1984年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)-資料下載頁(yè)
2025-04-16 12:12本頁(yè)面
【正文】 ．考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值；正弦定理． 專(zhuān)題：計(jì)算題．分析：利用正弦定理可求得，進(jìn)而根據(jù)題設(shè)等式求得整理求得A+B=判斷出三角形為直角三角形，進(jìn)而可利用勾股定理求得a和b，利用直角三角形的性質(zhì)求得其內(nèi)切圓的半徑，如圖建立直角坐標(biāo)系，則內(nèi)切圓的方程可得，設(shè)出p的坐標(biāo)，表示出，S=|PA|2+|PB|2+|PC|2，利用x的范圍確定S的范圍，則最大和最小值可得．解答：解：由，運(yùn)用正弦定理，有，∴sinAcosA=sinBcosB∴sin2A=sin2B．因?yàn)锳≠B，所以2A=π﹣2B，即A+B=由此可知△ABC是直角三角形由c=10，a2+b2=c2以及a＞0，b＞0可得a=6，b=8．如圖，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓圓心為O39。，切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，則AD+DB+EC=（10+8+6）=12．但上式中AD+DB=c=10，所以?xún)?nèi)切圓半徑r=EC=2，如圖建立坐標(biāo)系，則內(nèi)切圓方程為：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4設(shè)圓上動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則S=|PA|2+|PB|2+|PC|2=（x﹣8）2+y2+x2+（y﹣6）2+x2+y2=3x2+3y2﹣16x﹣12y+100=3[（x﹣2）2+（y﹣2）2]﹣4x+76=34﹣4x+76=88﹣4x．因?yàn)镻點(diǎn)在內(nèi)切圓上，所以0≤x≤4，S最大值=88﹣0=88，S最小值=88﹣16=72點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)求最值的問(wèn)題，直角三角形內(nèi)切圓的問(wèn)題，圓的性質(zhì)問(wèn)題．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的綜合應(yīng)用． 19．（12分）設(shè)a＞2，給定數(shù)列{xn}，其中x1=a，求證：（1）xn＞2，且；（2）如果a≤3，那么．考點(diǎn)：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式． 專(zhuān)題：計(jì)算題；壓軸題．分析：（1）我們用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，先證明不等式xn＞2當(dāng)n=1時(shí)成立，再假設(shè)不等式xn＞2當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)成立，進(jìn)而證明當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式xk+1＞2也成立，最后得到不等式xn＞2對(duì)于所有的正整數(shù)n成立；（2）我們用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，先證明不等式當(dāng)n=1時(shí)成立，再假設(shè)不等式當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)成立，進(jìn)而證明當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立，最后得到不等式對(duì)于所有的正整數(shù)n成立；解答：證明：（1）①當(dāng)n=1時(shí)，∵=，==2+，x1=a＞2，∴2＜x2＜x1．結(jié)論成立．②假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即2＜xk+1＜xk（k∈N+），則=＞xk+1，=2+＞2．∴2＜xk+2＜xk+1，綜上所述，由①②知2＜xn+1＜xn． ∴x n＞2且．（2）由條件x1=a≤3知不等式當(dāng)n=1時(shí)成立假設(shè)不等式當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)成立當(dāng)n=k+1時(shí)，由條件及xk＞2知≤0，再由xk＞2及歸納假設(shè)知，上面最后一個(gè)不等式一定成立，所以不等式也成立，從而不等式對(duì)所有的正整數(shù)n成立點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法常常用來(lái)證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切自然數(shù)n都成立． 20．如圖，已知圓心為O，半徑為1的圓與直線l相切于點(diǎn)A，一動(dòng)點(diǎn)P自切點(diǎn)A沿直線l向右移動(dòng)時(shí)，取弧AC的長(zhǎng)為，直線PC與直線AO交于點(diǎn)M．又知當(dāng)AP=時(shí)，點(diǎn)P的速度為v，求這時(shí)點(diǎn)M的速度．考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系． 專(zhuān)題：壓軸題．分析：設(shè)AP的長(zhǎng)為x，AM的長(zhǎng)為y，用x表示y，并用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則對(duì)時(shí)間t進(jìn)行求導(dǎo)．解答：解：如圖，作CD⊥AM，并設(shè)AP=x，AM=y，∠COA=θ，由題意弧AC的長(zhǎng)為，半徑OC=1，可知θ=，考慮θ∈（0，π）．∵△APM∽△DCM，∴．∵DM=y﹣（1﹣cos），DC=sin，∴∴．上式兩邊對(duì)時(shí)間t進(jìn)行求導(dǎo)，則y′t=y′x?x′t．∴y′t=當(dāng)時(shí)，x′t=v，代入上式得點(diǎn)M的速度．點(diǎn)評(píng)：本題是難度較大題目，考查了弦長(zhǎng)、弧度、相似、特別是復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義；同時(shí)也考查了邏輯思維能力和計(jì)算能力．
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