10 P Y2 2 8 12 P : ３１ 2 2 22 ( 2 8 ) 0. 2 ( 8 8 ) 0. 5 ( 12 8 ) 0. 3 12DY ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． （ Ⅱ ）12100() 1 0 0 1 0 0xxf x D Y D Y?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 22121001 0 0 1 0 0xxD Y D Y?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 2224 3 (1 0 0 )100 xx??? ? ??? 2224 ( 4 6 0 0 3 1 0 0 )100 xx? ? ? ?， 當(dāng) 600 7524x ??? 時(shí)， ( ) 3fx? 為最小值． 20．解： （ Ⅰ ）由 2C ： 2 4yx? 知 2(10)F ， ． 設(shè) 11()M x y， ， M 在 2C 上，因?yàn)? 53MF?，所以1 51 3x ??， 得1 23x?，1 263y ?． M 在 1C 上，且橢圓 1C 的半焦距 1c? ， 于是 2222481931.abba? ????????， 消去 2b 并整理得 429 37 4 0aa? ? ?， 解得 2a? （ 13a? 不合題意，舍去）． 故橢圓 1C 的方程為 22143xy??． （ Ⅱ ）由 12M F M F M N??uuur uuuur uuur知四邊形 12MFNF 是平行四邊形，其中心為坐標(biāo)原點(diǎn) O ， 因?yàn)?l MN∥ ，所以 l 與 OM 的斜率相同， 故 l 的斜率263 623k ??． 設(shè) l 的方程為 6( )y x m??． : ３２ 由 223 4 126 ( )xyy x m? ????????， 消去 y 并化簡(jiǎn)得 229 16 8 4 0x m x m? ? ? ?． 設(shè) 11()Ax y， ， 22()B x y， ， 12169mxx??， 212 849mxx ??． 因?yàn)?OA OB?uur uuur ，所以 1 2 1 2 0x x y y??． 1 2 1 2 1 2 1 26( ) ( )x x y y x x x m x m? ? ? ? ? 21 2 1 27 6 ( ) 6x x m x x m? ? ? ? 2 28 4 1 67 6 699mmmm?? ? ?gg 21 (14 28) 09 m? ? ?． 所以 2m?? ． 此時(shí) 22(1 6 ) 4 9 ( 8 4 ) 0mm? ? ? ? ? ?， 故所求直線 l 的方 程為 6 2 3yx??，或 6 2 3yx??． 21．解： （ Ⅰ ）21() ()f x a xb? ?? ?， 于是212321 0(2 )a ba b? ??? ???? ?????， 解得 11ab??? ??? ， ， 或948.3ab? ????? ????， 因 ab?Z， ，故 1() 1f x x x???． （ Ⅱ ）證明：已知 函數(shù) 1yx? ，2 1y x?都是奇函數(shù)． 所以函數(shù) 1()g x x x?? 也是奇函數(shù)，其圖像是以原點(diǎn)為中心的中心對(duì)稱圖形． 而 1( ) 1 11f x x x? ? ? ??． : ３３ 可知，函數(shù) ()gx 的圖像按向量 (11)? ，a 平移，即得到函數(shù) ()fx的圖像，故函 數(shù) ()fx的圖像是以點(diǎn) (11)， 為中心的中心對(duì)稱圖形． （ Ⅲ ） 證明：在曲線上任取一點(diǎn)00 01 1xx x????????，． 由0 20 1()1 ( 1)fx x? ?? ?知，過(guò)此點(diǎn)的切線方程為 20002022 11 ( )1 ( 1 )xxy x xxx????? ? ? ???????． 令 1x? 得 0011xy x ?? ? ，切線與直線 1x? 交點(diǎn)為 0011 1xx????????， ． 令 yx? 得 021yx??，切線與直線 yx? 交點(diǎn)為 00(2 1 2 1)xx??， ． 直線 1x? 與直線 yx? 的交點(diǎn)為 (11)， ． 從而所圍三角形的面積為 0000011 1 21 2 1 1 2 2 22 1 2 1x xxxx? ? ? ? ? ? ???． 所以，所圍三角形的面積為定值 2 ． 22．解： （ Ⅰ ）證明：因?yàn)?MA 是圓 O 的切線，所以 OA AM? ． 又因?yàn)?AP OM? ．在 Rt OAM△ 中 ，由射影定理知， 2OA OM OP? g ． （ Ⅱ ）證明：因?yàn)?BK 是圓 O 的切線， BN OK? ． 同（ Ⅰ ），有 2OB ON OK? g ，又 OB OA? ， 所以 O P O M O N O K?gg，即 ON OMOP OK? ． 又 NOP MOK?∠ ∠ ， 所以 ONP OMK△ ∽ △ ，故 90O K M O PN??∠ ∠ ． 23．解： （ Ⅰ ） 1C 是圓， 2C 是直線． 1C 的普通方程為 221xy??，圓心 1(00)C ， ，半 徑 1r? ． 2C 的普通方程為 20xy? ? ? ． : ３４ 因?yàn)閳A心 1C 到直線 20xy? ? ? 的距離為 1， 所以 2C 與 1C 只有一個(gè)公共點(diǎn)． （ Ⅱ ）壓 縮后的參數(shù)方程分別為 1C? ：cos1sin2xy?????? ???， （ ? 為參數(shù)）； 2C? ：2 2224xtyt? ?????? ???，（ t 為參數(shù)）． 化為普通方程為： 1C? ： 2241xy??， 2C? ：