1984年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷(理科)-資料下載頁
2025-04-16 12:12本頁面
【正文】 ．考點：三角函數(shù)的最值；正弦定理． 專題：計算題．分析：利用正弦定理可求得，進而根據(jù)題設等式求得整理求得A+B=判斷出三角形為直角三角形，進而可利用勾股定理求得a和b，利用直角三角形的性質(zhì)求得其內(nèi)切圓的半徑，如圖建立直角坐標系，則內(nèi)切圓的方程可得，設出p的坐標，表示出，S=|PA|2+|PB|2+|PC|2，利用x的范圍確定S的范圍，則最大和最小值可得．解答：解：由，運用正弦定理，有，∴sinAcosA=sinBcosB∴sin2A=sin2B．因為A≠B，所以2A=π﹣2B，即A+B=由此可知△ABC是直角三角形由c=10，a2+b2=c2以及a＞0，b＞0可得a=6，b=8．如圖，設△ABC的內(nèi)切圓圓心為O39。，切點分別為D，E，F(xiàn)，則AD+DB+EC=（10+8+6）=12．但上式中AD+DB=c=10，所以內(nèi)切圓半徑r=EC=2，如圖建立坐標系，則內(nèi)切圓方程為：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4設圓上動點P的坐標為（x，y），則S=|PA|2+|PB|2+|PC|2=（x﹣8）2+y2+x2+（y﹣6）2+x2+y2=3x2+3y2﹣16x﹣12y+100=3[（x﹣2）2+（y﹣2）2]﹣4x+76=34﹣4x+76=88﹣4x．因為P點在內(nèi)切圓上，所以0≤x≤4，S最大值=88﹣0=88，S最小值=88﹣16=72點評：本題主要考查了三角函數(shù)求最值的問題，直角三角形內(nèi)切圓的問題，圓的性質(zhì)問題．考查了學生基礎知識的綜合應用． 19．（12分）設a＞2，給定數(shù)列{xn}，其中x1=a，求證：（1）xn＞2，且；（2）如果a≤3，那么．考點：用數(shù)學歸納法證明不等式． 專題：計算題；壓軸題．分析：（1）我們用數(shù)學歸納法進行證明，先證明不等式xn＞2當n=1時成立，再假設不等式xn＞2當n=k（k≥1）時成立，進而證明當n=k+1時，不等式xk+1＞2也成立，最后得到不等式xn＞2對于所有的正整數(shù)n成立；（2）我們用數(shù)學歸納法進行證明，先證明不等式當n=1時成立，再假設不等式當n=k（k≥1）時成立，進而證明當n=k+1時，不等式也成立，最后得到不等式對于所有的正整數(shù)n成立；解答：證明：（1）①當n=1時，∵=，==2+，x1=a＞2，∴2＜x2＜x1．結(jié)論成立．②假設n=k時，結(jié)論成立，即2＜xk+1＜xk（k∈N+），則=＞xk+1，=2+＞2．∴2＜xk+2＜xk+1，綜上所述，由①②知2＜xn+1＜xn． ∴x n＞2且．（2）由條件x1=a≤3知不等式當n=1時成立假設不等式當n=k（k≥1）時成立當n=k+1時，由條件及xk＞2知≤0，再由xk＞2及歸納假設知，上面最后一個不等式一定成立，所以不等式也成立，從而不等式對所有的正整數(shù)n成立點評：數(shù)學歸納法常常用來證明一個與自然數(shù)集N相關的性質(zhì)，其步驟為：設P（n）是關于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立． 20．如圖，已知圓心為O，半徑為1的圓與直線l相切于點A，一動點P自切點A沿直線l向右移動時，取弧AC的長為，直線PC與直線AO交于點M．又知當AP=時，點P的速度為v，求這時點M的速度．考點：直線與圓的位置關系． 專題：壓軸題．分析：設AP的長為x，AM的長為y，用x表示y，并用復合函數(shù)求導法則對時間t進行求導．解答：解：如圖，作CD⊥AM，并設AP=x，AM=y，∠COA=θ，由題意弧AC的長為，半徑OC=1，可知θ=，考慮θ∈（0，π）．∵△APM∽△DCM，∴．∵DM=y﹣（1﹣cos），DC=sin，∴∴．上式兩邊對時間t進行求導，則y′t=y′x?x′t．∴y′t=當時，x′t=v，代入上式得點M的速度．點評：本題是難度較大題目，考查了弦長、弧度、相似、特別是復合函數(shù)的導數(shù)，以及導數(shù)的幾何意義；同時也考查了邏輯思維能力和計算能力．
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