20xx年山東省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)word版試卷及解析-資料下載頁
2025-04-16 12:19本頁面
【正文】 +22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）2n﹣1=+﹣（2n+1）2n﹣1=﹣+（1﹣2n）2n﹣1．∴Tn=． 20．（13分）（2017?山東）已知函數(shù)f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈…是自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（π，f（π））處的切線方程；（Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），討論h（x）的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時(shí)求出極值．【解答】解：（I）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x﹣2sinx，∴f′（π）=2π．∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（π，f（π））處的切線方程為：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．化為：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．（II）h（x）=g （x）﹣a f（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）﹣a（x2+2cosx）h′（x）=ex（cosx﹣sinx+2x﹣2）+ex（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）=2（x﹣sinx）（ex﹣a）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）．令u（x）=x﹣sinx，則u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函數(shù)u（x）在R上單調(diào)遞增．∵u（0）=0，∴x＞0時(shí)，u（x）＞0；x＜0時(shí)，u（x）＜0．（1）a≤0時(shí)，ex﹣a＞0，∴x＞0時(shí)，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；x＜0時(shí)，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減．∴x=0時(shí)，函數(shù)h（x）取得極小值，h（0）=﹣1﹣2a．（2）a＞0時(shí)，令h′（x）=2（x﹣sinx）（ex﹣elna）=0．解得x1=lna，x2=0．①0＜a＜1時(shí)，x∈（﹣∞，lna）時(shí)，ex﹣elna＜0，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；x∈（lna，0）時(shí)，ex﹣elna＞0，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減；x∈（0，+∞）時(shí)，ex﹣elna＞0，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增．∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)h（x）取得極小值，h（0）=﹣2a﹣1．當(dāng)x=lna時(shí)，函數(shù)h（x）取得極大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．②當(dāng)a=1時(shí)，lna=0，x∈R時(shí)，h′（x）≥0，∴函數(shù)h（x）在R上單調(diào)遞增．③1＜a時(shí)，lna＞0，x∈（﹣∞，0）時(shí)，ex﹣elna＜0，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；x∈（0，lna）時(shí)，ex﹣elna＜0，h′（x）＜0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減；x∈（lna，+∞）時(shí)，ex﹣elna＞0，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增．∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)h（x）取得極大值，h（0）=﹣2a﹣1．當(dāng)x=lna時(shí)，函數(shù)h（x）取得極小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．綜上所述：a≤0時(shí)，函數(shù)h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；x＜0時(shí)，函數(shù)h（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減．x=0時(shí)，函數(shù)h（x）取得極小值，h（0）=﹣1﹣2a．0＜a＜1時(shí)，函數(shù)h（x）在x∈（﹣∞，lna）是單調(diào)遞增；函數(shù)h（x）在x∈（lna，0）上單調(diào)遞減．當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)h（x）取得極小值，h（0）=﹣2a﹣1．當(dāng)x=lna時(shí)，函數(shù)h（x）取得極大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．當(dāng)a=1時(shí)，lna=0，函數(shù)h（x）在R上單調(diào)遞增．a(chǎn)＞1時(shí)，函數(shù)h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上單調(diào)遞增；函數(shù)h（x）在（0，lna）上單調(diào)遞減．當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)h（x）取得極大值，h（0）=﹣2a﹣1．當(dāng)x=lna時(shí)，函數(shù)h（x）取得極小值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]． 21．（14分）（2017?山東）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：=1（a＞b＞0）的離心率為，焦距為2．（Ⅰ）求橢圓E的方程．（Ⅱ）如圖，該直線l：y=k1x﹣交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，C是橢圓E上的一點(diǎn)，直線OC的斜率為k2，且看k1k2=，M是線段OC延長線上一點(diǎn)，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半徑為|MC|，OS，OT是⊙M的兩條切線，切點(diǎn)分別為S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值時(shí)直線l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）由題意知，解得a=，b=1．∴橢圓E的方程為；（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立，得．由題意得△=＞0．，．∴|AB|=．由題意可知圓M的半徑r為r=．由題意設(shè)知，∴．因此直線OC的方程為．聯(lián)立，得．因此，|OC|=．由題意可知，sin=．而=．令t=，則t＞1，∈（0，1），因此，=≥1．當(dāng)且僅當(dāng)，即t=2時(shí)等式成立，此時(shí)．∴，因此．∴∠SOT的最大值為．綜上所述：∠SOT的最大值為，取得最大值時(shí)直線l的斜率為． 第23頁（共23頁）
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